2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.1二次函数

第21章二次函数与反比例函数21.1二次函数教学目标1.通过对实际问题的分析，抽象出二次函数模型，引导学生自由归纳二次函数的概念，并能识别二次函数，了解二次函数自变量的取值范围.2.在实际问题的分析过程中，让学生经历二次函数概念的形成过程，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系，能用二次函数反映实际事物的变化规律.3.通过观察、操作、交流、归纳，培养学生的数学思维，增强学生克服困难的勇气.教学重难点重点：二次函数的概念以及对二次函数的初步认识.难点：具体分析、确定实际问题中的函数关系式.教学过程导入新课【活动一】小李家用40m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，如图.若这块菜园的面积为y(m2)，垂直于墙的边长为x(m)，那么y与x之间是函数关系吗？若是函数关系，函数表达式又是什么？该函数表达式与一次函数有什么区别？自变量x取值范围是什么？探究新知【互动】(1)以上问题中有哪些变量？自变量是什么？变量：x，y，自变量：x.(2)学生独立思考并列出函数表达式，引导学生整理函数表达式，指出函数表达式的特点，并与一次函数作比较.函数表达式为y＝-2x2+40x.【思考】函数自变量x可取一切实数吗？引导学生大胆质疑，然后小组相互交流、讨论，分组解决问题.根据题意得解得0＜x＜20.【活动二】有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少？【互动】(1)引导学生分析情境中的数量关系，用x分别表示增加的人数，装配工的人数，每人每天装配的玩具个数.再找出等量关系，列出函数表达式.设增加x人,这时共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只需装配(190-10x)个玩具，所以增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为y＝(190-10x)(15+x).(2)引导学生化简上述函数表达式，并指出函数表达式的特征.y＝(190-10x)(15+x)＝-10x2+40x+2850.【思考】在该问题中是什么因素限制了x的取值范围？引导学生仔细审题，抓住关键词，并列出自变量x的取值范围.0≤x<19【总结】(1)归纳与比较活动一、二中的函数表达式的特点，并与一次函数作比较，类比一次函数给二次函数下定义.一般地，表达式形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.(2)引导学生认识二次函数的定义，由学生列出二次项、一次项和常数项，并指出常数a，b，c的取值限制：a可否为0？b，c可否为0？当b，c为0时，二次函数有哪些特殊形式.ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项.特殊形式：y＝ax2；y＝ax2+c；y＝ax2+bx.(3)一般情况下，在没有具体情境的限制下，二次函数自变量的取值范围是什么？全体实数【活动三】例1下列函数中哪些是二次函数？①y＝2-x2；②y＝；③y＝2x(1+4x)；④y＝x2-(1+x)2.【互动】(1)引导学生参照二次函数的定义辨别二次函数，并指出不是二次函数的理由.①是二次函数；②是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝不是二次函数；③把y＝2x(1+4x)化简为y＝8x2+2x，显然是二次函数；④y＝x2-(1+x)2化简后变为y＝-2x-1，它不是二次函数而是一次函数.(2)引导学生归纳出辨别二次函数有哪些标准或哪些思路.①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③关系式中项的最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.特别强调，在函数表达式最简的形式下辨别函数的种类.【活动四】例2如果函数y＝(k+2)QUOTE是关于x的二次函数，则k的值为多少？【互动】(1)分组由学生自由求解；(2)小组同学相互批改，归纳出错误的原因.【总结】教师强调紧扣二次函数的定义求解，从系数和指数方面考虑问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力.【探究】例3某地在长160米、宽120米的矩形空地上快速修建一座隔离医院，如图是该医院的俯视图，分为A，B，C，D，E五个区域，A区和C区是大小相同的矩形区域，用来隔离治疗轻症感染病人；B区和D区是大小相同的正方形区域，用来隔离治疗重症感染病人；E区是物资调配室.若B区的边长为x米，E区的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，指出该函数的类别并求出自变量x的取值范围.【互动】(1)引导学生观察图形，指出E区的形状，并用x表示出E区的长与宽，列出函数表达式，化简，并指出函数的类别；长方形长为(160-2x)米，宽为(2x-120)米y＝(160-2x)(2x-120)＝-4x2+560x-19200二次函数(2)如何确定自变量的取值范围？由学生们先讨论本题的求法，再归纳解决问题的一般方法.由160-2x＞0且2x-120＞0可知x的取值范围为60＜x＜80. 【总结】二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型.许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.课堂练习1.下列函数关系中，y是x的二次函数的是()A.y＝2x+3B.y＝ C.y＝x2-1D.y＝+12.若函数y＝mx2+3是关于x的二次函数，则m的值不可能为()A.2020 B.-3.14C.-1D.03.二次函数y＝-x2-3x-1的二次项系数与常数项之和为()A.-2 B.2 C.-1 D.04.共享单车为市民的出行带来了方便，某共享单车公司第一个月投放a辆共享单车，计划第三个月投放共享单车y辆，设该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是()A.y＝a(1+x)2 B.y＝a(1-x)2 C.y＝(1-x)2+aD.y＝x2+a5.若等腰直角三角形的腰长为xcm，其面积为ycm2，则y与x之间的函数表达式为______，此函数是______函数(填“一次”或“二次”).6.在下列表达式中，是二次函数的有______(直接列出编号即可).(1)某正方体的表面积S与其棱长a之间的关系可表示为S＝6a2；(2)一个人的标准体重w(kg)与这个人的身高h(cm)之间的关系为w＝70%(h-80)；(3)一个矩形长4cm、宽3cm，将其长与宽都增加x(cm)，增加的面积y(cm2)与x(cm)之间的关系为y＝(4+x)(3+x)-4×3＝x2+7x；(4)某用电器的电阻为R，当该用电器正常工作时，电功率P与用电器两端的电压U之间的关系可表示为P＝(R为定值).参考答案1.C2.D3.A4.A5.y＝x2二次6.(1)(3)(4)课堂小结本课从不同的实际问题中抽象出函数模型，通过观察、比较和归纳得出二次函数的概念，并归纳出辨别二次函数的方法与步骤；会根据具体的几何图形的面积问题和经济决策问题列出二次函数并能分析自变量的取值范