专题一三角形中基本量的计算问题(原卷版+解析)

专题一三角形中基本量的计算问题1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．变形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．3．解三角形有关的二级结论(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等关系①在三角形中大边对大角，大角对大边．②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．考点一计算三角形中的角或角的三角函数值【方法总结】计算三角形中的角或角的三角函数值的解题技巧此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【例题选讲】[例1](1)(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)．又A为锐角，∴A＝eq\f(π,3)．(2)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝________．答案(1)75°解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°．(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()A．eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25)D．eq\f(24,25)答案A解析∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC．又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB．∵sinB≠0，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25)．(4)(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案B解析由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，则sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，得C＝eq\f(π,6)．(5)(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1．又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4)．(6)(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)，故选C．(7)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝________．答案eq\f(3,4)解析如图，设AB＝6，则AE＝EF＝FB＝2．因为△ABC为等腰直角三角形，所以AC＝BC＝3eq\r(2)．在△ACE中，A＝45°，AE＝2，AC＝3eq\r(2)，由余弦定理可得CE＝eq\r(10)．同理，在△BCF中可得CF＝eq\r(10)．在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(3,4)．(8)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c．又b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4)．(9)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4)D．eq\f(\r(2),3)答案B解析因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)．(10)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，则eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是________．答案4解析由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及余弦定理，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，化简得a2＋b2＝eq\f(3,2)c2．又eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及正弦定理，得eq\f(sinB,sinA)＋eq\f(sinA,sinB)＝6cosC，故sinAsinBcosC＝eq\f(1,6)(sin2B＋sin2A)．又eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(sinC,cosC)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosA,sinA)＋\f(cosB,sinB)))＝eq\f(sin2C,cosCsinAsinB)，所以eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(6sin2C,sin2B＋sin2A)＝eq\f(6c2,a2＋b2)＝4．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(b,\r(3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，则cosB等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于________．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(5),4)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(5),6)4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶25．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，则B等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)6．如图，在△ABC中，∠C＝eq\f(π,3)，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2eq\r(2)，则cosA等于()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)7．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为________．8．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，则cos5B＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或－1D．－eq\f(\r(3),2)或09．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于________．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的大小为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．12．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cosB等于()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tanA＝________．14．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为________．15．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，△ABC面积的最大值为eq\r(3)，则角B的值为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,4)18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，则C＝________．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB，则角B＝________．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝()A．60°B．120°C．30°D．150°21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)22．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)a＋c,a＋b)，则角B＝_______．23．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且eq\f(b＋a,sinC)＝eq\f(2asinB－c,sinB－sinA)，则A＝________．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则角A为()A．30°B．60°C．120°D．150°25．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．26．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝eq\f(1,2)asinC，则sinB的值为()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(7),4)D．eq\f(1,3)27．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)等于________．考点二计算三角形中的边或周长【方法总结】计算三角形中的边长的解题技巧此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【例题选讲】[例2](1)在△ABC中，若A＝60°，a＝2eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于________．答案4解析eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，c＝4sinC，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(4sinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝4．(2)(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________．答案eq\f(21,13)解析因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)．