特级教师教师的教案教例分析

特级教师、优秀教师的教案、教例分析

案例1直线与平面垂直的定义及判定

江苏省睢宁高级中学黄安成

一、教案例描述

教学目标

1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结

合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；

2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；

3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这

一哲学理念；

4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解

决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也

是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是

在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.

教学过程

1.引言

我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，

它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面

垂直”的具体事例，….

不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的

代表）看成直线/,将地面（也是许多事物的代表）看成平面a,今天就来研究直线/与平

面a垂直的有关知识.

2.进行新课

如图1,直线/代表旗杆，平面a代表地面，那么你

认为,与。内的直线有什么关系？

图1

学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线

1,将地面看成平面a”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线/看成旗杆，将平面&看成地面，意图是

运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三

角板来度量从而判断,与a内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：''是的，立.体几何中

直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心'想'出来的.”这既复

习了直线与直线互相垂直(特别是异面垂直)的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了

条件.

反过来，如果/(旗杆)与a(地面)内的直线都垂直，那么/与a是什么关系？

要求学生在不看课木的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者

也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，

这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.

麻烦大了，要判断直线,与平面a垂直，必须确定直线/与平面a内的所有(或任意一

条)直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就

是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.

下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观

察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直

方法的形成过程.

提出下面的系列问题：

(1)直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

(2)直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

(3)直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

(4)直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

(5)要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？

(6)要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？

在上述研究的基础上提出猜想：如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这

条直线垂直于这个平面.

通过演示和对上述系列问题的研讨，学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质：如果直线垂直于平

面内无数条直线，也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的，这时这无

数条直线只代表着•个方向，它只“相当于•条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直，情况就完全

不同了，虽然只有两条，而它们是相交的，它们代表着不同的两个方向，人们在植树时判定树是否与地面

垂直运用的就这个原理.

猜想不能代替证明，我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结

为：若直线/与平面a内的两条直线垂直，证明直线/与平面a内的任意直线垂直，进而转

化为(如图2)：由…

lln

mua

AUa

a?nz?=A

g是a内的

任意直线

这样处理的意图是：抓住本质，排除干扰，使卜,面的目标能集中浓缩于证明具体过程略.在教

学时必须指出，这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识，消除学生的神秘感.

3.小结：

(1)直线与平面垂直的定义；

(2)直线与平面垂直的判定定理(编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地

点出问题的实质)；

若/_L相交直线见

(3)将和(1)与(2)综合起来，得右面的

〃确定平面a,则/_La.又g

重要数学模式：是a内的任意直线，则/_Lg

所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容

的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要

多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁

的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该

模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.

4.A组练习

(1)将一本书掀开一点，直立在桌上(图略)，那么书脊与桌面是什么关系？为什么？

(2)屋面是由两个矩形组成的(图略)，那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为

什么？

(3)设aABC,若直线/_LAB,/1BC,求证：/_LCA.

(4)做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直(如图3),那么PA与BC、

PB与CA、PC与AB分别是什么关系？为什么？/fP

以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣，//：

层层递进，组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.\二了*京三予*

在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果.如先口

述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得图3

模糊•些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全

部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作,

另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过

程，使《立体儿何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样

化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.

4.B组练习

(5)在(4)的条件下，作PH_L平面ABC于H,则H是^ABC的什么心？为什么？

(6)如图3,若PA_LBC,PB1CA,则PC与AB是什么关系？为什么？

（7）如图3,若PA_LBC,PB1CA,作PH_L平面于H,则H是4ABC的什么心？为什么？

A组练习是以B组练习为铺垫，同时又是B组练习的拓展延伸.在（5）中，将上述模式重复运用了两

次，题中给出了平面ABC的垂线PH,正好给（6）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦

去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PCLAB,问题是如何证明.关键是如何建立几

条线段之间的联系，…”经思考后，在上题的启示"学生定会感悟到作PHL面ABC于H,那么问题便迎

刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非

常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解

题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能白己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全

可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引

进过，今后还将引许多辅助‘角色'，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、

辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.

