2023年辽宁省阜新市中考数学真题卷（含答案与解析）

辽宁阜新市2023年初中学业水平考试

数学

本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分.在每一个小题给出的四个选项中，只

有一个是止确的）

1.-2的相反数是（）

1

A2B.-2C.——D.:1

22

2.如图所示的儿何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是（）

正面

3.在下列计算中，正确

A.5+(-6)=-1C.3x(-2)=6D.sin300=—

3

4.某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高（单位：cm）数据如下:

甲队:178,177,179,179,178,178,177,178,177,179；

乙队：178,177,177,176,178,175,177,181,180,181.

若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的（)

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

5.某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精

神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿

精神”的概率是（）

B.1

A.4C.D.-

2369

6.不等式x+8<4x—l的解集是（)

A.x<3B.x>3C.x<-3D.x>--

3

7.如图，A,B,。是上的三点，若NAOC=90。，ZACB=25°,则NZOC的度数是（)

C.40°D.50°

8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活

动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率

是-则所列方程正确的是（）

A.16(1+x)2=23B.23(1『=16

C.23-23(1-X)2=16D.23(1-2x)2=16

9.如图，二次函数>=以2+法+。的图象与x轴的一个交点为（3,0）,对称轴是直线x=l,下列结论正确

2a+b=0C.4ac>b2D.点（一2,0）在函数图象

上

10.如图，四边形048G是正方形，曲线GGC3c4c5…叫作“正方形的渐开线”，其中储。2，GG，

C3c4，C4c5,…的圆心依次按。，A，B,G循环.当。4=1时，点Go23的坐标是（）

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算：我+（-2）°=.

12.将一个三角尺（NA=30。）按如图所示的位置摆放，直线。〃从若430=20。，则Na的度数是

13.如图，与即是位似图形，位似比为2:3,则/8C与即的面积比为

（2）当a=2,b=l,c=0时，即y=2|x-l|.

①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表:

X・・・-2-101234

y...6m20246...

其中小=.

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数丁二2上一1|的图象.

（3）当a=-2,Z?=l,c=2时，即y=一2卜一1|+2.

①当工21时，函数化简为）'=.

②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数）=一2卜一1|+2的图象.

（4）请写出函数），=。,一4+。（小力，c是常数，。00）的一条性质：.（若所列性质多于一

条，则仅以第一条为准）

19.如图，是。。的直径，点C,。是OO上4B异侧的两点，DELCB,交的延长线于点E,且

B力平分/ABE.

（1）求证：OE是。。的切线.

（2）若NABC=60。，AB=4,求图中阴影部分的面积.

20.端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗.为了了解附近居民对A（肉粽子），B（生黄

粽子）.C（红枣粽子），。（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民

进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

（I）参加此次问卷调查的居民共有人.

（2）通过计算将条形统计图补充完整.

（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人.

21.如图，小颖家所在居民楼高AB为46m,从楼顶4处测得另一座大厦顶部C的仰角a是45。，而大厦

底部。的俯角£是37。.

Z

、

BD

（1）求两楼之间的距离80.

（2）求大典高度CO.

（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）

22.为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和

用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元.

(1)求：足球和排球的单价各是多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校

最多可以购买多少个足球？

23.如图，在正方形ABC。中，线段8绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,点尸在直线上,

且M二月/，连接所.

图1图2

(I)如图1,当0。<。<90。时.

①求NBA尸的大小(用含。的式子表示〕.

②求证：EF=42BF.

(2)如图2,取线段政的中点G,连接AG,已知A5=2,请直接写出在线段CE旋转过程中

(0°<a<360°)/XADG面积的最大值.

24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=一/十公一。的图象与1轴交于点4—3,0)和点8(1,0),与y

(1)求这个二次函数表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点O,若点M是直线4C上方抛物线上的

一个动点，求△M8面积的最大值.

(3)如图2,点尸是直线4。上的一个动点，过点P的直线/与3C平行，则在直线/上是否存在点Q,

使点3与点尸关于直线C。对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分,在每一个小题给出的四个选项中，只

有一个是正确的）

1.-2的相反数是（）

11

A.2B.-2C.——D.:

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数是相反数，即可进行解答.

【详解】解：一2的相反数是2,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了求相反数，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的数是相反数.

