人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练专题18直线与圆的位置关系重难点题型专训(十二大题型)(原卷版+解析)

第二十四章圆专题18直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）【题型目录】题型一判断直线与圆的位置关系题型二已知直线与圆的位置关系求半径的取值题型三已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离题型四求直线平移到与圆相切时运动的距离题型五切线的判定定理题型六切线的性质定理题型七切线的性质与判定定理题型八切线长定理的应用题型九三角形内心的有关应用题型十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十一一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十二圆的综合问题【知识梳理】知识点一、直线和圆的位置关系1.设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—2.切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。3.三角形的内切圆（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。点拨：（1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径；（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。（3）切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．总结：4．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【经典例题一判断直线与圆的位置关系】1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2．（2023春·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是．

4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．（1）直线与的位置关系为；（2）的最小值为．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，正方形的边长为2，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？

6．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？【经典例题二已知直线与圆的位置关系求半径的取值】1．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（）A．3 B．4 C．4.8 D．52．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是A． B．3 C． D．3．（2023·广东东莞·校考一模）在中，，，．那么以为圆心，为半径的与相切．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为．5．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）圆心O到直线l的距离为d，半径为r，若d、r是方程的两个根，且直线l与相切，求m的值．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．【经典例题三已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）3．（2023秋·九年级课时练习）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求△PAB面积的最大值．【经典例题四求直线平移到与圆相切时运动的距离】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（

）．A． B．若与相切，则C．若，则与相切 D．和的距离为2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是()A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为时，与直线相切．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．【经典例题五切线的判定定理】1．（2023·河南濮阳·统考一模）如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，O为的外心，四边形为正方形．以下结论：①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·九年级课时练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是．

4．（2023春·九年级单元测试）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）点C坐标为．（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有个．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是⊙的直径，、都是⊙上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求的值．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的弦，交于，，．

(1)求的长；(2)若是的中点，求证：是的切线．【经典例题六切线的性质定理】1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，是的直径，点是延长线上的一点，且.点是上的一点，点和点关于直线对称，设，则下列是真命题的是（

）A．当是的切线时，四边形是正方形B．当时，可能为等边三角形C．当线段与只有一个公共点点时，的范围是D．当线段与有两个交点、时，若于点，则3．（2023秋·九年级课时练习）如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为．5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点C．

(1)求证：平分(2)若，，求的半径．6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．

(1)求证：；(2)若，求的直径的长．【经典例题七切线的性质与判定定理结合】1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（）A． B． C． D．22．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或93．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当时，与坐标轴相切．4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．【解决问题】(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米；②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【经典例题八切线长定理的应用】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为．

4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____．【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B；（3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．

【经典例题九三角形内心的有关应用】1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点是的内心，的延长线交于，点、关于所在的直线对称，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则．

4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．【经典例题十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（

）A． B． C．1 D．23．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

4．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．解：连接、、．∵，，，∴，∴解决问题：(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．【经典例题十一一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1．（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（）

A．1 B． C．1.5 D．22．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为．4．（2021秋·九年级单元测试）如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、．（1）求的周长；（2）求内切圆的面积．【经典例题十二圆的综合问题】1．（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（

）A．5 B． C． D．3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，设．

①则（用含的代数式表示）；②当时，则．4．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点E，使，连结，四边形是的内接四边形，．，．是等边三角形．，请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．

第二十四章圆专题18直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）【题型目录】题型一判断直线与圆的位置关系题型二已知直线与圆的位置关系求半径的取值题型三已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离题型四求直线平移到与圆相切时运动的距离题型五切线的判定定理题型六切线的性质定理题型七切线的性质与判定定理题型八切线长定理的应用题型九三角形内心的有关应用题型十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十一一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型十二圆的综合问题【知识梳理】知识点一、直线和圆的位置关系1.设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点—直线名称割线切线—2.切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。3.三角形的内切圆（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。点拨：（1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径；（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。（3）切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．总结：4．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．两圆外切相交两个圆有两个公共点．两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【经典例题一判断直线与圆的位置关系】1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．【详解】解：根据勾股定理求得．，，，，上的高为：，即圆心到直线的距离是2.4．，直线和圆相交．故选：C．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2023春·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能【答案】A【分析】根据面积公式计算点C到AD的距离d，比较d与半径BC的大小判断即可．【详解】∵在平行四边形ABCD中，，，∴点C到AD的距离d=，∴直线与圆C相交，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是．