又a＝1，所以由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(63,65)×eq\f(5,3)＝eq\f(21,13)．(3)在△ABC中，C＝eq\f(2π,3)，AB＝3，则△ABC的周长为()A．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3B．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3C．2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3D．2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3答案C解析设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝eq\f(3,sin\f(2π,3))＝2eq\r(3)，于是BC＝2RsinA＝2eq\r(3)sinA，AC＝2RsinB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))．于是△ABC的周长为2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋3＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3．(4)(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3答案D解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))．(5)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4eq\r(2)B．eq\r(30)C．eq\r(29)D．2eq\r(5)答案A解析由题意得cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up10(2)－1＝－eq\f(3,5)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq\r(2)．(6)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，则a＋c的值为________．答案3eq\r(7)解析因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．因为sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，所以ac＝13，因为b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2＝37，所以(a＋c)2＝63，所以a＋c＝3eq\r(7)．(7)如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为_____．答案eq\f(5\r(6),2)解析在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝－eq\f(1,2)，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，∴AB＝eq\f(5\r(6),2)．(8)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．答案8eq\r(2)解析在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16．在△BCD中，由正弦定理知，eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BC＝eq\f(16,sin135°)·sin30°＝8eq\r(2)．(9)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，则c等于()A．2eq\r(7)B．4C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)答案C解析∵eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0<C<π，sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3)，∵S△ABC＝2eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝2eq\r(3)，故选C．(10)已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)．若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，则CD＝________．答案eq\r(3)解析因为S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sin∠BCA，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(6)×sin∠BCA，所以sin∠BCA＝eq\f(1,2)．因为∠BAC>∠BDC＝eq\f(π,4)，所以∠DAC<eq\f(3π,4)，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<eq\f(3π,4)，则∠BCA＝eq\f(π,6)，所以cos∠BCA＝eq\f(\r(3),2)．在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×eq\r(2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝2，所以AB＝eq\r(2)＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝eq\f(π,6)，在△BCD中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，即eq\f(\r(6),\f(\r(2),2))＝eq\f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq\r(3)．【对点训练】1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶eq\r(3)∶2D．2∶eq\r(3)∶12．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则a＝________．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，则b＝________．4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)等于()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．eq\r(2)5．(2019浙江)在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝________．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝()A．eq\f(21,13)B．eq\f(7,5)C．eq\f(12,13)D．eq\f(23,12)8．(2017·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，eq\f(sin2C,1－cos2C)＝1，B＝eq\f(π,6)，则a的值为()A．eq\r(3)－1B．2eq\r(3)＋2C．2eq\r(3)－2D．eq\r(2)＋eq\r(6)10．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．411．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(7,8)，c－a＝2，b＝3，则a＝()A．2B．eq\f(5,2)C．3D．eq\f(7,2)12．(2013·福建)在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，则BD的长为()A．3B．eq\r(3)C．2D．eq\r(2)13．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则eq\f(a,b)＝____．14．(2014·全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC等于()A．5B．eq\r(5)C．2D．115．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()A．2B．3C．4D．616．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A＋eq\r(3)sin2A＝2，b＝1，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，则A＝________，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝________．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝eq\r(7)，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，则△ABC的周长为()A．1＋eq\r(7)B．2＋eq\r(7)C．4＋eq\r(7)D．5＋eq\r(7)18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，b＝2eq\r(6)，sin2A＝sinB，则边c的长为()A．2B．3C．4D．2或419．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝eq\f(1,4)，则eq\f(a,c)＝()A．2B．eq\f(3,2)C．3D．420．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)＝()A．2B．3C．eq\r(2)D．eq\r(3)21．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝()A．6B．5C．4D．322．在△ABC中，已知B＝eq\f(π,4)，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为________．23．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，则c的值为()A．eq\r(13)B．eq\r(7)C．eq\r(37)D．624．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3)－1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，则AD的长为_______．25．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝eq\r(10)，DC＝eq\r(2)，则AB＝________．26．