苏科版数学八年级上册《期末测试题》附答案

苏科版数学八年级上学期

期末测试卷

学校班级姓名成绩________

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.下列运算正确的是【】

2563

842C.正了二—2D.-（2xy）=-8xy

A.3a-2a=1B.x-x=x

2.若等腰三角形的顶角为80，则它的底角度数为（）

A.50B.80或20C.80或50D.20

3.如图，圆柱底面半径为3cm,圆柱高AB为2cm,BC是底面直径,一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到

点C,则蚂蚁爬行的最短路线长（）

-----------、

•4^-------------1

A.5cmB.8cmC.,4+9/cmD.J4+36/cm

4.若x2+6x+k是完全平方式，则k=（）

A.9B.-9C.±9D.±3

5.现有纸片：4张边长为。的正方形,3张边长为人的正方形（a<b）,8张宽为。，长为b的长方形，用这15

张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为（）

A.2a+3bB.2a+bC.a+3bD.3a+2b

6.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换

叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）.结合轴对称变换和平移变

换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）

图

A.对应点连线与对称轴垂直

B.对应点连线被对称轴平分

C.对应点连线被对称轴垂直平分

D.对应点连线互相平行

7.以不在同一直线上三个点为顶点作平行四边形最多能作()

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.某校举行运动会,从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格

多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元,则下列

所列方程正确的是()

200350200350200350200350

A.---------B.----=-----C.---------D.----=----

xx-3xx+3x+3xx-3x

9.一个三角形的三边长2、3、4,则此三角形最大边上的高为()

A2旦3店DV15

2882

10.已知x=J7—2,小+才+需/的值为()

A.11-77B.J7+3C.3D.9

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分，共24分)

11.已知点”(3,-2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上,且点N到N轴的距离等于4,那么点N的

坐标是.

12.某种电子元件的面积大约为0.00()00069平方毫米,将0.00000069这个数用科学记数法表示为—

13.若-J(X—2)2=2-x,则％取值范围是.

14.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知/ADE=40。,则NDBC=

15.如图,面积为12c〃?2的AABC沿8c方向平移至ADEF位置,平移的距离是8。的三倍,则图中四边形

ACE。的面积为

B

CE

16.如图所示,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点3,点A表示-逝，设点3所表示的数为加,

则上〃一1卜|/n+的值是__________.

o-i_T

kx—4

17.已知关于的方程—+3=—有增根,则k的值是_______

x—33—x

18已.知，如图，AABC中，AB=AC,ZR4C=80,P为形内一点，若NPCB=10,ZPflC=30,

ZAPB的度数为__________.

BC

三、解答题：共96分.

19计.算:

(1)(m-3n)(-m-3〃)

(2)(-x2)2^-(2x)2«(-4xy)

(3)4一;强一卜一四一(3一夜)。+(马t

龙一23

(4)解分式方程：一-一一二；=1

x+3x-3

20.因式分解：

（1）-4X2-12X3

(2)8(x2—2y2)-x(7x+y)+xy

2

21.若4x=—l,求(1)J(X_1)+4；(2)L-x的值.

VxX

22.如图，在4BCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AO于尸，分别以8、尸为圆心，大于,3尸的长为

2

半径画弧,交于点G,作射线AG交3C于点E,若B/=6,A5=5,求AE的长为.

23.已知a、b、c均不等于0,且,+,+，=0,求证：a2+b2+c2=(a+b+c)\

abc

24.如图1,定义：四边形ABC0中，若NADB+ZBC4=180,则把四边形ABC。叫做互补四边形.

(1)如图2,分别延长互补四边形ABCD两边A。、交于点E,求证：ZE=ZCAB+ZDBA.

(2)如图3,在等腰△ABE中，AE=BE,。、C分别为AE、BE上的点，四边形A8C0是互补四边

形，NE=2NC4B,证明：AD2+BD2=AB2-

25.某公司为增加员工收入,提高效益,今年提出如下目标,和去年相比,在产品的出厂价增加10%的前提下，

将产品成本降低20%,使产品的利润率(利润率=5^x100%)较去年翻一番,求今年该公司产品的利润

成本

率.