2.如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是（）

正面

A-Rin-工0°+Dn~F

【答案】c

【解析】

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

【详解】解：从左边看，该几何体有2层，从上到下，第一层有1个正方形，第2层有2个正方形，

故选：C.

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在

左视图中.

3.在下列计算中，正确的是（）

A5+(-6)=-lB.专=应c.3x(-2)=6D.sin30°=^y

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可.

【详解】解：A、5+(-6)=-1,正确，本选项符合题意；

B、工=显，原计算错误，本选项不符合题意；

722

C、3x(—2)=-6,原计算错误，本选项不符合题意；

D、sin300=p原计算错误，本选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关

键.

4.某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高(单位：cm)数据如下：

甲队：178,177,179,179,178,178,177,178,177,179；

乙队：178,177,177,176,178,175,177,181,180,181.

若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的()

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差的意义求解即可.

【详解】解：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的方差.

故选：D.

【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的

一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，

稳定性越好.

5.某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精

神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿

精神”的概率是()

111

C

A.3-6-D.9-

【答案】D

【解析】

【分析】用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，画树数状图展示所有

9种等可能结果，再找出他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数，然后根据概率公式计算.

【详解】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题,

画树数状图为:

开始

23

2323

共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1,

所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率=[.

故选：D.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出〃，再从中选出

符合事件A或B的结果数目，〃,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.

6.不等式x+8v4x-l的解集是（）

1

A.x<3B.x>3C.x<—3D.x>——

3

【答案】B

【解析】

【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可.

【详解】解：x+8<4x-l,

移项，合并同类项得：—3x<—9,

未知数系数化为1得：x>3,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确

计算.

7.如图，A,B,。是OO上的三点，若NAOC=90。，NACB=250,则/80。的度数是（）

c

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】先利用圆周角定理求出NAOB=50。，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：・・・44。8=25。，

:.ZAOB=2ZACB=50°,

•・,^AOC=90°，

:.ZBOC=ZAOC-ZAOB=40°，

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关犍.

8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活

动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率

是x,则所列方程正确的是()

A.16(1+x)2=23B.23(1-X)2=16

C.23-23(1—力2=16D.23(1—2力2=16

【答案】B

【解析】

【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万

元”即可列出方程.

【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是居由题意可得

23(1-%)2=16,

故选：B

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键.

9.如图，二次函数y=瓜的图象与％轴的一个交点为(3Q),对称轴是直线％=1,下列结论正确

的是（)

2a-\-b=0C.4ac>b~D.点（一20）在函数图象

上

【答案】B

【解析】

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，。、b、c•的正负，进而得出我的正负；利用对称轴

为直线x=l,可得出2〃+人与。的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出〃与4〃c的大小关系；由

抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,再结合对称轴为直线x=l,可得出另一个交点坐标.

【详解】解：A、由二次函数的图形可知：tz>0,b<0,cvO,所以而c>0.故本选项不符合题意；

B、因为二次函数的对称轴是直线x=l,则-2二1,即2a+〃=0.故本选项符合题意；

2a

C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以从一4。。>0,即故本选项不符合题意；

D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3。），且对称轴为直线x=l,所以它与x轴的另一个交点的坐标

为（-1,0）.故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得mb,c的正负以及巧妙利用抛物线的对称

轴是解决问题的关键.

io.如图，四边形0A8G是正方形，曲线GGGC4c5叫作“正方形的渐开线”，其中Ge2，c2c3,

C3c「C4c5,…的圆心依次按O,A,B,G循环.当QA=1时，点Go23的坐标是（）

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【答案】A

【解析】

【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出Go23在第三象限，与G，G，Gi，…符合同一规

律，探究出G，G,C”，…的规律即可.

【详解】解：由图得

G(0，l)，C2(l,o),Q(-l,-2),C4(-4,0),C5(0,5),C6(5,0),C/-L-6),...

点。的位置每4个一循环,

2023=505x4+3,

••・Go23在第三象限，与。3，G，Cl，…

符合规律+

:.GOZ3坐标为（一1，—2022）.

故选：A.

【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键.

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算：我+（-2）°=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据立方根和零指数鬲计算即可.

【详解】解：我+（-2）°=2+1=3,

故答案为：3

【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和零指数基是解题的关键.