如图，在△ABC中，AB＝eq\r(2)，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10)，cos∠C＝eq\f(2\r(5),5)，则AC＝________．27．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，则BD的长等于________．28．在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，则AB的长为______．29．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(5c,2b)，sinB＝eq\f(\r(7),4)，S△ABC＝eq\f(5\r(7),4)，则b的值为________．30．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝eq\f(π,4)，b＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(3＋\r(3),2)，则c＝________，B＝________．31．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3,2)，且sinA＋sinC＝2sinB，则b的值为________．32．在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq\r(5)，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．33．已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)．若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，则CD＝________．34．在△ABC中，A＝60°，BC＝eq\r(10)，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝eq\r(2)，△BCD的面积为1，则AC的长为()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2\r(3),3)专题一三角形中基本量的计算问题1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．变形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．3．解三角形有关的二级结论(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等关系①在三角形中大边对大角，大角对大边．②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．考点一计算三角形中的角或角的三角函数值【方法总结】计算三角形中的角或角的三角函数值的解题技巧此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．【例题选讲】[例1](1)(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)．又A为锐角，∴A＝eq\f(π,3)．(2)(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝________．答案(1)75°解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°．(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()A．eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25)D．eq\f(24,25)答案A解析∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC．又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB．∵sinB≠0，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25)．(4)(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案B解析由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，则sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，得C＝eq\f(π,6)．(5)(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1．又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4)．(6)(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)，故选C．(7)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝________．答案eq\f(3,4)解析如图，设AB＝6，则AE＝EF＝FB＝2．因为△ABC为等腰直角三角形，所以AC＝BC＝3eq\r(2)．在△ACE中，A＝45°，AE＝2，AC＝3eq\r(2)，由余弦定理可得CE＝eq\r(10)．同理，在△BCF中可得CF＝eq\r(10)．在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(3,4)．(8)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c．又b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4)．(9)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4)D．eq\f(\r(2),3)答案B解析因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)．(10)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，则eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是________．答案4解析由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及余弦定理，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，化简得a2＋b2＝eq\f(3,2)c2．又eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及正弦定理，得eq\f(sinB,sinA)＋eq\f(sinA,sinB)＝6cosC，故sinAsinBcosC＝eq\f(1,6)(sin2B＋sin2A)．又eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(sinC,cosC)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosA,sinA)＋\f(cosB,sinB)))＝eq\f(sin2C,cosCsinAsinB)，所以eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(6sin2C,sin2B＋sin2A)＝eq\f(6c2,a2＋b2)＝4．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(b,\r(3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，则cosB等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)1．答案B解析由正弦定理知eq\f(sinB,\r(3)cosB)＝eq\f(sinA,sinA)＝1，即tanB＝eq\r(3)，由B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)，所以cosB＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，故选B．2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于________．2．答案7∶5∶3解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)．令eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)＝k(k>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝4k,c＋a＝5k,a＋b＝6k))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)k，,b＝\f(5,2)k，,c＝\f(3,2)k，))∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(5),4)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(5),6)3．答案B解析由正弦定理，得sinA＝eq\f(\r(5),2)sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝eq\f(\r(5),4)．4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶24．答案C解析由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．5．(2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，则B等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)5．答案A解析由条件得eq\f(a,b)sinBcosC＋eq\f(c,b)sinBcosA＝eq\f(1,2)，由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，∴sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，从而sinB＝eq\f(1,2)，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝eq\f(π,6)．另解由射影定理可知acosC＋ccosA＝b，则(acosC＋ccosA)sinB＝bsinB，又asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，则有bsinB＝eq\f(1,2)b，sinB＝eq\f(1,2)．又a>b，所以A>B，则B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故B＝eq\f(π,6)．6．