【答案】相交【分析】根据点P的坐标得出，进而得出平移后，再将点O到圆心的距离与半径比较，即可x轴和圆的位置关系．【详解】解：∵，∴，将沿y轴负方向平移个单位长度后，，∵，∴平移后x轴与的位置关系是相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系有相交，相切，相离；若圆到直线的距离为d，时，圆与直线相交；时，圆与直线相切；时，圆与直线相离．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．（1）直线与的位置关系为；（2）的最小值为．【答案】相离17【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；（2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解．【详解】解：（1）∵在矩形中，，，∴,点到距离为，∵，∴直线与的位置关系为相离，故答案为：相离．（2）如图所示，连接，∵，，∴为的中点，∵线段的中点为，∴，即在以为圆心，为半径的圆上运动，作点关于的对称轴点，则连接，交于点，则此时取得最小值，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，正方形的边长为2，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？

【答案】见解析【分析】求点B到的距离，即，可知与的半径相等，故圆与直线相切；点B到的距离，小于的半径，故圆与直线相交.【详解】由题中已知条件，得，，即点到的距离为，与的半径相等，∴直线与相切．∵，，∴，垂足为，且，∴直线与相交．【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？【答案】当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交【分析】作于点D，根据直角三角形的性质得出，根据直线和圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：作于点D，如图所示：

∵，，∴，.∵，∴，若与直线相离，则有，即，解得，∴；若与直线相切，则有，即，解得；若与直线相交，则有，即，解得，∴；综上可知：当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交．【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质得出．【经典例题二已知直线与圆的位置关系求半径的取值】1．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面积法求出CD的长，即可得到答案．【详解】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，∵，∴CD=，∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，故选：D．．【点睛】此题考查勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆相交的交点个数，理解以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．2．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论．【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：．在中，，，，，的最小值．故选D．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键．3．（2023·广东东莞·校考一模）在中，，，．那么以为圆心，为半径的与相切．【答案】/2.4/【分析】设点到的距离为，由，，，根据勾股定理求得，则，所以，则当的半径为时，与相切，于是得到问题的答案．【详解】解：设点到的距离为，，，，，，，解得，当的半径为时，与相切，故答案为：．【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出斜边上的高是解题的关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为．【答案】或【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴，根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，∴，当圆与时AB相切时，r=，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，故答案为：r=或2＜r≤2．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．5．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）圆心O到直线l的距离为d，半径为r，若d、r是方程的两个根，且直线l与相切，求m的值．【答案】9【分析】先根据切线的性质得出方程有两个相等的实根，再根据即可求出m的值．【详解】∵d、r是方程的两个根，且直线L与相切，∴，∴方程有两个相等的实根，∴，解得，．【点睛】此题考查了直线和圆的位置关系，一元二次方程的判别式，解题的关键是根据题意得到方程有两个相等的实根．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标．（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为；当点在直线右侧时，，解得；∴；当点在直线左侧时，，得，∴，