12.将一个三角尺（44二30。）按如图所示的位置摆放，直线〃〃人，若NA8£>=20。，则Na的度数是

【答案】50。##50度

【解析】

【分析】根据三角形的外角定理求出N3DC的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答.

【详解】解：VZABD=20°,ZA=30°,

・•・Z.BDC=Z4+ZA=200+30°=50°,

'：a/!b,

:.Na=NBDC=50。,

故答案为：50°.

【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与

它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等.

13.如图，“8C与即是位似图形，位似比为2:3,则/与即的面积比为

【答案】4:9

【解析】

【分析】由z1ABe与J）即是关于点。的位似图形，且位似比为2:3,又由相似三角形的面积比等于相

似比的平方，即可求得乂8C与JJEF的面积比.

【详解】解：•「■C与」郎是关于点O的位似图形，"3C与"石尸的位似比为2：3,

・•・"ABC与」）所的相似比为2:3,

・•・与刀砂的面积比为4:9.

故答案为：4:9.

【点睛】本题考查位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互

相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似

比.位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方.掌握位似图形的的

定义和性质是解题的关键.也考查了相彳以三角形的性质.

14.正比例函数了二工的图象与反比例函数y=』的图象相交于A,B两点，过点4作AC_Lx轴，垂足为

x

点C连接BC,则金。的面积是.

【答案】5

【解析】

［分析］根据反比例函数k的几何意义直接求解即可得到答案；

【详解】解：•・•正比例函数y=%的图象与反比例函数y=2的图象相交于A,B两点，过点A作

x

AC_Lx轴，垂足为点C,

**•SARC=2xU=5>

“BC2

故答案为：5.

【点睛】本题考查反比例函数火的几何意义：反比例函数图像上一点与原点的连线和到坐标轴垂线围成的

三角形面积是

2

15.如图，在矩形A5C。中，AB=6,AO=8.连接AC,在AC和4。上分别截取4E,A/7,使

AE=AF.分别以点上和点尸为圆心，以大于!七尸的长为半径作弧，两弧交于点G.作射线AG交CO于

2

点H,则线段OH的长是.

【解析】

【分析】过“作于0,再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解.

过H作〃Q_LAC于Q,

在矩形ABC。中，ZB=ZD=90°,

・•・AC=10,

由作图得：AG平分NC4O,

・•・ZCAG=ZDAG,

・・・NO=NAQ”=90。，AH=AH，

包AQH(AAS),

:,DH=HQ=x,AQ=QD=S,

：,CQ=QC-QA=2,

在RtZ\C”Q中，^CQ2+QH2=CH2,

即：22+X2=（6-X）2,

Q

解得：X=-,

3

Q

故答案为：

3

【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键.

16.德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称.今年5月在此举办的“漠上草原欢乐

跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加.甲、乙两名选手同时参加了往返106（单程5

的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（k〃）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图

【答案】4

【解析】

【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4,再根据相遇时用了0.625小时，列方程求解.

【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（X-4）千米/小时，

则：^[（x-4）+x]=5x2,

解得：x=10,

:.x-4=6>

10-6x—=10—6=4,

10

故答案为：4.

【点睛】本题考查了从困数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键.

三、解答题（本题共8个小题，17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分,

23、24题每题12分，共72分）

/QX2।、

17.先化简，再求值：-+1；~~—»其中a=

\a-\Ja~-1

【答案】—,上叵

3

【解析】

【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和

运算顺序进行化简，最后将〃的值代入计算即可.

【详解】解：华

\a-\)a--\

=3+4_］上+1)("1)

a-\tz(tz+2)

a+2\a+\){a-\)

a-\a(a+2)

_a+\

=9

a

当。=石时，原式=/1=止叵.

63

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法，以及分式的混合运算法则是解题的关键.

18.某中学数学兴趣小组的同学们，对函数丫=。,一4+。（小b,c是常数，awO）的性质进行了初步探

究，部分过程如下，请你将其补充完整.

（1）当。=1,b=c=o时，即、=可，当XNO时，函数化简为y=x；当xvo时，函数化简为y=

（2）当。=2,b=l,c=O时，即y=2|x-l|.

①该函数自变量x和函数值1y的若干组对应值如下表:

X-2-101234

y6m20246

其中町=.

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x—1］的图象.

（3）当a=-2,Z?=l,c=2时，即y=-2|x-l|+2.