26.如图，锐角AA6C,AB=AC,点。是边8c上的一点，以为边作A4T>£，使

AE^AD,ZEAD=ZBAC.

(1)过点E作石F//OC交AB于点F,连接CT(如图①)

①请直接写出NE46与ND4c的数量关系；

②试判断四边形COEE的形状,并证明；

(2)若ZBAC=60，过点C作CF//OE交AB于点/，连接EF(如图②)，那么(1)②中结论是否

任然成立?若成立,请给出证明，若不成立,请说明理由•

答案与解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.下列运算正确的是【】

8422363

A.3a-2a=lB.x-x=xC.J（_2p=_2D.-（2xy）=-8xy

【答案】D

【解析】

根据合并同类项，二次根式的性质与化简，幕的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A、3a-2a=a,本选项错误；

B、x8和x，不是同类项，不能合并,本选项错误；

C、,（—2）2=1-21=2,本选项错误;

D、-（2x2y）3=-23x2x3y3=-8x6y3,*MiE^.

故选D.

2.若等腰三角形的顶角为80，则它的底角度数为（）

A.50B.80或20C.80或50D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得底角的度数等于（180。-顶角的度数）+2.

1Q（）O_OAO

【详解】解：该三角形底角的度数为：=50°.

2

故选:A.

【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形性质.理解三角形内角和等于180。和等腰三角形的两

个底角相等是解决此题的关键.

3.如图，圆柱的底面半径为3cm,圆柱高AB为2cm,BC是底面直径,一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到

点C,则蚂蚁爬行的最短路线长（）

A.5cmB.8cmC"+9乃2cmD.44+3612cm

【答案】B

【解析】

将圆柱体的侧面展开并连接AC.

B----------------------ri。

•••圆柱的底面半径为3cm,

/.BC=X2•兀・3=3兀(cm),

2

在RtAACB中，AC2二AB2+CB2=4+9兀2,

***AC="+9万之cm.

蚂蚁爬行的最短的路线长是54+9/cm.

•；AB+BC=8<j4+9乃2，

蚁爬行的最短路线A今BnC,

故选B.

【点睛】运用了平面展开图,最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两

点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

4若x2+6x+k是完全平方式，则k=()

A.9B.-9C.±9D.±3

【答案】A

【解析】

试题分析：若x2+6x+k是完全平方式，则k是一次项系数6的一半的平方.

解：•；x2+6x+k是完全平方式，

(x+3)2=x2+6x+k,BPx2+6x+9=x2+6x+k

；.k=9.

故选A.

考点：完全平方式.

5.现有纸片：4张边长为。的正方形,3张边长为b的正方形,8张宽为。，长为力的长方形，用这15

张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的边长为()

A.2a+3bB.2a+hC.a+3bD.3a+2b

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算所拼成的长方形的面积（是一个多项式），再对面积进行因式分解,即可得出长方形的长和宽.

【详解】解：根据题意可得：

拼成的长方形的面积=4/+3济+8必，

X.4a2+3b2+Sab=（2a+b）（2〃+36）,且6<3b,

那么该长方形较长的边长为2a+3b.

故选：A.

【点睛】本题考查因式分解的应用.能将所表示的长方形的面积进行因式分解是解决此题的关键.

6.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变

换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）.结合轴对称变换和平移

变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）

图

A对应点连线与对称轴垂直

B.对应点连线被对称轴平分

C.对应点连线被对称轴垂直平分

D.对应点连线互相平行

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质结合图形分析可得.

【详解】解：观察原图，有用进行了平移,所以有垂直的一定不正确,A、C是错误的;

对应点连线是不可能平行的,D是错误的；

找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分.

故选B.

7.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】

连接不在同一直线上的三点,得到一个三角形,分别以三角形的三边为对角线,用作图的方法,可得出选项.

如图，以点A,B,C能做三个平行四边形：分别是口ABCD,°ABFC,。AEBC.

故选B.

