数学教案：“杨辉三角”与二项式系数的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．3。2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点:了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．eq\o(\s\up7（），\s\do5(教学过程））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新课))前面我们学习了二项式定理,请回顾：（1)(a＋b）n＝__________________(n∈N＊）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做（a＋b）n的__________________，其中Ceq\o\al（r，n)（r＝0,1,2，…，n）叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．（2）什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆,然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)（1）（a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n）an＋Ceq\o\al(1，n）an－1b＋Ceq\o\al(2，n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n）bn(n∈N）、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1。（2)二项式系数是Ceq\o\al(r，n），系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b）n展开式的二项式系数并填入下表n展开式的二项式系数1234567活动设计：通过学案或者投影展示表格,学生填空，学生之间可以交流，教师指导．

活动成果：n展开式的二项式系数11121213133141464151510105161615201561设计意图：当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表,让学生发现其中的规律．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知))提出问题：当表示形式为“三角形"时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：（这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了,称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题1:观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计:通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论,踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等,正数第3个数与倒数第3个数相等，…（板书）二项式系数的性质(1)对称性:在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即Ceq\o\al(m，n）＝Ceq\o\al(n－m,n)。设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”,进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系?活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即（板书）(2)Ceq\o\al(r,n＋1）＝Ceq\o\al(r－1，n)＋Ceq\o\al（r，n）.设计意图：通过新发现（杨辉三角）,重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握,加深学生对二项式系数性质的理解,能够在最大程度上提升学生的认知水平,这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况,有单调性吗?有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论,学生之间可以相互求助．活动成果:因为Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(n（n－1）(n－2)…（n－k＋1)，(k－1）！k）＝Ceq\o\al（k－1,n)eq\f(n－k＋1,k)，所以Ceq\o\al(k,n)相对于Ceq\o\al（k－1，n）的增减情况由eq\f(n－k＋1，k)决定．由eq\f(n－k＋1,k)>1k〈eq\f(n＋1,2）可知，当k〈eq\f(n＋1,2）时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Ceq\f(n,2）n最大；当n是奇数时,中间的两项相等，且同时取得最大值,即Ceq\f（n－1，2）n＝Ceq\f(n＋1，2）n，即Ceq\f(n－1，2）n，Ceq\f(n＋1,2）n最大．（板书)（3）增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大,并且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间的一项取得最大值，即Ceq\f（n，2)n最大;当n是奇数时，中间的两项相等,且同时取得最大值，即Ceq\f（n－1，2）n＝Ceq\f（n＋1，2)n最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系,使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k＝eq\f（n,2），从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4:计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言,教师应该多加鼓励,但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知（1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1,n)x＋Ceq\o\al(2，n)x2＋…＋Ceq\o\al（r，n)xr＋…＋Ceq\o\al（n,n)xn，令x＝1，则2n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1，n）＋Ceq\o\al(2,n）＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)。即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法,赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．（板书)(4)各二项式系数的和：Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(1，n）＋Ceq\o\al(2，n）＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al（n,n)＝2n。设计意图:本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过,教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握,让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(运用新知）)例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大?是多少？填在相应的横线上．(1）（a＋b）20第________________项的二项式系数最大,是______________________；(2)(a＋b）19第________________项的二项式系数最大,是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质（3）即可解决，但要分清n的奇偶性．解:(1）若n＝20，则当r＝10时,二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是Ceq\o\al(10,20).（2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是Ceq\o\al（9，19)＝Ceq\o\al（10,19）.点评:通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质（3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(7，n),所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析:奇数项的二项式系数的和为Ceq\o\al（0,n）＋Ceq\o\al（2，n)＋Ceq\o\al（4，n）＋…，偶数项的二项式系数的和为Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（3,n）＋Ceq\o\al(5，n)＋…，由于(a＋b）n＝Ceq\o\al(0，n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al（2,n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r,n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n，n）bn（n∈N）中的a，b可以取任意实数,因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4）的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al（1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n，n）bn(n∈N)中，令a＝1，b＝－1,则得(1－1)n＝Ceq\o\al（0，n）－Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al(2，n）－Ceq\o\al（3，n）＋…＋（－1）nCeq\o\al（n,n），即0＝（Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…)－（Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al（3，n)＋…)，所以Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（3，n）＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题,都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f（x）＝Ceq\o\al（0,n)＋Ceq\o\al（1，n)x＋Ceq\o\al（2,n)x2＋…＋Ceq\o\al（r，n）xr＋…＋Ceq\o\al（n,n)xn，由f（－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】Ceq\o\al(1，7）＋Ceq\o\al（2，7)＋Ceq\o\al（3，7）＋…＋Ceq\o\al(7,7)＝__________解:因为Ceq\o\al（0，7）＋Ceq\o\al（1,7）＋Ceq\o\al（2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋…＋Ceq\o\al（7，7）＝27＝128,所以Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2，7)＋Ceq\o\al（3,7）＋…＋Ceq\o\al(7，7)＝128－1＝127。