①当时，函数化简为y=.

②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数）二-2归一1|+2的图象.

（4）请写出函数y=a|x—4+c（小b,。是常数，。工0）的一条性质：.（若所列性质多于一

条，则仅以第一条为准）

【答案】（1）-x

（2）4,图像见详解；

（3）-2x+4,图像见详解；

（4）答案见详解：

【解析】

【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；

（2）将户-1代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；

（3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；

（4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；

【小问1详解】

解：当xvO时，

y=一尤，

故答案为：-K;

【小问2详解】

解：①当％=-1时，

AM=2|-1—1|=4,

故答案为：4；

②根据表格描点再连接起来，如图所示,

【小问3详解】

解：①当X21时，

y=-2（x-D+2=-2x+4

故答案为：—2x+4；

②当R<1时，

y=2d）+2=2x,

当X=1时，y=2,

当x=o时，y=o，

当X=2时，y=-2x2+4=0,

描点如图所示，

【小问4详解】

解：由解析式得，当工之匕时，

y=ax-ab+c,

当a>0时，xN力时，y随x增大而增大，

当avO时，X?力时，y随x增大而减小，

当xW匕时，y=-ax+ab+c,

当。>0时，xVb时，y随x增大而减小，

当〃<0时，xWb时，y随x增大而增大，

故答案为：当〃>0时，y随x增大而增大，当〃<0时，工之力时，y随x增大而减小，当。>0

时，时，y随x增大而减小，当4Vo时，xW〃时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）.

【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式.

19.如图，A8是。0的直径，点C。是。。上4B异侧的两点，DEA.CB,交C8的延长线于点E,且

B。平分/A5E.

D

(1)求证：DE是00的切线.

(2)若NABC=60。，AB=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析(2)—

【解析】

【分析】(1)连接0。，根据。8=0。，得出NO8O=NOD8.根据8。平分NA8E,得出

ZOBD=/EBD,则/EBD=NODB.根据DE_LCB得出N£8O+NEO8=9()。，进而得出

NODB+/EDB=90。,即可求证：

(3)连接0C,过点。作W_LBC于点尸，通过证明△Q8C为等边三角形，得出NBOC=60。,

0B=0C=BC=2.求出"'=O8-sin60。.最后根据丽影=S扇形以。一品。相即可求解.

小问1详解】

解：连接。。，

•：OB=OD,

・•・NOBD=/ODB.

•••80平分/ABE,

4)BD=/EBD,

/EBD=ZODB.

•・,DE.LCB,

・・・NEBD+NEDB=900,

：・/ODB+NEDB=90。,即OQ1DE,

・•・OE是OO的切线.

【小问2详解】

解：连接0C,过点。作OF_L8C于点兄

•・•45=4,

・•・0B=-AB=2.

2

,：OB=OC,NABC=60。，

.../XOBC为等边三角形，

・・・NBOC=60。，OB=OC=BC=2.

•・・Z4BC=60。，OF-LBC,08=2,

・•・OF=OBsin600=2x—=>/3.

2

_60^x22

S阴影=S扇形OBC-SQ8C—x2x5/3=-7i—^3•

36023

角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式

riTrr1

-360

20.端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗.为了了解附近居民对4（肉粽子），8（蛋黄

粽子）.C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民

进行问卷调查（每人只能选•种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

（1）参加此次问卷调查的居民共有人.

（2）通过计算将条形统计图补充完整.

（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人.

【答窠】（1）50（2）见解析

（3）400

【解析】

【分析】（1）用喜爱红枣粽子的人数除以其所占百分比，即可求解；

（2）用总人数分别减去A、C、。的人数，即可求出8的人数；

（3）先计算喜爱A（肉粽子）的人数所占百分比，再用小区总人数乘以喜爱A（肉粽子）的人数所占百分

比即可求解..

【小问1详解】

解：20-40%=50（人），

故答案为：50；

【小问2详解】

解：喜爱蛋黄粽子人数：20-10-20-4=16（人），

补全条形统计图如图所示：

人数

22

20

18

16

14

12

10【小问3详解】

8

6

4

2

0

解：2000x—=400（人），

50

答：喜爱A（肉粽子）的居民约有400人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，解题的关键是正确识图，

从图中获取需要数据，掌握用样本估计总体的方法和步骤.