8.某校举行运动会,从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格

多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元,则下列

所列方程正确的是（）

200350200350200350200350

A.——=-------B.-----C.------D.-------=

xx-3Xx+3x+3Xx-3X

【答案】B

【解析】

试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”

这一等量关系列出方程即可.

考点：由实际问题抽象出分式方程

9.一个三角形的三边长2、3、4,则此三角形最大边上的高为（）

3113\/15J15

A.-B.—C.rZhlD.

2882

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出图形,最长边BC上的高将BC分为BD和DC两部分,设BD=x,则DC=4-x,根据RtAABD和

RtAADC有公共边AD,利用勾股定理构建方程,解之即可求得BD的长度,从而可求得AD的长度.

【详解】解：如下图,AB=2,AC=3,BC=4,AD为边BC上的高，

A

设BD=x,则DC=4-x,

在RtAABD和RtAADC中根据勾股定理，

AD2=AB2-BD1=AC2-DC2,

即22-X2=32-（4-X）2,

bn/a11.22135

解得x=z，2—x=——-,

864

所以4。=独5.

8

故选：C.

【点睛】本题考查利用勾股定理解直角三角形.一般已知三角形的三边，求最长边上的高，先判断该三角形

是不是直角三角形,如果是直接利用等面积法即可求得；如果不是直角三角形,那么我们可借助高把原三角

形分成两个有公共边（公共边即为高）的直角三角形，借助勾股定理构建方程即可解决.需注意的是设未知

数的时候不能直接设高，这样构建的方程现在暂时无法求解.

10.已知x=J7-2,犬+8/+16丁的值为（）

A.11-V7B.V7+3C.3D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

先将/+8d+16/因式分解,再将x=近-2代入，借助积的乘方公式（an-b"=（ab）",本题中为逆运用）

和平方差公式C（a+b）（a-b）=a2-b2）求解即可.

【详解】解：/+8/+16/=x2（x2+8x+16）=f（x+4）2,

将x=J7-2代入，

原式=（近一2>（近一2+4）2

=3-2)2(币+2)2

=[(近-2)(6+2)f

=(7-4)2

=9.

故选：D.

【点睛】本题考查因式分解的应用,积的乘方公式，平方差公式，二次根式的化简求值.解决此题的关键是①

综合利用提公因式法和公式法对原代数式进行因式分解；②利用积的乘方公式和平方差公式对代值后的式

子进行适当变形.

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分，共24分)

1L已知点M(3,—2)与点N(x,y)在同一条平行于%轴的直线上，且点N到J轴的距离等于4,那么点N的

坐标是一.

【答案】(4,-2)或(-4,-2)

【解析】

【分析】

根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等可求得点N的纵坐标y的值,再根据点N到y轴的距离等于4求

得点N的横坐标X即可.

【详解】解：•••点M(3,-2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上，

；.y=-2,

•..点N到y轴的距离等于4,

x=-4或x=4,

点N的坐标是(4,-2)或(-4,-2).

故答案为：(4,-2)或(Y,-2).

【点睛】本题考查了坐标与图形，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，需熟记.还需注意在直线

上到定点等于定长的点有两个.

12.某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为.

【答案】6.9X107.

【解析】

试题分析：对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO?与较大数的科学记数法不同的

是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.所以

0.00000069=6.9x107.

考点：科学记数法.

13.若-7（X-2）2=2—x,则％的取值范围是.

【答案】x>2

【解析】

【分析】

a,a>0

利用二次根式的性质（值=|。|）及绝对值的性质化简（|«|=<0,a=0），即可确定出x的范围.

-a.a<0

2

详解】解：V-A/（X-2）=-|X-2|=2-X,

/.|x-21=x—2.

x—2>0,即xN2.

故答案为：x>2.

【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简.熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键.

14.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知NADE=40。,则NDBC=°.

【答案】15.

【解析】

【详解】试题分析：TDE垂直平分AB,

AAD=BD,ZAED=90°,

AZA=ZABD,VZADE=40°,

・・・ZA=90°-40°=50°,

AZABD=ZA=50°,

AB=AC,

/.ZABC=ZC=—(180°-ZA)=65°,

2

・・・ZDBC=ZABC-ZABD=65°-50°=15°.