如图，在△ABC中，∠C＝eq\f(π,3)，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2eq\r(2)，则cosA等于()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)6．答案C解析依题意得，BD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2\r(2),sinA)，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A．在△BCD中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(BD,sinC)，eq\f(4,sin2A)＝eq\f(2\r(2),sinA)×eq\f(2,\r(3))＝eq\f(4\r(2),\r(3)sinA)，即eq\f(4,2sinAcosA)＝eq\f(4\r(2),\r(3)sinA)，由此解得cosA＝eq\f(\r(6),4)．7．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为________．7．答案eq\f(1,3)解析由sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，可得a∶b∶c＝3∶2∶3．不妨设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，则cosC＝eq\f(3k2＋2k2－3k2,2×3k×2k)＝eq\f(1,3)．8．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，则cos5B＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或－1D．－eq\f(\r(3),2)或08．答案A解析由b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，结合余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝1＋3－2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，得a＝1．由此a＝b，则B＝A＝eq\f(π,6)，因此cos5B＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故选A．9．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sinB等于________．9．答案eq\f(\r(15),4)解析由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0．由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，∴4accosB＋ac＝0．∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－eq\f(1,4)，又B∈(0，π)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的大小为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)10．答案D解析由余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，得2acsinB＝eq\r(3)ac，因为ac≠0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．11．答案eq\f(8＋\r(15),7)解析从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝eq\f(32＋22－42,2×3×2)＝－eq\f(1,4)，所以tanA＝－eq\r(15)，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝eq\f(tanA－tan45°,1＋tanAtan45°)＝eq\f(8＋\r(15),7)．解法2由解法1得tanA＝－eq\r(15)．由tan(45°＋∠CAD)＝－eq\r(15)得eq\f(tan45°＋tan∠CAD,1－tan45°tan∠CAD)＝－eq\r(15)，即eq\f(1＋tan∠CAD,1－tan∠CAD)＝－eq\r(15)，解得tan∠CAD＝eq\f(8＋\r(15),7)．12．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cosB等于()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)12．答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×eq\f(2,3)＝9，所以AB＝3，所以cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(9＋9－16,2×3×3)＝eq\f(1,9)．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tanA＝________．13．答案eq\f(\r(3),2)解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝4b2＋b2－2×2b×b×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7b2，∴c＝eq\r(7)b，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋7b2－4b2,2×b×\r(7)b)＝eq\f(2,\r(7))，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(4,7))＝eq\f(\r(3),\r(7))，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),2)．14．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为________．14．答案75°解析由题意可知c<b<a，或a<b<c，不妨设c＝2x，则a＝(eq\r(3)＋1)x，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，即eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋12x2＋4x2－b2,2·\r(3)＋1x·2x)，∴b2＝6x2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3)＋12x2＋6x2－4x2,2\r(3)＋1x·\r(6)x)＝eq\f(\r(2),2)，∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°．15．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．15．答案－eq\f(1,4)解析在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝eq\r(3)，∴BD＝eq\r(6)，∴FB＝BD＝eq\r(6)．在△ACE中，∵AE＝AD＝eq\r(3)，AC＝1，∠CAE＝30°，∴EC＝eq\r(\r(3)2＋12－2×\r(3)×1×cos30°)＝1，∴CF＝CE＝1．又∵BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos∠FCB＝eq\f(CF2＋BC2－FB2,2×CF×BC)＝eq\f(12＋22－\r(6)2,2×1×2)＝－eq\f(1,4)．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)16．答案C解析因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，即eq\f(sin2C－4sinCcosC＋4cos2C,sin2C＋cos2C)＝4，所以eq\f(tan2C－4tanC＋4,tan2C＋1)＝4，解得tanC＝－eq\f(4,3)或tanC＝0(舍去)，故选C．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，△ABC面积的最大值为eq\r(3)，则角B的值为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,4)17．答案B解析由余弦定理得4＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2accosB＝2ac(1－cosB)，当且仅当a＝c时取等号，所以ac≤eq\f(2,1－cosB)，S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×eq\f(2sinB,1－cosB)＝eq\f(1,tan\f(B,2))，即eq\f(1,tan\f(B,2))＝eq\r(3)，所以B为eq\f(π,3)．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，则C＝________．18．答案eq\f(π,6)解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，eq\r(3)sinA－cosA＝eq\f(b2＋c2,bc)，b，c>0，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(b2＋c2,bc)＝eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6)．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB，则角B＝________．19．答案45°解析由正弦定理，得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2)．又因为B为三角形的内角，所以B＝45°．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝()A．60°B．120°C．30°D．150°20．答案B解析由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc．由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝－eq\f(1,2)，又A为三角形的内角，故A＝120°．21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)21．答案B解析∵(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc．所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)．22．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)a＋c,a＋b)，则角B＝_______．22．答案eq\f(5π,6)解析由eq\f(sinB－sinA,sinC)＝