做了这番工作后，解决（7）已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果，课堂气氛越来越

热烈，学生的情绪越来越高涨，最终达到高潮，在获得成功感、满足感、喜悦感中下课，并对未来的学习

充满了信心，热切地盼望着再上下一节课.

二、教案分析

《高中数学课程标准（实验）》⑺在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、

操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这

部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见

惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语

言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主

线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、

猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数

学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画

图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的

不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根

本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序,

是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.

依据上述原则与精神，笔者设计和实施了如上的教学方案，并在有关之处作必要的剖析

或说明.

此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课，如何“出新”又“出彩”，确实是不容易

的.笔者在四十多年的教学实践中，孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂

教学的效率.这一节课也上过几十遍，特别是在学习、执行《高中数学课程标准（试验）》的

过程中，更是投入更多的精力和智慧来思考，从而在新教学理念的指导下，逐步形成了自

己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解，供方家参考，并请教正.

（1）理性与悟性

数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才

能全方位地提高学生的数学素养.文［1］中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内

化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”

应该是指“数学悟性”，笔者在文［2］中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感

顿悟”，这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学

悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”（德国著名数学家克莱因语）.解立几问题

时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考.因此，

在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.

（2）模式与创新

提到“模式”，很可能使人联想到“思维定势”，认为它是创造思维的障碍.这种认识是

不全面的.文［1］说：''形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一

项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”，也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象

的本质特征及其普遍规律的，具有相对固定样式的形式.它具有两重性，对创造思维确会产

生一些束缚作用，但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现

的，这就叫“原型启发”（巴甫洛夫的经典理论）.问题的关键是处理好模式与创新两者间的

辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”，从本质上掌握它，再处理好

立几图形的变形和变位问题，就可以出神入化地解决要求较高的问题.

（3）课堂容量

课堂容量大好还是小好？其实这是不言而喻的，在学生基础较好、教案设计科学合理、

教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学

技术的加盟等条件下，课堂容量就是越大越好.上述教学内容，在过去是用两个课时完成的，

但现在只用一个课时，从知识的发生、发展到应用，一切都显得十分自然、流畅与和谐，学

生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.

（4）主体与主导

笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“几”表示启发量，则有“几G［0,1］”,

“九=1”表示完全靠教师讲解，“几=0”表示完全让学生活动，教师必须寻求丸的最佳值使

教学取得最佳效果.但久的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定义的值.如

果片面强调学生的主体地位,完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中（图

2）,运用构造全等三角形的方法由“l_Lm,l_Ln”证明“1_Lg"，'的值就要适当地大•

些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.

（5）例题练习

例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小丸的值，所以没有必

要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简

洁明快.

（6）现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替

代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉

笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演

示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板

和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准（实验）》中华人民共和国教育部制定人民教育出版社2003,4

⑵《谈数学悟性》黄安成数学教学（沪）1999,3

作者简介

黄安成，1941年7月出生于江苏省兴化市，1962年毕业于徐州师范大学，分配至睢宁县任教至今，曾

任徐州市中学数学教学专业委员会副理事长、睢宁中学数学教研组组长，1988年被评聘为中学高级教师，

1990年被江苏省人民政府授予“中学特级教师”称号，现仍在睢宁县高级中学任教。在四十多年的中学数

学教学实践与研究中，逐步形成了“纵横联系，情趣盎然，培养能力，教书育人”的教学风格，取得丰硕

的教学成果，至今发表了近140篇教研论文，2001年正式出版个人专著《黄安成数学教学论文选集》，应

邀在省内外的儿十所大、中、小学讲学，获得致好评。

案例2“球的体积”教学

南京师大附中马明

编者按：马明先生的这篇用“祖瞄原理”来推导“球的体积公式”的教案，风靡全国久矣。然现行高

中立几教材对“球的体积公式”已不用“祖晅原理”来推导，而采用“分割，求近似和转化为准确和”

的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。

一、教案描述：

通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、

猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构.