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

15.如图,面积为12c52的八48c沿8c方向平移至△。砂位置,平移的距离是BC的三倍，则图中四边形

ACE£>的面积为

【答案】60cm2

【解析】

【分析】

根据平移的性质可证四边形ACFD为平行四边形，且它与AABC的高相等,CF=3BC,由AABC的面积等于

12cm2可得ADEE的面积也等于12cm并且可计算ACFD的面积等于72cm?,继而求出四边形

ACED的面积.

【详解】解：:△DEF是"BC平移得到的，平移的距离是8c的三倍，

AD〃CF,AD=CF,CF=3BC,

四边形ACFD是平行四边形，

2

••,SAABC=12C/?I,AABC^°ACFD的高相等，

S„ACFD=12x3x2=72cm2>

/•S叫边彩ACED=S=ACFD-SADEF=S“ACFD-SAABC=72-12=60cm1,

故答案为：60cm2.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平移的性质.理解平移前后对应点所连线段平行且相等是解

决此题的关键.

16.如图所示,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点8,点A表示-0,设点B所表示的数为m,

则仙一1卜卜〃+码的值是.

【答案】272-2

【解析】

【分析】

a,a>0

先根据数轴上点的平移的性质求得m,将m的值代入,根据绝对值的性质(|a|=<0,。=0)进行化简即可.

-a.a<0

【详解】解：由题意知,A点和B点的距离为2,A的坐标为—J],

B点的坐标为,〃=2—；

+V2|

=|2-V2-1|X|2-^+V2|

H1-V2|X|2|

=(V2-l)x2

=20-2-

故答案为：2及一2.

【点睛】本题考查实数与数轴，化简绝对值,无理数的估算.能估算1-血的正负,并且根据绝对值的意义化

简|1-也|是解决此题的关键.

17.已知关于的方程+3=有增根,则k的值是__________.

x~33-x

【答案】1

【解析】

【分析】

根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，求出增根为x=3,再将分式方程化

为整式方程,然后将43代入整式方程即可求出k的值.

【详解】解：•••原方程有增根，

，x-3=0,

解得x=3,

方程两边都乘以(x-3)，得

k+3(x-3)=4-x,

把x=3代入k+3(x-3)=4-x中，得

k=4-3=l.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了分式方程无解（有增根）问题，依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：①

由题意求出增根；②将分式方程转化为整式方程；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数

的值.注意①和②的顺序可以颠倒.

18.已知，如图，A4BC中，AB=AC,N84C=80,P为形内一点，若NPC8=10,=30，则

ZAPB的度数为.

【答案】150

【解析】

【分析】

在BC下方取一点D,使得三角形ACD为等边三角形，连接DP、BD.根据等腰三角形的性质和三角形的内

角和定理证明aBDC也Z\BPC和NOBP=60°,从而可证明ABPD为等边三角形,根据等边三角形的性质可

得NBPD=60。，BP=DP,证明^ABP名AADP,从而可得44尸5=/APD=

2

【详解】解：如下图在BC下方取一点D,使得三角形ACD为等边三角形，连接DP、BD.

・・・AD=AB二AC,ZADC=ZCAD=60°,

・・・ZBAC=80°,AB=AC,

ZDAB=ZBAC-ZCAD=20°,ZABC=ZACB=50°,

.\ZABD=ZADB=80°,

ZBDC=ZADB+ZADC=140°,NDBC=/ABD-/ABC=30。，

NPCB=10°,APBC=30°,

NBPC=180。—NPCB-NPBC=140。,NPBC=NDBC,

4BPC=NBDC,

又,/BC=BC

.,.△BDC^ABPC,

BD=BP,

•••4DBP=ZPBC+NDBC=60°,

...△BPD为等边三角形，

ZBPD=60°,BP=DP,

在AABP和AADP中，

AB=AD

vIAP^AP

BP=PD

：.AABP^AADP,

故答案为：150。.

【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,三角形内

角和定理.作辅助线得到全等三角形是解此题的关键,此题在证明三角形全等时用到了角度之间的计算,有

一定的难度.

