高考真题与模拟训练专题练习专题08正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)

专题8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．32．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．3．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A． B．2 C．4 D．84．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A． B． C． D．5.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A． B． C． D．二、填空题6．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．7.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.8.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．9.△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．三、解答题10．（2021·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；11．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.12．（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．14．（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．16.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.第二部分模拟训练1．设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．2．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A． B． C． D．3．已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（）A． B． C． D．4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（）A． B． C． D．5．已知中，内角的对边分别为，且，则___________.6．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，__________.7．在中，角，，的对边分别为，，，若，是锐角，且，，则的面积为______．8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小（2）若，且的面积为，求的周长．9．设函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角､､的对边长分别为､，.若，，，求的面积.10．设函数．（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，且，，求角的值．专题8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.2．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A3．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】设故选：C4．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．5.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.二、填空题6．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】或0【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.7.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，8.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.9.△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】.【解析】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.三、解答题10．（2021·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.11．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.12．（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）13．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.14．（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.16.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，第二部分模拟训练1．设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，整理可得，故，在中，，则，设原点到直线的距离为，则需满足，，解得或.故选：C.2．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，由余弦定理可得：得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.3．已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得，由余弦定理：，.故选：A.4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：A．5．已知中，内角的对边分别为，且，则___________.【答案】(或)【解析】根据余弦定理可知，所以原式，变形为，根据正弦定理边角互化，可知，又因为，则原式变形整理为,即，因为，所以（或）故答案为（或）6．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，__________.【答案】【解析】，由得，，∴，又a，b，c成等比数列知不是最大边，∴.

∴故答案为：7．在中，角，，的对边分别为，，，若，是锐角，且，，则的面积为______．【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，又为三角形的内角，∴或，又，∴，于是．由余弦定理得即，解得，故．∴.故答案为．8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】（1）；（