［若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习一一解几个一元方程：已知半径求

体积；已知体积求半径，……这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法］

师：（板书）已知球的半径为R,求V产？（出示小黑板一一图23）［思维从问题开始］

师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V种.观察图23,你一定能在

Vsm、V卡年、V明作这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得

Vau>V手球,V国锥.

［提供类比,让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程］

师:由于是已知的，使得双重不等式（板书）：

V国柱=?rR'、Vsi（t=一^rR

3

［向“量化”过渡］

你能猜测V.=?

［引诱学生猜想.猜想是发现的开始］

生:……

［诱导一下］

331

师:（HR，的系数"1”改写为“一”,得一万R?>V>—万R?

333

师:可以大胆一些，准许猜错.

2

生：丫中球=一乃R，对吗？

3

［此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者］

师:有一定理由，因为3/3>2/3>1/3嘛!然而,这太冒险了.

［既鼓励,又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地］

［用行动支持敢于大胆猜想的学生］

师:我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想.

［理、化有实验，数学也可以有实验，美国盛行“数学实验教学法”，这对激发学生学习兴趣,

培养学习能力都十分有利］

［取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成的

容器.将圆锥放入圆桶内（图24）,再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内，发

现圆桶恰好被装满］

师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗？

［鼓励学生将实验结果“量化”（构造一个等式）是十分重要的数学方法］

生1:［板书］VHu—Vs«s=V*年

।2

生2:［板书］V半球=V圆柱—V陷傩=-/rR5=y/rR'

4

师:于是得（板书）V*=-%R3

3

且Vsiu.:V中以：V网m=3:2:1

师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行.

［中学理、化是建立在实验基础上的］

［用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然］

师:我们现在的任务是证明这个实验■结果，或者说，是要证明图23右边充满细沙的几何体

与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.［板书］

12

该几何体的体积=71<3--%1<3=—万1<3.如果再能证明它又符合祖唯原理中的“条件”.

33

我们就可以将它做为半球的参照体.

［为了运用祖瞄原理，所引入的几何体必须符合两个条件:①它的计算公式是已知的②它

符合祖眼原理的条件；该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平

面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几

何体的参照体，在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖南

原理与该术语的关系］

该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要

证明它与半球的等距截面的面积相等.

用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如

果截面与平面a的距离为1,那么圆面半径r=J/?，-4,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为

1,因此

SB=nr2=Jr(R2-I2),

s图环=nR2-7rl2=n(R2-l2),

所以SB=S跖

根据祖咂原理,这两个几何体的体积相等，即

V**=KR'R--7TR~R

3

2,

=-7rR3

3

4

所以V球二—兀R、

3

由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式：

［从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质］

定理:如果球的半径是R,那么它的体积是

4

V以=—

3

师：你准备怎样记忆这个结论呢？

［不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的，都是可行的.根据各个学生的学习

习惯，不必强求一律］

生1:根据“细沙实验”］

V半球=v圆柱-V圆锥=7TR3――九R3

3

=2乃*

3

4

V球——7TR

3

生2:我保要记住V回柱：V牛眯：Va«=3:2:l就行了.

师:还有其它的记忆方法吗?例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公工试试看.

［数学教师要不要培养学生的记忆能力？这是有争议的.看来，数学教师有可能，也有必要去

培养学生的记忆能力］

生:［板演］

Z

V拟柱体=%■/?(S+45O+S)

2

对于球,/i=2R,S=S'=0,So=TTR

所以V产'2R(0+4乃店+0)

=-7iR3

3

［随时复习与应用拟柱体公式］

师:这能作为球体积公式的证明吗?

生:球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法.