∴当与直线相切时，点的坐标为或．（2）解：由（1）可知当时，与直线相交当或时，与直线相离．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键．【经典例题三已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．【详解】解：设切点为，连接，则圆的半径，，∵，，∴，∴，∴，同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数所以x的取值范围是故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：∵∴，，是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴⊙M与直线AB相切于点A∵∴∴圆心M的坐标为；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示：∵⊙M与直线AB相切，∴根据直线AB的解析式：可知∴是等腰直角三角形∴∵∴圆心M的坐标为，综上所述：圆心M的坐标为或，故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．3．（2023秋·九年级课时练习）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为．【答案】或【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且．【详解】作轴，连结，如图，∵点的坐标为，∴，，∴，∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，∴过点或者与轴相切，∴或．故答案为或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．【答案】或【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线过点结束（不包括直线l过点．当直线l和半圆相切于点时，根据直线l的解析式知直线l与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线l过点A或点时，直接根据待定系数法求得的值即可．【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线l过点结束（不包括直线l过点，∵直线l的解析式为y＝x+t，∴直线l与轴所形成的锐角是，过点C作CD⊥x轴于点D，则．当直线l和半圆相切于点时，则垂直于直线l，，∴为等腰直角三角形．又∵，∴，∴，解得：（舍负），∴，即点，，把点的坐标代入直线解析式，得，当直线l过点时，把点代入直线解析式，得；当直线l过点时，把点代入直线解析式，得．即当或时，直线l和半圆只有一个公共点，故答案为：或．【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．【答案】【分析】根据直线与圆相切的条件得，再根据一元二次方程根的判别式列出方程即得．【详解】∵由题意可知．∴方程的两根相等∴解得：．【点睛】本题考查了直线与圆相切的条件及一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于圆的半径，判别式时，一元二次方程有两个相等实数根．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求△PAB面积的最大值．【答案】（1）；（2）51．【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离；（2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，由题意：，，，，．，则由三角形面积公式得，，，，圆心C到直线AB的距离是；（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是．则圆C上点到直线的最大距离是，故面积的最大值是：．【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大．【经典例题四求直线平移到与圆相切时运动的距离】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（

）．A． B．若与相切，则C．若，则与相切 D．和的距离为【答案】B【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确；B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误；C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确；D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确．故选：B．【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是()A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可．【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，∴，∵⊙O的半径为1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0），∴．故选：B．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为．【答案】【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可．【详解】解：由题意得：，∵四边形ABCD是正方形，，在和中，，，，，，，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，，，由勾股定理得：，；故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为时，与直线相切．【答案】或【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．∵与直线相切，∴，∵在中，，，∴，则，∵以的速度沿由A向B的方向移动，∴移动时与直线相切．当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．【答案】1或5．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．【答案】（1）b=2；（2）t=或或.【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2（2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH=t.①当0<t≤4时,OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=；②当4<t≤8时,OQ=8－t,d=8－t－t=或t－（8－t）=,解得t=或；③当8<t<12时,OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合情描述即可）综上所述,t=或或.【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键.【经典例题五切线的判定定理】1．（2023·河南濮阳·统考一模）如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确【答案】A【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线；对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线．【详解】解：甲正确．理由：如图1中，连接．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线，乙正确．理由：∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切线，故选：A．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，O为的外心，四边形为正方形．以下结论：①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据三角形外形的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③．【详解】解：连接，∵O为的外心，∴，①∵四边形为正方形．∴，∴，∴O是的外心；故①正确；②连接，∵四边形为正方形，∴，∴，∴O不是的外心；故②不正确；③由①可得：，∴点E在上，∵四边形为正方形，∴，∴直线与的外接圆相切．故③正确；综上：正确的有①③．故选：B．【点睛】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角．3．（2023秋·九年级课时练习）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是．

【答案】①②③④⑤【分析】三角形的中位线定理，判断①；圆周角定理和中点，得到是的中垂线，得到，判断②③；根据，得到，判断④；等角的余角相等，判断⑤．【详解】解：∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，∴，故①正确；∵为的直径，∴，∵为的中点，∴为线段的中垂线，∴∴，故②③正确；∵，∴，又为的半径，∴是的切线；故④正确；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正确；综上：正确的是①②③④⑤；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．4．（2023春·九年级单元测试）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）点C坐标为．（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有个．【答案】（3，）2【分析】（1）先根据含30度直角三角形的性质得到AC的长，进而求出BC的长即可得到点C的坐标；（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，证明圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，再由圆周角定理得到∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，据此即可得到答案．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴，∴，又∵OA=1，∴OB=OA+AB=3，∴点C的坐标为（3，），故答案为：（3，）（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，∴EG=OF，∵E是AC的中点，∴，同理可得∠AEF=30°，∴，∴GE=OF=OA+AF=2，又∵EG⊥y轴，∴圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，∵当以E为圆心，2为半径画圆时，点A、B、C、G都在圆E上，∴∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，∴此情形下只有一个点满足题意，由对称性可知当M在y轴下方时也有一个点满足题意，∴一共有2个点满足题意，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，圆切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是⊙的直径，、都是⊙上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，等量代换，得，根据平行线的判定和性质，得，推出，即可；（2）连接，交于点；根据直径所对的圆周角是直角，则，根据勾股定理求出，根据等腰三角形三线合一，则，；根据矩形的判定，得四边形是矩形，则，即可．【详解】（1）证明如下：连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切线．