【变练演编】1．当Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2，n)＋…＋Ceq\o\al(r，n)＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2048时,n＝________.2．当Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al（2，n）＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2048时，n＝________.3．当Ceq\o\al（x,n)＝Ceq\o\al（y，n)时，其中n≥x，n≥y，x,y，n∈N*,则x,y所满足的关系式是__________．4．当（1＋2x）n的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n＝________________。请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：由2n＝2048＝211，得n＝11。2．解：由2n－1＝2048＝211，得n＝12。3．解：由题意x＝y或x＋y＝n。4．解：由性质(3)知,eq\f(n，2）＋1＝7，所以n＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法:变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维,还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练,让学生去创造题目，解决问题,增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2Ceq\o\al(1，10)＋4Ceq\o\al（2，10)＋…＋210Ceq\o\al（10，10）＝________。2．(xeq\r（y）－eq\f（1,2)yeq\r（x）)13展开式的中间项是__________．3．已知（x3＋eq\f（1，x2))n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大,求展开式中不含x的项．1．解：在（1＋x）10＝eq\i\su(r＝0，10，）Ceq\o\al(r,10)xr中，令x＝2，得1＋2Ceq\o\al（1,10)＋4Ceq\o\al（2,10)＋…＋210Ceq\o\al（10,10)＝（1＋2）10＝310＝59049.2．解：中间项是第7、8项,即eq\f（429，16）x10yeq\f（19，2）、－eq\f(429，32）y10xeq\f(19，2).3．解:由题意n＝10，展开式的通项为Ceq\o\al(r，10）x30－5r，所以当r＝6时，不含x的项是210.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结））活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：（板书）1．知识收获:杨辉三角的发现,二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现,体会推理—猜想的重要性,体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之,学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（补充练习））【基础练习】1．Ceq\o\al(1，10)＋Ceq\o\al(3，10）＋Ceq\o\al(5，10)＋Ceq\o\al(7，10）＋Ceq\o\al(9,10）＝______________。2．Ceq\o\al（1，11)＋Ceq\o\al（2，11)＋Ceq\o\al（3,11)＋Ceq\o\al（4，11）＋Ceq\o\al(5，11)＝________________________。3．若（a＋b）n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为(）A．16B．15C．14D．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）A．20B．219C．220D．220－1【答案或解答】1．5122．利用对称性，原式为eq\f（211，2）－1＝10233．D4。D【拓展练习】5．若（eq\r(3，\f（1,x））＋eq\r（5,\f（1,x2))）n的展开式中,所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项．6．已知(2x＋xlgx)8的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值．答案：5.解：系数之和即为二项式系数之和，由2n－1＝1024，得n＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x－4、462x－eq\f(61，15).6．解：依题意T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x）4（xlgx)4＝1120,整理得x4(1＋lgx）＝1，两边取对数，得lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1。∴x＝1或x＝eq\f(1，10)。eq\o(\s\up7(），\s\do5(设计说明）)二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教材从传授知识的角度出发,有它的合理性,但教学过程中不能照本宣科平铺直叙．经过认真探索，发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识,提高其数学能力．同时还能发挥教材中史情内容的教育功能，唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情，并转化为学习数学的动力而发奋学习．这样设计这堂课,主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担．即使如此，学生的学习仍处于被动状态,所以这节课,要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角,利用图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二,以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往,学生的数学素质很难得到提高．第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展．现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用．”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体”作用呢？我们认为一定要突出“引"和“放”,即在教师正确引导下，放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿．这里关键在于教师设法创造良好的教学环境,思路一起探索,疑难一同解决,规律共同发现，结论一起获得，错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展．第四，要充分发挥“以教师为主导、学生为主体"的作用,首先要深入研究教材，结合教材具体内容及学生实际情况和需求（学生感兴趣），创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机,引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与，突出“引”与“放"．本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用．上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳,能摸到”，促进学生思维能力的提高．第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形．一是过易,不能充分发挥学生的主体作用．二是过难，学生摸不着头绪就没兴趣参与．教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与，做到一分耕耘一分收获．第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养，善于揭示教材的内隐性．像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构,以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响．只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法,才能形成能力，培养学生只学会还不够，教师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富．eq\o（\s\up7(),\s\do5（备课资料））伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年）,字谦光,钱塘（今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年),卒于元成宗大德二年(1298年),是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字,基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创,而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型,所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式（a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图"之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后,关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题