2025届江苏省连云港市东海高级中学高二上数学期末监测模拟试题含解析

2025届江苏省连云港市东海高级中学高二上数学期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）A. B.C. D.2．圆截直线所得弦的最短长度为（）A.2 B.C. D.43．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）A.平均数 B.众数C.中位数 D.方差4．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（）A.或11 B.或10C.或12 D.或115．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B.C. D.6．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值7．已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B.C. D.8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A. B.C. D.9．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A. B.C. D.10．已知圆与抛物线的准线相切，则实数p的值为（）A.2 B.6C.3或8 D.2或611．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（）A.28 B.C. D.12．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，且点的横坐标为，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则的面积为___________.15．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________16．设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，证明：存在唯一的零点；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面（1）证明：；（2）求C到平面的距离.19．（12分）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值20．（12分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.21．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程22．（10分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】故选：C2、A【解析】由题知直线过定点，且在圆内，进而求解最值即可.【详解】解：将直线化为，所以联立方程得所以直线过定点将化为标准方程得，即圆心为，半径为，由于，所以点在圆内，所以点与圆圆心间的距离为，所以圆截直线所得弦的最短长度为故选：A3、C【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.故选：C.4、A【解析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，所以，或，故选：A5、C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.6、C【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.7、C【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】依题意，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.8、B【解析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.【详解】模拟程序运行过程如下:0),判断为否,进入循环结构,1),判断为否,进入循环结构,2),判断为否,进入循环结构,3),判断为否,进入循环结构,……9),判断为否,进入循环结构,10),判断为是,故输出,故选:B.【点睛】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.9、D【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.10、D【解析】由抛物线准线与圆相切，结合抛物线方程，令求切线方程且抛物线准线方程为，即可求参数p.【详解】圆的标准方程为：，故当时，有或，所以或，得或6故选：D11、C【解析】根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合即可算出△的周长【详解】双曲线方程为，，根据双曲线的定义，得，，，，相加可得，，，因此△的周长，故选：C12、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案.【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，故答案为：.14、##【解析】不妨设点为第一象限内的点，求出点的坐标，可求得直线、的方程，求出点、的坐标，可求得以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】不妨设点为第一象限内的点，设点，其中，则，可得，即点，抛物线的焦点为，，所以，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，直线的方程为，抛物线的准线方程为，联立，可得点，点到直线的距离为，因此，.故答案为：.15、9【解析】先根据点数求解概率,再结合几何概型求解黑色部分的面积【详解】由题设可估计落入黑色部分概率设黑色部分的面积为,由几何概型计算公式可得解得故答案为:916、【解析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，当时，，单调递减；当时，，单调递增；.且，故存在唯一的零点；（2）当时，不满足恒成立，故由定义域为，可得，令，则，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得最大值（1），故实数的取值范围是【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：

参变分离法，将不等式恒成立问题转化函数求最值问题；

主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；

分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；

数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解18、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.【小问1详解】在矩形中，.因为平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小问2详解】设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.因为菱形ABCD的边长为4且，所以.因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.,,则三棱锥的体积.在△AEF中,,所以.记O到平面AEF的距离为d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距离为.19、（1）（2）6【解析】（1）由椭圆的定义求解（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解【小问1详解】由题意可得，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；【小问2详解】由题意可设的方程为，联立方程得，设，，则由根与系数关系有，所以，根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，所以四边形ABDE面积为，令得，由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．20、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解；（2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，由离心率为，知双曲线是等轴双曲线，所以，故双曲线的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，则由消去，得到，∵直线与双曲线交于M、N两点，，解得.设，则有，，因此，∵，∴且，故或，故；②当直线的斜率不存在时，此时，易知，，故.综上所述，所求的取值范围是.21、（1）（2）或【解析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设