师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点,

锥的底面不是平面,而是球面的一小部分（是曲面）请看图26.［是可贵的数学思想］

于是V球=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径R,又因为所有小锥体的

底面之和=球面积=47lR2,_

所以Vk+S2---）/J/'

:2广

\;I

3\/

*/

［发展学生的空间想象能力］,、/

同样，这也不能作为球体积公式的证明.但/是,

使人感到兴趣的是,拟柱体\小锥体与球体的这、----1种

“默契”，这种内部的一致，给人们和谐的感觉，图26它

不仅可以帮助人们记忆，还给人以和谐美的感

受!［升华了］

师:现在再请大家自己解答一个问题［板书］

［不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解

要收效大些，不妨一试］

有一种空心钢球，重142g,测得外径等于5.0cm,求它的内径（钢比重是7.9g/cm3）.

师:这是课本的例题，解完后自行对照课本.［同时由一位学生板演］

议论:（略）

师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细沙实险”帮助我们解决了这个问题.

你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗？

［代替小结,将课内效果引向课外一一直接构造参照体］

二、教案分析

这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记卜教学过程就行了:

1提出问题V,R=?

2目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系

2

3得猜想：V半球=一〃/?3

3

4细沙实验——验证“猜想”

5构造参照体，证明“猜想”

6得定理•谈记忆

7例题•小结•作业

我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：

目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开.于是，过程1〜4都可

以省略.并且，“参照体”也是由教材直接给出的（不需要构造）.师生的任务只是用演绎法推得

V*球=三万夫3这就是“内化”过程.由于教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学

3

生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成.因此，这种做法的优点是直截了当,

节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结

果”直接抛给学生.长此以往，越“抛”越多,学生头脑中很难形成•个有效的认知结构，结果成

绩分化，出现大量差生.

反之，插入环节1〜4,则环节5的“构造参照体”（这是全课的关键）就十分自然.从“目测”

到“实验”，这是强化“发现”，而环节5则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教师指

导下进行的,教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽.

“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味;从“实验”

到“构造参照体”，随流而下，直闯关键（出现参照体卜终达彼岸（得定理）.最后“谈记忆”，生

动活泼，乃至升华；“小结提问”，余味不尽.

数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法

不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了

教学思想的培养.长此以往，学生的数学素质很难得到提高.

最后,还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采用了“细沙实验”，也就回

避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班设计的，而“好班”就不应该回避构造困难，何况

“构造参照体”是运用祖晒原理的关键,也是学习这一段教材（从柱体开始）的关键所在.因此,

建议根据学生情况补充下述内容：

参照体与祖晒原理

为了利用祖晒原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体,此几何体必须符合

两个条件（1）它的计算公工是已知的；（2）它符合祖晒原理的条件，即该几何体与原几何体能

夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时,截得的截面面

积总相等.为了下面的叙述方便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体,或

简称参照体.

例1旋转体的母线是抛物线的一部分，其方程为y=x2（0WyWH）,y轴为旋转轴,求该

旋转体的体积

解将此旋转体放在平面a上，用与平面a平行且相距h的平面去截，得截面圆的面积

（、为了=万力=矩形面积（一边为常量n,另一边为变量h）.

这说明参照体的截面可以是一个矩形,其一边长页，另一边长为变量h,于是得参照体:

