2025届上海市上外附大境中学数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届上海市上外附大境中学数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.3．已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.4．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（）A. B.C. D.5．若角的终边经过点，且，则（）A.﹣2 B.C. D.26．如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点C到平面的距离为（）A.1 B.C. D.7．已知，其中a，b为常数，若，则（）A. B.C.10 D.28．若是的一个内角，且，则的值为A. B.C. D.9．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（）A. B.C. D.10．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则___________.（用含a的代数式表示）12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是_______13．已知是锐角，且sin＝，sin＝_________.14．函数，则________15．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.16．函数的定义域为_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值18．已知直线经过直线与直线的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.19．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF20．已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.21．设，其中（1）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；（2）若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；（3）若函数在上不具有单调性，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.【详解】上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C2、A【解析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得；【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且在上单调递增，故A正确；对于B：定义域为，且，即为偶函数，在上单调递减，故B错误；对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故C错误；对于D：定义域为，但是，故为非奇非偶函数，故D错误；故选：A3、B【解析】通过计算可知，，，从而得出，，的大小关系.【详解】解：因为，所以，，所以.故选：B.4、D【解析】由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形，高为2cm，根据面积公式计算可得结果.【详解】正三棱柱如图，有，，三棱柱的表面积为.故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱结构特征，属于基础题.5、D【解析】根据三角函数定义得到，计算得到答案.【详解】故选：【点睛】本题考查了三角函数定义，属于简单题.6、C【解析】取的中点，连接和，由二面角的定义得出，可得出、、的值，由此可计算出和的面积，然后利用三棱锥的体积三棱锥的体积相等，计算出点到平面的距离.【详解】取的中点，连接和，根据二面角的定义，.由题意得，所以，.设到平面的距离为，易知三棱锥的体积三棱锥的体积相等，即，解得，故点C到平面的距离为.故选C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.7、A【解析】计算出，结合可求得的值.【详解】因为，所以，若，则.故选:A8、D【解析】是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.9、C【解析】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.且，当时，由可得，则；当时，由可得，则.综上所述，不等式的解集为.故选：C.10、C【解析】如图，作出函数的图象，其中，设与动直线的交点的横坐标为，∵图像关于对称∴∵∴∴故选C点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用换底公式化简，根据对数的运算法则求解即可【详解】因为，所以故答案为：.12、【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，由复合函数单调性可知函数在上是增函数所以，则，即所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.令，则，所以方程变为：.则，解得所以实数的取值范围是.故答案为：13、【解析】由诱导公式可求解.【详解】由，而.故答案为：14、【解析】利用函数的解析式可计算得出的值.【详解】由已知条件可得.故答案为：.15、##【解析】先根据面面垂直，取△的外接圆圆心G，梯形的外接圆圆心F，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，由是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，可得，，即梯形的外接圆圆心为F，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由题可得，，，则四棱锥外接球的半径，故四棱锥外接球的表面积为故答案为：.16、【解析】令解得答案即可.【详解】令.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.【详解】（1），为锐角，且，，则，，，，；（2）由（1），所以，则，又，，；.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线的方程；（2）若直线与圆：相交由垂径定理列方程求解即可.【详解】（1）由得所以.因为，所以，所以直线的方程为，即.（2）由已知可得：圆心到直线的距离为，因为，所以，所以，所以或.【点睛】直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小19、（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详见解析【解析】(1)三棱锥的体积＝＝·＝.(2)当点为的中点时，与平面平行∵在中，分别为、的中点，∴，又平面，平面，∴平面(3)证明：∵⊥平面，平面，∴，又，，平面，平面.又平面，∴.又，点是的中点，∴，又,平面，∴⊥平面.∵平面，∴.考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥20、（1）（2）【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.【小问1详解】∵时，，，全集，∴或．∴【小问2详解】∵命题：，命题：，是必要条件，∴∵，∴，∵，，∴，解得