高考数学复习节直线与圆位置关系课件新人教版选修4 - 1fv

选修4-1几何证明选讲第二节直线与圆的位置关系考纲要求考情分析1.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理、性质定理．2.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.1.从考查内容看，高考对本节的考查主要为圆周角定理、弦切角定理、切线定理及其应用，且常与相似三角形结合在一起命题，主要是解决线段成比例(相等)、角(线段)相等的问题．2.从考查形式看，多以填空题和解答题的形式出现，属中档题.一、圆周角定理1．圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆

的角．2．圆周角定理：周圆角的度数等于它所对弧度数的．3．圆周角定理的推论(1)同弧(或等弧)上的圆周角

；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ．(2)半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是 ．相交一半相等相等直径如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形的形状是怎样的？提示：直角三角形．由题意知该三角形的三个顶点在同一个圆上，且圆的直径为三角形的一边，故第三个顶点所在的角为直角．二、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个

相切一个d＝r相离无

d<rd>r2.切线的性质及判定(1)性质定理：圆的切线垂直于经过

的半径．(2)判定定理过半径外端且与这条半径

的直线是圆的切线．3．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长 ．切点垂直相等三、弦切角1．弦切角：顶点在圆上，一边与圆

，另一边与圆相交的角．2．弦切角定理及推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的 ．(2)推论：同弧(或等弧)上的弦切角

，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角 ．相切一半相等相等四、圆中的成比例线段名称内容图形相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等PA·PB＝PC·PD名称内容图形割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等PA·PB＝PC·PD

名称内容图形切割线定理从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项PA·PB＝PC2五、圆内接四边形的性质及判定1．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形对角 ．定理2：圆内接四边形的外角

它的内对角．2．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的一组对角

，那么这个四边形内接于圆．推论1：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆．互补等于互补推论2：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．答案：D2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于(

)A．30°

B．35°C．40°

D．45°解析：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：C3．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AD为⊙O1的切线并交⊙O2于D，AC为⊙O2的切线并交⊙O1于C，则(

)A．AB·AD＝AC·BC

B．AB·BC＝AD·BDC．AB

2＝BC·BD

D．AC

2＝AB·AD答案：C∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18，由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14.答案：14答案：4,30°【考向探寻】1．运用定理求角、线段长；2．解决与相似三角形有关的问题．【典例剖析】 (1)(2012·广东高考)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝______.(2)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝______.(3)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：①AC·BD＝AD·AB；②AC＝AE.(1)利用切线的性质构造直角三角形求解．(2)选AD，BC，结合正弦定理求解．(3)利用弦切角定理，通过相似三角形求解．(1)圆周角定理体现了圆周角与圆心角之间的关系，并通过圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系实现了圆中的角(圆心角、圆周角)、线段(弦、弦心距)、弧之间的相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．(2)弦切角定理沟通了弦切角与圆周角之间的关系，进一步完善了圆中的角、线段、弧之间的相互转化关系，解题时常采取“由弧找角”的方法寻找相等的角．已知某直线是圆的切线时，常用的辅助线是连结圆心和切点，可得到垂直关系．【活学活用】1．(1)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝______.(2)如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为______．解析：连接OC，OB，依题意得∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°.又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案：π【考向探寻】1．圆内接四边形的判定及性质．2．与圆内接四边形有关的综合问题．(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝______.(3)如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：①C，D，F，E四点共圆；②GH2＝GE·GF.题号分析(1)利用圆内接四边形的性质，构造相似三角形求解．(2)利用圆内接四边形的性质求解．(3)①证∠FDC、∠CEF互补；②运用相似三角形及切割线定理证明答案：125°(3)证明：①如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆．②∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，(1)根据圆内接四边形的判定定理，可通过证明四边形的对角互补，或外角与其内对角相等来证明四点共圆．(2)圆内接四边形的性质定理是圆中探求角相等或互补关系的重要方法，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．圆内接四边形的性质是探求角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系及综合应用．(1)证明：如图，设F为AD延长线上一点．∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB.∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，∴∠EDF＝∠CDF，∴AD的延长线平分∠CDE.【考向探寻】相交弦定理、切割线定理、割线定理及其应用(2)(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于______(3)如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．(1)运用相交弦定理求出CF，再求BD，最后求CD.(2)利用割线定理求解．(3)由切割线定理知PA2＝PB·PC，可得直径BC的长，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可．(3)解：如图所示，连接CE，∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，∴BC＝PC－PB＝20－5＝15.∵PA切⊙O于A，(1)相交弦定理、切割线定理、割线定理为圆中证明等积式和有关计算提供了方法和工具，应用时一方面要熟记定理的表达式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．(2)在圆中通过连接圆上两点、作圆的切线等方法可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题中解决角之间关系的常用方法．【活学活用】3．(1)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为______．(2)如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为______．答案：6.4 (10分)(2012·新课标全国高考)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.(1)证四边形BCFD和ADFC为平行四边形，利用等量代换证明即可．(2)证∠BGD＝∠BDG和∠DGB＝∠DBC即可．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.2分而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.4分因为CF∥AB，所以BC