以等腰直角三角形ABC为底面（两腰长H）,高AAFJT的直三棱柱ABC-ABC（图27的右侧）由

于参照体的体积=底面积X高=—"2兀=-7TH2,所以所求旋转体的体积=—I"？

222

作者简介

马明，1929年生，1951年开始参加教育工作，从事中学数学教学及研究五十余年。首任南京师大附中

副校长，现任南京师大数学系兼职教授。1984年被授予中学数学特级教师称号，代表性论著有《马明数学

教育论文集》等。除本职工作外，并兼任国家教育部中小学教材审定委员会中学数学学科审杳委员、江苏

省中小学数学教学研究会副理事长等职。

案例3椭圆的简单几何性质（系列课）

浙江省象山中学蒋亮

一、教案描述：

椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义等等，教材中单独地

把它分成几块拿出来讨论，显得极不自然。特别是椭圆的第二定义，教材通过一个例子给出，思路不蹈常

规，这一切都是教材的简洁性决定的。我在教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机地串联起来，

整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。过程如

下：

（•）、以问题为中心，注重过程教学。

首先，设计如下情境，提出反常规的问题。

师：上几节课，我们导出了椭圆的标准方程，整个过程严谨周密，现摘录如下：

设M（x,y）是椭圆上任意一点，焦点F1和F2的坐标分别是（―c,0）,（c,0）（图1）。由

椭圆的定义可得：

J（x+c）2+/+-+/=2a（1）

将这个方程移项，两边平方得

a2—ex-a-J（x-c）2+y2（2）

两边再平方，整理得

V2

/+方=1（a>b>Q）⑶

问题1:为什么将（3）式作为椭圆的标准方程?

对于这响题学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程那是顺理成章的，进而会展开热烈

的讨论，教师总结一下大致有以下几点理由：

1、（3）式简捷，具有对称的美感。

2、（3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程。

3、根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点，（3）式方便研究椭圆

的几何性质。

针对上述理由3,教师可以组织学生就如何利用（3）式从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论。

这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等课文要求的内容。若要进一步研究椭圆的曲线，自然需

要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例1便自然出来了。上述讨论需要•个课时左右。

（二）以探究为热点，培养创新意识。

由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然容易且自然多了。

师：上节课我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的诸多优点，自然我们会有：

问题2:将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？

对于这一问题学生感到有些困难，教师可以和学生一起比较圆的标准方程的优点后，发现（3）式

无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点。

于是师生一起可以讨论（1）式的优缺点，具体可得：

1、（1）式充分揭示了椭圆的定义.

2、（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点等等。

通过以上讨论，自然产生了：

问题3:是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光

转向（2）式，将（2）式变形，得

7（x-c）2+y2=a-—x（4）

a

即\MF2\=a-ex（5）

同理可得\MF1\=a+ex（6）

将（2）式再变形，得

（5）（6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的•维算式，充分体现了数

学降维思想。而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，正是书本上例2的意图（图2）。

如此处理教材，自然流畅，既能完成教学任务，乂充分地揭示了知识的发生过程，通过被人们所遗

弃的（2）式，挖掘出如此宝贵的教学成果，这会让学生兴奋不已。在品尝创新果实的同时也培养了学生的

创新能力，以上讨论约•教时。

（三）、以反思为主调，奏响创新旋律。

务必指出，反思是创新的源泉。通过前二节课的探索，特别是第二课时获得一系列创新成果以后，

教师更要引导学生养成良好的反思习惯，打破思维定势，争取更大的突破。

师：总结上二节课的讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会收到一系列令人

激动的科学成果，那么自然会有：

问题4:（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？

此时，学生的思维已被激活，讨论特别的活跃，热情空然的高涨，通过讨论可获得系列成果如下：

成果一：将（1）两边平方，整理可得:

7(x+c)2+y2•7(x-c)2+y2+x2+y2

(8)式揭示了椭圆的又一本质属性：

222

\MF^MF2\+\MO\=a+b,

即，椭圆上动点到两焦点的距离之积，

和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数（图3）。，

成果二：将（5）（6）代入（8）式可得：（图3）

\M0\=^]b2+ex2（9）

若将动点到中心的长度称为椭圆的半径，那么（9）式给出了椭圆半径的计算方法，

它只和该点的横坐标有关，同样起到降维作用。

成果三：若将（1）式的两边乘以J（x+c『+/-J（x—c）2+y2,整理可得：

J（x+c）2+y2-J（x-c）2+y2_c

-----------------=_Uuj

2x---a

（10）式给出了椭圆的又一本质属性：即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭

圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）的距离之比是一个常数。

成果四：在AKMF2中（图1）,设/匕加尸2=a,则由余弦定理可得：

4c2=.用2+\MP2f-Q\MF^MF2\cosa

2

=（\MF]\+\MF2\）-2|岫摩2|（1+cosa）

=4a2-21MAiMF?I。+cosa）

2b2

所以河耳|同「21=-------（ii）

1+cosa

将（11）式代入（8）式可得：

|MO|=Ja2-h2tan2y（12）

（12）式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系。

应该指出：本节课的创新讨论是无止境的，关键在于培养学生的创新意识，当然由于学生的程度不

同，得到的成果也不同，无论如何，教师都应给予充分的肯定。

从对（1）式作变形看，自然也可考虑对其它式子变形，如将（3）式变形成

--------------=一（，于是可得，椭圆上动点到两焦点A（—a,0）,B（a,0）的连线的斜率之积等

（x-a）（x+a）a

于常数，等等。本内容可以安排1至2课时。

二、教案分析

（一）、教学观念是教学设计的指南针

培养创造性思维是素质教育的主要任务之一。突破旧的教学模式，精心设计教学环节,

多给学生以创新的条件、机遇和氛围，突出知识的发生、形成、探索过程，寓创新意识于课

堂教学之中，这是本节内容教学设计的主思想、主旋律。

本教案一反常规的教学过程，在注重知识落实的同时，更注重的是过程，通过一系列

问题的创设，将课本教学内容有机地联系起来，一切显得那么的自然和谐、合情合理、引人

入胜，这与教师的教学观念是密切相关的。

从这堂课的整体效果看，因从暴露思维的角度组织材料，所以学生学得轻松愉快，主

动参与教学活动的热情高涨，变被动接受为主动学习，提高了学习效果。在教师的适当点拨

下，学生在力所能及的发现中可以领略到数学的魅力，激发了他们的学习兴趣。

从教师的教学理念看，特别注重提高思维能力和创新意识的培养，于是设计出一个又

一个富有成果的、有价值的问题。给学生以探索的机会，创造的热情，从而提高了素质。我

们说演绎推理能力的培养，无疑是重要的，但对于寻找真理、发现真理和探索真理而言，更

要重视合乎情理的推理能力的培养。这一切，传统的数学教学未予重视，于是说要设计一个

好的教案，转变教学观念更是关键、是方向盘、是指南针。

（二）挖掘教材是教学设计的必修课。

现行教学教材是由很多教学教育专家经过反复修改、讨论才编就的，它的每一项内容

乃至每一条题目，都有其精心的考虑。当然，编写者不可能也无必要把他们的所有想法都写

进教材，这就要求我们深入钻研教材，充分挖掘教材的潜能，实际教学时，做到既源于课本,

又高于课本、活于课本，以培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力。

本教案从一个反常规的问题入手，扣开了学生的创新思维，可能在学生的心目中，甚

至在许多教师的心底里认为（3）式作为椭圆的标准方程是天经地义的，从来没有想过为什

么要把（3）式作为标准方程，也从来没有想过（3）式的许多不足和缺陷。本课时正是在这

一逆向思维的基础匕一下子吸引了学生的注意力，激活了他们的好奇心，整节内容设计成

几课时，犹如一部优秀的电视连续剧，让人留恋忘返、欲止不能。

本教案的成功之处是充分的挖掘了教材的潜能，站在学生的层面上设计教学过程，把