三、解答题：共96分.

19.计算：

（1）

（2）（一/）2+（2%）2・（一4孙）

次—卜闽—（3—扬。+（岑尸

24

（4）解分式方程:

x+3x—3

3

【答案】（1）9川-机2；（2）-（3）0；（4）x是该方程的根.

【解析】

【分析】

（1）适当变形后，利用平方差公式（（。+力）缶一与=4一/）计算即可；

（2）首先计算积的乘方（（ab）"=a"b"）和幕的乘方（（优）'"=膻"’），然后从左到右依次计算即可；

（3）分别化简二次根式、绝对值，计算零指数基（。°=1（。NO））和负指数嘉（an=+（存0,n为整数）），

然后进行二次根式的加减运算；

（4）去分母后将分式方程化为整式方程,然后求解整式方程,验根，写出答案.

【详解】解：（1）原式=（一3〃+m）（一3〃一ni）=（—3〃）2-m2=9n2-m2；

（2）原式二犬+（4]2）・（-4肛）

1

二（丁9）,（-4孙）

4

；

（3）原式=注—注—（及—1）—1+&

22

=也_也_&+1+夜

22

=0；

（4）去分母得：（X-3）（X-2）-3（X+3）=X2-9,

去括号得：x2—5x+6—3%-9=x2—9,

移项，合并同类项得：—8x=-6,

3

解得元=—.

4

3

经检验x=—是该方程的根.

4

【点睛】本题考查平方差公式,整式的乘除混合运算，实数的混合运算,解分式方程.（1）中熟记平方差公式

并能灵活运用是解题关键；（2）中需注意在本题计算整式的乘除混合运算时,从左到右依次运算；（3）中需

注意在化简绝对值后，要先将绝对值化为普通括号，以防出现符号错误；（4）中注意分式方程一定要验根.

20.因式分解：

（1）-4X2-12X3

(2)8(x2—2/)_x(7x+y)+孙

2

【答案】（1）-4X（1+3X）;（2）（x-4y）（x+4y）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用提取公因式法分解因式即可；

（2）将括号展开，合并同类项后,再利用公式法（使用的是平方差公式合一片=（。+㈤（。一份）分解因式.

【详解】解：（1）-4x2-12x3=-4X2（1+3X）；

（2）原式=8--16y2-7x?一孙+孙

=x2-]6y2

=（x+4y）（x_4y）.

【点睛】本题考查因式分解.（1）中需注意若多项式中首项的符号为则公因式的符号一般为负；（2）中

的多项式无法直接因式分解，计算后结果正好为平方差公式，由此可先计算,再利用平方差公式因式分解.

21.若幺一4%=-1,求（1）J（x—[猿+4；（2）L—x的值.

Vxx

【答案】⑴4；（2）±273.

【解析】

【分析】

（1）根据f—4x=—1可得x+'=4,再利用完全平方公式（（。±切2=。2±2。。+〃）对代数式进行适

X

当变形后，代入即可求解；

（2）根据完全平方公式两数和的公式和两数差的公式之间的关系（（”-32=（“+»2一4,仍）即可求解.

【详解】解：（1）•••f—4x=—I,

1,

••XH—=4,

X

（x--）2+4=+J-2+4=小九2+J+2=J（x+J_）2

将x+_l=4代入,

X

原式="7=4；

11,1

（2）由（1）得x+—=4,即（x+—厂二r9+=+2=16,

XXX

x2H——2=12,

X

X

即,-x=±V12=±2-73.

x

【点睛】本题考查通过对完全平方公式变形求值，二次根式的化简.熟记完全平方公式和完全平方公式的常

见变形是解决此题的关键.

22.如图，在ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交于e，分别以8、尸为圆心，大于长为

2

半径画弧,交于点G,作射线AG交8C于点E,若3尸=6,=5,求4E的长为.

【答案】8.

【解析】

【分析】

连接FE,由题中的作图方法可知AE为NBAF的角平分线，结合平行四边形的性质可证明四边形ABEF为菱

形,根据菱形对角线互相垂直平分即可求得AE的长.