21.如图，小颖家所在居民楼高A8为46m,从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角。是45。，而大原

底部。的俯角£是37。.

c

(

E

E

（I）求两楼之间的距离8。.

（2）求大厦的高度CD.

（结果精确到0.1m.参考数据:sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）

【答案】（1）两楼之间的距离约为61.3m

（2）大厦的高度CO为107.3m

【解析】

【分析】（1）过点A作AE_LCD于点E,易得NADB=/0=37°,根据

40

tanz4DB=tan37°=——*0.75,即可求解:

BD

（2）易证四边形A5OE1为矩形，则AE=3O=61.3nVlB=O£=46m,根据等腰直角三角形的性质得

出AE=CE=6L3m,最后根据CD=CE+OE,即可求解.

【小问1详解】

解：过点A作AE_LC。于点&

根据题意可得：BDLCD,

，〃区。，

・・・44£出=/尸=37。，

VAB=46m,tan37°«0.75,

AR46

・•・tanADB=tan37。=—«0.75，即一工0.75,

BDBD

解得：BDB61.3,

答：两楼之间的距离约为61.3m.

c

/，L

经

力

Elm【小问2详解】

H

Hlm

H

BlmH

BDlm

解：根据题意可得：ABl工mBD,CD工BD,AE工CD,

・•・四边形44OE为矩形lm，

.*.AE=BD=61.3m/8=DE=46m,

VZa=45°,AELCD,

・•・ZACE=45°,

AE=CE=61.3m,

.・.CD=CE+DE=61.3+46=107.3（m）,

答：大厦高度CO为107.3m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌

握解直角三角形的方法和步骤.

22.为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和

用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元.

（1）求：足球和排球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校

最多可以购买多少个足球？

【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元；

（2）学校最多可以购买70个足球.

【解析】

【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（X-15）元，根据数量=总价彳单价，结合用480元购

买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结

论；

（2）设学校可以购买小个足球，则可以购买（100-,〃）个足球，利用总价=单价x数量，结合购买足球和排

球的总费用不超过7550元，即可得出关于〃?的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结

论.

【小问1详解】

解：设足球的单价是x元，则排球的单价是（工-15）元，

■上妨480390

依题意得：---=------,

xx-15

解得：x=80,

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

x-15=65.

答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；

【小问2详解】

解：设学校可以购买机个足球，则可以购买（100-6）个排球，

依题意得：80/??+65（100-w）<7550,

解得：m<70.

又・・•〃!为正整数，

・・・利可以取的最大值为70.

答：学校最多可以购买70个足球.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正

确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23.如图，在正方形A5CD中,线段CQ绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为二，点尸在直线上,

且/，连接防.

4D

BCBC

图1图2

(I)如图1,当0°vav90。时,

①求NB4R的大小（用含。的式子表示）.

②求证：EF=\[1BF.

（2）如图2,取线段所的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转过程中

（0°<a<360°）△AOG面积的最大值.

【答案】（1）①NBAb=90。一。；②见解析；

（2）ZVIDG面积的最大值为1+a.

【解析】

【分析】（1）①利用等腰三角形性质，三角形内角和定理计算得到NE4O=180。一。，据此求解即可;

②连接8E,计算得到N3CE=900—a=N8AJ*利用SAS证明尸，推出△£»尸是等腰

直角三角形，据此即可证明所=加8尸：

（2）过点G作AO的垂直，交直线A。于点”，连接AC、8。相交于点O,连接0G,利用直角三角形

的性质推出点G在以点O为圆心，。8为半径的一段弧上，得到当点H、0、G在同一直线上时，GH有

最大值，则△ADG面积的最大值，据此求解即可.

【小问1详解】

解：①•・•四边形ABCD是正方形，

：・AB=BC=CD=DA,ZADC=ZBCD=ZDAB=90°.