知识点的掌握转化为探索过程，并把探求的领域一次次地扩大，一次次地深入，这种有浅入

深、由表及里、由小见大的教学设计方案，符合学生的心理特征和人们的•般的认知规律，

值得借鉴和推广。

作者简介

蒋亮，男。1956年12月生，现任浙江省象山中学校长，是浙江省特级教师，宁波市首

批名教师、宁波市享受正教授待遇的正高级教师。主要从事数学竞赛、数学管理和教育创新

的研究，对学生创新能力、研究意识的培养有独到的见解和成效，在《数学教学》、《数学通

讯》等刊物上发表多篇。《六年来高考内容的覆盖和应试秘方》一文曾被三家杂志转载，同

年被评为全国优秀论文，参与编写新教材教参用书多种。

案例4函数最值的一些求法及错解分析

浙江省镇海中学许克用

一、教案描述

教学课题：函数最值的一些求法及错误分析

教学目标：

1、复习函数最值的一些主要求法；

2、剖析求解过程中产生错误的原因；

3、进一步树立“实践是检验真理的唯一标准”的唯物论。

教学重点：最值求法

教学难点：掌握解题中产生错误的原因

导学：引导学生在自主解题和互相讨论的过程中抓住重点，突破难点，掌握主要的求

解方法及正误鉴别方法，从而提高思维能力。

教学过程：

亮题：这堂课拟通过大家对实例的研讨，进一步掌握求函数最值的一些主要方法及解题

过程中产生错误的原因。

例1、已知函数〉=至*24）,请大家自己或与周围同学一起探讨出求这个函数最值的

x-3

各种方法。

（学生举手回答）解法一：

2T2aIQ-

y=—=2[（x-3）+--+6]>2[2（x-3）x--+6]=24

x-3x-3Vx-3

当且仅当，即X=6时（舍去X=0）ymin=24,但无最大值。

（教师指出）这种方法叫配凑法，同时用到了基本不等式，很好！应注意什么？（答：

等号是否能取到）.

（学生举手回答）解法二：

令x-3=t,则；x》4,■,•t>L

y=2^3）--=2（r+1+6）>2（2^x1+6）=24。余同解一。

（教师提问）此为何法？（答：换元法。）解题时应注意什么？（答：1、注意新变量t

的变化范围；2、在利用基本不等式时什么时候取到等号。）

评：此法虽与解法一的实质是一样的，但它优于解法一。问：还有其他解法吗？

（学生举手回答）解法三：

'.'X>4,x-3#0,.•.转化为方程2x?-yx+3y=0.利用判别式法得△=y2-24y>0,则y>24

'.'x>4,.,.y>0,/.y>24,即为曲=24,但无最大值。

（教师提问）此解法对吗？△能保证根x》4吗？部分同学认为不正确，如何改正？

A=y2-24y>0

（学生举手回答）利用实根分布法得（1）-二±24^24<y<32

2x2

/（4）=32-4y+3y>0

对吗？（教师指导）实践检验,取y=40代入，得x2-20x+60=0,解得x=10+2痴>4

或工=10-2历<4（舍），可见存在》=10+2M，使y=40>32,可见上述解法还存在问题，怎

样修正？（学生回答）上述不等式组仅仅给出在[4+8）上有两个实根的情形，还应补上在

[4,+8）上有一实根的情形：（2）、f（4）<0,即y>32。综上（1）、（2）,得y>24。ymin=24,

但无最大值.

评：此法叫做实根分布法，有时简称判别式法。判别式法用到的是必要条件，并不充耍，因此应慎用。

（教师问）还有什么解法吗？

（学生举手回答）解法四：

2x222

•v=---=---------=-------------.

x-3—1.3x1———-31（---1-、）2+—1

xX2x612

・・・当X=6时｛出=24。

又x》4,0<—4—，当-3（----尸—>—时y—>+00,但—3（-----<—，y最,大值。

x4x612x612

（教师提问）此为何法？（答：配方法。）

（教师问）还有其它解法吗？

（学生举手回答）解法五（求导法）：

由丫=工二得，y'=4«13）=282,=2广_宁=2产-\）=0,即x=o（舍）或x=6时,y'=0.

x-3（x-3）2（x-3）2（x-3）2

列表如下：

X4(4,6)6(6,+°°)

y，-16一0+

y3224t

由上表可得，当x=6时ymin=24,但无最大值。

教师指出：此法即为导数法。那么用导数法求最值的思路是：①、先通过求导求出各个

极值和函数端点值；②、经比较，取其中最小的就是函数的最小值，其中最大的就是函数的

最大值。上例中当XC（6,+8）时y递增，所以函数取不到最大值。

小结:综合以上，我们用到了哪些方法?（学生回答）配凑法、基本不等式法、换元法、判别

式法（或实根分布法）、配方法、求导法等等