（2）连接，交于点，∵是⊙的直径，∴，∴，∵，，

∴，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴．

【点睛】本题考查圆的切线，等腰三角形，矩形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线判定，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的弦，交于，，．

(1)求的长；(2)若是的中点，求证：是的切线．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，最后由垂径定理可得的长．（2）由于点在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得是的切线．【详解】（1）连接，，如图，

∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）由（1），而，∴为等边三角形，∴，，∴是的中点，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴是的切线．【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．【经典例题六切线的性质定理】1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，由点为的中点可得,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．【详解】解：如图：连接，

∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴，∵，∴,故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，是的直径，点是延长线上的一点，且.点是上的一点，点和点关于直线对称，设，则下列是真命题的是（

）A．当是的切线时，四边形是正方形B．当时，可能为等边三角形C．当线段与只有一个公共点点时，的范围是D．当线段与有两个交点、时，若于点，则【答案】D【分析】根据切线的性质、等边三角形的性质与判定及三角形中位线可进行求解．【详解】解：由题意可知，点是四边形的对角线的中点，故当点与点不重合时，不经过点，则四边形不可能是特殊四边形，不可能为等边三角形；如图1，在点与只有一个公共点的情况下，当是的切线时，的度数取最大值，且，故，∴的范围是；如图2，连接，∵是的直径，∴，又∵，∴，则是的中位线，是的中位线；∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查切线的性质、正方形的判定及三角形中位线，熟练掌握切线的性质、正方形的判定及三角形中位线是解题的关键．3．（2023秋·九年级课时练习）如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为．【答案】2【分析】根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：与相切于点，，，，，，，，，，，，设，在中，，，，．故答案为：2．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为．【答案】/度【分析】先根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，则，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出的度数．【详解】解：是的直径，是的中点，，为的切线，，，，是的直径，，．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点C．

(1)求证：平分(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，根据等边对等角，得到，根据切线的性质，以及，推出，进而推出，即可得证；（2）连接，利用圆周角定理和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【详解】（1）解：连接，则：，∴，∵切于点E，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；

（2）解：如图，连接，

则：，∵，平分，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，即：的半径为2．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．