由题意得CD=CE,ZDCE=a,

・•・ZCDE=ZCED=1（180°-a）=90c-^a,

.・.ZADF-90°-ZCDE-900-f90°--al-,

I2）2

,/AD=AF,

：.AADF=AAFD=-a

2t

:.ZMD=180°-ZA£>F-ZAfZ>=180°-cr,

・•・ZMF=ZE4£>-ZBAD=180o-a-90°=90o-a；

②连接BE,

AD

,:Z.DCE=CL，

・・・/BCE=90。一a=ZBAF，

CD=CE=AD=AF=BC,

・•・ABCE^ABAF(SAS),

:・BF=BE,ZABF=NCBE,

VZ4BC=90°,

・•・NEW7=90。，

・•・△仍尸是等腰直角三角形，

：・EF=yfiBF；

【小问2详解】

解：过点6作4。的垂线，交直线于点”，连接AC、B力相交于点O,连接OG,

由（1）得△EB/是等腰直角三角形，又点G为斜边石厂的中点,

:・BGtEF,即N3GD=90。，

・・,四边形45co是正方形，

：,OB=OD,

：.OB=OD=OG,

・••点G在以点。为圆心，08为半径的一段弧上，

当点H、O,G在同一直线上时，G〃有最大值，则△4DG面积的最大值，

：.GH=-AB+OG=-AB+-BD=-x2+-x2y/2=\+y/2f

22222

:.AADG面积的最大值为-ADxGH=\+yf2.

2

【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直

角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y+法一。的图象与％轴交于点A(-3,0)和点8(1,0),与y

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点。，若点M是直线4c上方抛物线上的

一个动点，求△M8面积的最大值.

(3)如图2,点夕是直线AC上的一个动点，过点尸的直线，与8。平行，则在直线/上是否存在点2，

使点B与点尸关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-f—2x+3；

_9

(2)Sfc/)最大=耳；

(3)。(3-或(3+石,石).

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；

(2)作MQ_LAC于。，作MEJLA5于尸，交AC于E,先求出抛物线的对称轴，进而求得C,。坐标

及CD的长，从而得出过M的直线丁=工+加与抛物线相切时，△MC。的面积最大，根据

x+m=-21+3的△=()求得加的值，进而求得M的坐标，进一步求得CO上的高M。的值，进一步

得出结果；

(3)分两种情形：当点尸在线段AC上时，连接成，交CQ于R，设尸(力，+3),根据CP=CB求得，

的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得。点坐标；当点尸在AC的延长线上时，同样方法得

出结果.

【小问1详解】

解：由题意得，

y=-(x+3)(x-l)=-x2-2x+3；

【小问2详解】

解：如图1,

图1

作MQ_LAC于。，作于尸，交AC于E,

・・・OA=OC=3,ZAOC=90°,

.♦.NC4O=NACO=45。，

/MEQ=ZAEF=90°-NC4O=45°,

-3+1

抛物线的对称轴是直线：x=-------=-1,

2

/.y=x+3=—1+3=2,

.0(0,3),

:.CD=E，

故只需△MCD的边CO上的高最大时，△MCD的面积最大,

设过点”与4c平行的直线的解析式为：)，=工+机，

当直线y=x+m与抛物线相切时，△MCZ)的面积最大，

由x+w=—%2—2x+3得，

x2+3%+(〃2-3)=0,

由△二()得,

32-4(加-3)=0得,

*3,

4

X2+3X+-=0,

=x+3=F3=—,

22

/.MQ=MEsinNME。=MEsin45。=；乂等=乎，

.q

…“△MCD增大4号

【小问3详解】

解：如图2,

图2

当点尸在线段AC上时，连接8P，交CQ于R，

•点3和点。关于。。对称，

:.CP=CB,

设PGr+3),

由C尸2=c^2得，2*=10，

=—5/5»t2=>/5(舍去),

限百3一逐)，

・.・PQ//BCt

CRBR.

QRPR

CR—QR,

四边形8cp。是平行四边形，

3+(—\/5)—0=3—\/5,0+(3—>/5)—3=-•>/5,

Q(3-；

如图3,

图3

当点尸在AC的延长线上时，由上可知：P（/3+司,

同理可得：Q（3+书,行）,

综上所述：Q（3-石,-石）或（3+逐身.

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称

的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.

23.如图，在正方形ABC。中，线段8绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,点尸在直线上,

且/，连接

图1图2

（1）如图1,当0°va<90。时，

①求NB4尸的大小（用含。的式子表示〕.

②求证：EF=6BF•

（2）如图2,取线段E尸的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段C石旋转过程中

（0°<a<360°）△ADG面积的最大值.

【答案】（1）@ZBAF=90°-a；②见解析；

（2）△ADG面积的最大值为1+&.

【解析】

【分析】（1）①利用等