专题10抛物线方程及其简单几何性质突破(原卷版+解析)

4/4专题10抛物线方程及其简单几何性质性质题型一求轨迹方程1．已知点到的距离与到直线的距离相等，求点的轨迹方程．2．已知圆的方程为，求与轴相切且与圆外切的动圆圆心轨迹方程．3．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是．4．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是．5．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大1，求动点的轨迹方程．6．设动圆与轴相切且与圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为．7．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程．8．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．

题型二抛物线的几何性质9．已知抛物线的焦点为，在上有一点，,则的中点到轴的距离为A．4 B．5 C． D．610．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．若，且的面积为，则点到准线的距离是A． B． C． D．11．已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，12．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点．若，，则A．2 B．3 C．6 D．813．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则A．2 B．4 C．6 D．814．已知抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于，、，，过点、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，则以下四个结论正确的是A． B． C． D．15．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，，，两点，则下列说法一定正确的是A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则题型三最值问题16．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为．17．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为．18．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为A．1 B．2 C．3 D．419．抛物线的焦点为,的准线与轴交于点,为上的动点.则的最小值为A．1 B． C． D．20．已知为曲线上一点，，，则的最小值为A．6 B． C．5 D．21．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，为的中点，为上一点，则的最小值为A．5 B．6 C．7 D．822．已知抛物线的焦点为，点、为抛物线上的两个动点，且，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A． B． C．2 D．123．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为A． B． C． D．624．已知点是抛物线上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为A．3 B．1 C． D．25．抛物线上的点到直线距离的最小值是A．3 B． C． D．26．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为A．2 B．4 C．5 D．627．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为A． B． C． D．1/15专题10抛物线方程及其简单几何性质题型一求轨迹方程1．已知点到的距离与到直线的距离相等，求点的轨迹方程．【解答】解：设点为，则根据题意．故答案为：．2．已知圆的方程为，求与轴相切且与圆外切的动圆圆心轨迹方程．【解答】解：若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线，方程为，若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是负半轴，方程为，，综上，动圆圆心轨迹方程是或，．3．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是．【解答】解：设，依题意得点到点的距离比它到直线的距离小1，由两点间的距离公式，得，根据平面几何原理，得，原方程化为两边平方，得，整理得即点的轨迹方程是．故答案为：．4．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是．【解答】解：点到点的距离比它到直线的距离小1，点到直线的距离和它到点的距离相等．根据抛物线的定义可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，抛物线的标准方程为，故答案为．5．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大1，求动点的轨迹方程．【解答】解：设，由到定点的距离为，到轴的距离为，当时，的轨迹为；当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1，列出等式：化简得，为焦点为的抛物线．则动点的轨迹方程为：或．6．设动圆与轴相切且与圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为或．【解答】解：设动圆圆心的坐标为，则动圆与轴相切且与圆相外切，，当时，；当时，．故答案为：或．7．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程．【解答】解：令点坐标为，，动圆得半径为，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，，，在直线的左侧，故到定直线的距离是，所以，，即，化简得：8．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点是抛物线的顶点，故点的坐标为，根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，，故，因为，则，因为、是上的两个动点，则有，，故，整理可得，解得，由，消去可得，则有，，所以，解得，故直线的方程为，所以直线经过一个定点．（2）线段的中点坐标为，又直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，①同理，线段的垂直平分线的方程为，②由①②解得，设点，则有，消去，得到，所以点的轨迹方程为．题型二抛物线的几何性质9．已知抛物线的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为A．4 B．5 C． D．6【解答】解：设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，由抛物线的定义可知，，故的中点到的准线的距离为，故的中点到轴的距离为4．故选：．10．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点．若，且的面积为，则点到准线的距离是A． B． C． D．【解答】解：如图所示：抛物线的焦点，，准线方程为：，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，可得，又由且，所以，所以，解得，代入抛物线的方程，可得，又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以的面积为，解得，所以点到准线的距离是，故选：．11．已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：设，，，，直线方程为．联立，消去，得，所以．所以，因为、中点横坐标为3，所以，故，又，所以的取值范围，．故选：．12．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点．若，，则A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：设、在准线上的射影分别为、，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，由，可得：，因为，，可得，故选：．13．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为，如图，，，，，，，丨丨丨丨丨丨丨丨，，解得，故选：．14．已知抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于，、，，过点、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，则以下四个结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：当直线的斜率不存在时，，，此时，，成立，不成立；，，，，，成立；，不成立．当的斜率存在时，可设，联立，得．得，，故成立；而，故不成立；，，，故，成立；而，故不成立．故选：．15．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，，，两点，则下列说法一定正确的是A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值 D．若，则【解答】解：抛物线，焦点为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以的最小值为，故不正确，如图：设线段的中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可得，，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确；设直线所在的直线方程为，由，消去可得，所以，，所以，故正确；所以，故正确．故选：．题型三最值问题16．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为．【解答】解：由题意，点到准线的距离等于点到焦点的距离，从而到轴的距离等于点到焦点的距离减1．过焦点作直线的垂线，此时最小，，则，则的最小值为．故答案为：．17．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为．【解答】解：根据题意，设，，，则由，得，，，，当且仅当时取等号，直线的斜率的最大值为．故答案为：．18．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，可得，则，即，易知直线过该抛物线的焦点，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，故选：．19．抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点．则的最小值为A．1 B． C． D．【解答】解：由题意可得焦点，准线，过点作准线，所以，因为，所以，求的最小值等价于求的最大值，设，，所以，，所以，．当时，最小值为，所以最小值为．故选：．20．已知为曲线上一点，，，则的最小值为A．6 B． C．5 D．【解答】解：由题意可得，曲线是抛物线的右半部分且是焦点，为曲线上一点，设到准线的距离为，则，，要使其最小，则即为到准线的距离，的最小值为．故选：．21．已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，为的中点，为上一点，则的最小值为A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，得，故直线的方程为，联立可得，设，，，，则，，故，，过作垂直准线于点，根据抛物线的定义可得：，故选：．22．已知抛物线的焦点为，点、为抛物线上的两个动点，且，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A． B． C．2 D．1【解答】解：设，，由抛物线定义，得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．（当时取等号）则的最小值为1．故选：．23．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为A． B． C． D．6【解答】解：作轴于点，轴于设，由抛物线的方程可得，准线的方程为，作于，于，由抛物线的定义可得，，所以，，当时，所以，，所以，，所以，当时，，，所以，综上，的最小值为，故选：．24．已知点是抛物线上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为A．3 B．1 C． D．【解答】解由题意可得在抛物线的内部，过向抛物线的准线作垂线交准线于交抛物线于，中，三角形的周长为：，由抛物线的性质，可得，由抛物线的方程可得，抛物线的准线方程为，所以，，所以三角形的周长的最小值为：．故选：．25．抛物线上的点到直线距离的最小值是A．3 B． C． D．【解答】解：因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离，当时，．故选：．26．已知抛物线的焦点为，过点的