【详解】解：如下图,AE与BF相交于H,连接EF,由题中作图方法可知AE为NBAD的角平分线,AF=AB,

.".AD//BC,

又•••AE为/BAD的角平分线,

AZ1=Z3,

，Z2=Z3,

AB=BE,

VAF=AB,

AAF=BE,

VAD//BC

.••四边形ABEF为平行四边形

；・ABEF为菱形,

AAE1BF,B"」BF=LX6=3,AE=2A〃，

22

在RtAABH中，根据勾股定理

AH=YIAB2-BH2=VS2-32=4>

；.AE=8.

【点睛】本题考查平行四边形的性质定理,菱形的性质和判定,角平分线的有关计算，勾股定理.能判定四边

形ABEF为菱形,并通过菱形的对角线互相垂直平分构建直角三角形利用勾股定理求解是解决此题的关键.

23.已知a、b、c均不等于0,且,+——=0,求证：a2+b2+c2=(a+b+c)*.

abC

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析：先将‘+'+」=0两边乘以abc去掉分母得尻+℃+必=0,然后计算右边=(a+b+c)2=

abc

a2+b2+c2+2(ab+bc+ac'),然后将加+ac+“b=0代入即可得出结论.

试题解析：

解：由,+'=0,得历+ac+出>=0

abc

.'.^iilL=a1+b2+c2+2ab+2bc+2ac

=a1+b2+c1-\-2(ab-\-bc+ac)

=/+/+/

右边=〃+62+c2=左边，

，等式成立.

24.如图1,定义：在四边形ABCD中，若NAOB+ZBC4=180，则把四边形ABC。叫做互补四边形.

(1)如图2,分别延长互补四边形A8CD两边A。、8c交于点E,求证：ZE=ZCAB+ZDBA.

(2)如图3,在等腰A4BE中，A£=BE,。、C分别为AE、BE上的点，四边形ABC。是互补四边

形，NE=2NC4B,证明：AD2+BD2=AB2-

EE

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）结合互补四边形的定义，利用三角形外角的性质可证Nl+N2+2ZE=180。，利用三角形内角和定理

可证Z1+N2+NE+ZC4B+ZDBA=180°,由此可证ZE=ZCAB+NDBA；

（2）根据（1）的结论结合NE=2NC4B,可证NC4B=N£>84,再根据等腰三角形的性质可证

ZEAB=ZEBA,再利用公共边AB可证明AABD^ABAC,根据全等三角形的性质和互补四边形的定义

可证NAT出=90°,再根据勾股定理可证.

【详解】解：（1）证明：如下图，

•；Nl+NE=ZBCA,Z2+ZE=ZADB,ZBCA+ZADB=180°,

Nl+N2+2NE=180。，

又NE+ZEAB+ZEBA=180°,NEAB=Z1+NCAB/EBA=Z2+NDBA,

：.Z1+Z2+ZE+ZCAB+/DBA=180°,

NE=NCAB+NDBA;

(2)由(1)得NE=NCAB+NDBA,

又•••/£：=2NC4B,

/./CAB=/DBA,

•/AE=BE,

：.ZEAB=ZEBA,

XVAB=BA,

ZVWD咨Afi4c(ASA),

ZADB=ZBCA,

又ZADB+ZBCA=180°,

...ZADB^ZBCA=90°,

...AABD为直角三角形，AD2+BD2=AB2-

【点睛】本题考查三角形的外角的性质,三角形内角和定理,全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角

形的性质.理解互补四边形的定义是解决此题的关键.（1）中能灵活运用三角形外角的性质和三角形内角

和定理是解题关键；（2）能根据勾股定理和互补四边形的定义想到证明NAT>3=N3C4是解题关键.

25.某公司为增加员工收入,提高效益,今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下,

利润

将产品成本降低20%,使产品的利润率（利润率=X100%）较去年翻一番,求今年该公司产品的利润

成本

率.

【答案】今年该公司产品利润率120%.

【解析】

【分析】

设去年产品出厂价为去年产品成本