2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.6　综合与实践　获取最大利润

第21章二次函数与反比例函数21.6综合与实践获取最大利润教学目标1.进一步理解二次函数最值的意义；2.经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,利用二次函数解决实际问题,感受函数模型思想和数学的应用价值；3.能利用二次函数解决最大利润问题,进一步提高分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和创新意识.教学重难点重点：从实际问题中建立二次函数模型.难点：设计如何获取最大利润问题的方案.教学过程复习巩固利用二次函数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)先求出函数表达式和自变量的取值范围；(2)利用公式求最大值或最小值.探究新知【尝试】例1某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w(台)与销售单价x(元)满足w＝-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y(元).(1)求y关于x的函数表达式.(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天要想获得150元的利润，应将销售单价定为多少元？【思考】(1)等量关系：每天的利润＝每台的利润×每天销售量；(2)利用(1)中得到的函数的性质求最值；(3)把y＝150代入(1)中的函数表达式，求得x的值.解：(1)y＝(x-20)(-2x+80)＝-2x2+120x-1600.(2)∵y＝-2x2+120x-1600＝-2(x-30)2+200，∴当x＝30时，最大利润y＝200.(3)令y＝150，得-2(x-30)2+200＝150，解得x1＝25，x2＝35.又销售量w＝-2x+80随单价x的增大而减小，故当x＝25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润.【思考】(小组讨论，老师引导)求解最大利润问题时要注意什么？根据题意，舍去不合题意的x的值例2(小组讨论)一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的市场情况.一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量下降.假设某市场分析专家提供了下列数据：销售单价x/元50100150300年销售量t/件5000400030000设生产t件该产品的成本为C＝50t+1000.回答下列问题：(1)画图并描出上述表格中各组数据对应的点.(2)描出的这些点在一条直线上吗？求t和x之间的函数表达式.(3)问当销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？【活动】(小组合作，老师指导)如图所示.这些点在一条直线上，t＝-20x+6000(0<x<300).P＝tx-C＝-20𝑥2+7000x-301000＝-20(𝑥−175)2+311500,故当x＝175时，t＝2500，P最大值＝311500元.【题后反思】建立函数模型解获得最大利润问题的步骤1.在直角坐标系中描出所给的点.2.观察点的分布的特征，确定对应的模拟函数的类型.3.根据利润的关系式确定利润的二次函数表达式，并利用对应二次函数的知识解决如何获得最大利润问题.课堂练习1.某超市对进价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示，则最大利润是()A.180B.220C.190D.2002.某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价，每千克成本与交易时间之间的关系分别如图①②所示(图①②中的图象分别是线段和抛物线，其中点p是抛物线的顶点).在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是，此时每千克的收益是.①②3.随着5G技术的发展，人们对各类5G产品充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y关于x的表达式；

(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝来描述.根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？4.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：x(元)…190200210220…y(间)…65605550…(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？参考答案1.D2.9时2.25元3.解：(1)设y关于x的表达式为y＝kx+b.把点(1，7000)，(5，5000)的坐标代入得解得∴y＝-500x+7500.(2)设销售收入为W元，则W＝yp＝(-500x+7500)＝-250x2+3500x+3750＝-250(x2-14x)+3750＝-250(x-7)2+16000.∵x为正整数，∴当x＝7时，销售收入最大，此时该产品每台的销售价格y＝-500×7+7500＝4000(元).答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.4.解：(1)如图所示.(2)设y关于x的函数表达式为y＝kx+b(k≠0).把(200，60)和(220，50)代入，得解得∴y＝(170≤x≤240).(3)w＝xy＝∵a＝<0，且函数图象的对称轴为直线x＝160.∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小.故当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元.课堂小结布置作业教材P58第10，11题.板书设计建立函数模型解获得最大利润问题的步骤1.在