(1)求证：；(2)若，求的直径的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由为的切线，为切点，可得，即，，由，可得，由，可得，即，进而可得．（2）设，则，在中，，在中，，即，解得，则，即的半径为，进而可求直径的长．【详解】（1）证明：∵为的切线，为切点，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：设，则．在中，，在中，，即，解得，∴，即的半径为，∴的直径的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【经典例题七切线的性质与判定定理结合】1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案．【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，，点在以为直径的上，如下图，∵当是⊙O的切线时，最大，∴当最大时，，∵，∴，∴．故答案为D．【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度．2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或9【答案】C【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依据勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求AB＝4．【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN＝NF，又∵，∴EG：EN＝，又∵GN＝AD＝8，∴设EN＝x，则GE＝，根据勾股定理得：，解得：x＝4，∴GE＝，设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8−r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝12；当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝4，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．3．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当时，与坐标轴相切．【答案】或或【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当只与轴相切时．【详解】解：设与坐标轴的切点为，∵直线与轴、轴分别交于点、，点，∴时，，时，，时，，∴，，，根据勾股定理：，，，∴是等腰直角三角形，，①如图，当与轴相切时，∵点是切点，的半径是，∴轴，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵点的速度为每秒个单位长度，∴；②如图，当与轴和轴都相切时，∵，∴，∵点的速度为每秒个单位长度，∴；③当只与轴相切时，∵，∴，∵点的速度为每秒个单位长度，∴．综上所述，则当或或秒时，与坐标轴相切．故答案为：或或【点睛】本题考查了切线的判定、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解本题的关键在掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．【解决问题】(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米；②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【答案】(1)12(2)不对，详见解析(3)①6，②【分析】（1）当O、P、Q三点共线时，在中，由勾股定理可求得的长度即可解答；（2）显然不对，当Q、H重合时，，显然构不成直角三角形，故与不相切；（3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为，此时直线l；②当P到直线l的距离最大时，无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、，连接，则四边形是矩形，设与交于点D，那么，则，在中，，则，，最后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：当O、P、Q三点共线时，分米在中，由勾股定理可求得，∴点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．故答案为：12；（2）解：不对．理由如下：∵，∵当Q、H重合时，，∵，即，∴与不垂直．∴与不相切．（3）解：①因为的值永远是6，只有时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是6分米；②由①知，在上存在点P，到l的距离为6，此时，将不能再向下转动，如图．在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是．连接，交于点D，∵均与l垂直，且，∴四边形是矩形，∴,．∴，得．∴．∴所求最大圆心角的度数为．∴这个扇形面积的最大值．【点睛】本题主要考查了勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题八切线长定理的应用】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．【详解】解：作于H，∵直径于H，∴，∵，分别切于C，B，∴，直径，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长．2．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长．【详解】是的内切圆,、、是的切线，又切于点K，

、、、、，的周长为：设，，，则、、，解得，的周长为：．故选D．【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为．

【答案】5【分析】连接，根据勾股定理求出的长度，进而得出的长度，设的半径为，则，，运用勾股定理列出方程，得出半径，进而得出答案．【详解】解：如图所示，连接．

，为的切线，，，．．在中，，．设的半径为，则，．在中，，即，解得，，，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键．4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____．【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B；（3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．

【答案】（1）2，，；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接，利用圆周角定理求得，再利用切线长定理即可求解；（2）连接，作线段的垂直平分线确定其中点，再作以为直径的圆，两圆的交点为B，作直线即可得出答案；（3）以P为圆心，为半径作弧，交于点R，连接，过点P作的垂线交于点T，连接，则是的角平分线．【详解】解：（1）连接，

∵，∴，∵是的两条切线，∴，，∵，∴垂直平分，∴，，，∴，∴，故答案为：2，，；（2）解：如图所示，直线即为所求．

；（3）解：如图所示，射线即为所求．

.【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆周角定理、垂径定理、切线长定理．【经典例题九三角形内心的有关应用】1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形内角和定理求出根据点M为的内心可得由三角形外角的性质得出根据同弧所对的圆周角相等可得最后根据三角形内角和定理可得出．【详解】解：∵且，∴∵点M为的内心，∴∴∴∵且∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点是的内心，的延长线交于，点、关于所在的直线对称，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的内心和三角形内角和，可以求得的度数，再根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质可以得到，然后根据，即可求得的度数．【详解】解：，，，，，点、关于所在的直线对称，，，在和中，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则．

【答案】/度【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．【详解】解：如图所示，连接，设交于H，∵是的内切圆，∴分别是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵与分别相切于点，，∴，又∵，∴是的垂直平分线，∴，即，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可；（2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，再根据角的等量代换得，即可求的长．【详解】（1）解：如图1，点I为所求，

（2）解：如图2，连接，，，

∵是的直径，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查的是的内心I以及圆的基本性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识内容，正确掌握的内心I是角平分线的交点以及圆的基本性质是解题的关键．【经典例题十直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接，∵与相切，∴，，，，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴矩形是正方形，∴，设，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】连接、、，根据切线长定理可得，、，，可得四边形为正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】连接、、，根据切线长定理可得，、，，又∵，∴四边形为正方形，即，在中，，∵，，∴，，，∴解得，（舍去）∴的半径为1，故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．3．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

【答案】1【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示