专题01 整式求值的四种类型-2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第第页专题01整式求值的四种类型类型一：直接带入求值类型二：整体带入求值类型三：数形结合中的化简求值类型四：整式加减中的“无关”或“不含项”问题类型一：直接带入求值1．先化简，再求值：（3a2﹣ab+7）﹣（5ab﹣4a2+7），其中a＝2，b＝．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝3a2﹣ab+7﹣5ab+4a2﹣7＝7a2﹣6ab，当a＝2，b＝时，原式＝28﹣4＝24．2．先化简，再求值：（﹣x2+5x+4）+（5x﹣4+2x2），其中x＝﹣2．【分析】本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点．先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项即可．【解答】解：原式＝（﹣x2+5x+4）+（5x﹣4+2x2）＝﹣x2+5x+4+5x﹣4+2x2＝x2+10x＝x（x+10）．∵x＝﹣2，∴原式＝﹣16．3．先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．4．先化简，再求值：（3x2+xy+2y）﹣2（5xy﹣4x2+y），其中x＝﹣1，．【分析】先去括号合并同类项，然后把x＝﹣1，代入计算即可．【解答】解：原式＝3x2+xy+2y﹣10xy+8x2﹣2y＝11x2﹣9xy．当x＝﹣1，时，原式＝＝11﹣3＝8．5．先化简，再求值：2（3a2﹣ab+1）﹣（﹣a2+2ab+1），其中|a+1|+（b﹣2）2＝0．【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，根据非负数的性质可得a+1＝0，b﹣2＝0，即可求得a，b的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝6a2﹣2ab+2+a2﹣2ab﹣1＝7a2﹣4ab+1．∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2．∴原式＝7+8+1＝16．6．先化简，再求值：2（6y2﹣3y+2）+2（y﹣1）﹣（2+12y2），其中．【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将y的值代入即可求解．【解答】解：2（6y2﹣3y+2）+2（y﹣1）﹣（2+12y2）＝12y2﹣6y+4+2y﹣2﹣2﹣12y2＝﹣4y，∵，∴原式＝﹣4×＝﹣2．7．先化简，再求值：，其中．【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后再根据非负数的性质求出a，b的值并代入原式即可求出答案．【解答】解：∵，且，∴∴，∴＝a3﹣2b3+2ab2﹣a2b﹣2ab2+2b3＝a3﹣a2b＝＝＝．类型二：整体带入求值8．先化简，再整体代入求值：6xy+7y+[8x﹣（5xy﹣y+6x）]，其中x+4y＝﹣1，xy＝﹣3．【分析】先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x+4y与xy的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝6xy+7y+8x﹣（5xy﹣y+6x）＝6xy+7y+8x﹣5xy+y﹣6x＝xy+8y+2x＝xy+2（x+4y），当x+4y＝﹣1，xy＝﹣3时．原式＝﹣3+2×（﹣1）＝﹣3﹣2＝﹣5．9．先化简，再求值：2（x3﹣3xy）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3xy+2x3），其中x﹣y＝5，．【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．【解答】解：原式＝2x3﹣6xy﹣x+2y﹣x+3xy﹣2x3＝﹣3xy﹣2x+2y＝﹣3xy﹣2（x﹣y）；当x﹣y＝5，xy＝时，原式＝﹣3×﹣2×5＝﹣1﹣10＝﹣11．10．先化简，再求值：2（3x2﹣x+2y﹣xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+7xy），其中x，y满足．【分析】原式去括号合并得到最简结果，将代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝6x2﹣2x+4y﹣2xy﹣6x2+9x+3y﹣21xy，＝6x2﹣6x2﹣2x+9x+4y+3y﹣2xy﹣21xy，＝（6﹣6）x2+（﹣2+9）x+（4+3）y+（﹣2﹣21）xy，＝7x+7y﹣23xy．当时，原式＝7（x+y）﹣23xy，＝．11．先化简，再求值：7ab﹣5a﹣3（ab﹣b2）+2（b2﹣2ab），其中a+1＝b2．【分析】先根据a+1＝b2，求出b2﹣a＝1，然后利用去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后把化简后的式子变成含有b2﹣a的形式，最后整体代入求值即可．【解答】解：∵a+1＝b2，∴b2﹣a＝1，原式＝7ab﹣5a﹣3ab+3b2+2b2﹣4ab＝3b2+2b2+7ab﹣3ab﹣4ab﹣5a＝5b2﹣5a＝5（b2﹣a）＝5×1＝5．12．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是﹣（a﹣b）2；（2）已知x2﹣2y＝4，求2﹣3x2+6y的值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可；（2）把3x2﹣6y﹣21变形，得到3（x2﹣2y）﹣21，再根据整体代入法进行计算即可．【解答】解：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，则3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；故答案为：﹣（a﹣b）2；（2）∵x2﹣2y＝4，∴原式＝﹣3（x2﹣2y）+2＝﹣12+2＝﹣10．13．【知识呈现】我们可把5（x﹣2y）﹣3（x﹣2y）+8（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）中的“x﹣2y”看成一个字母a，使这个代数式简化为5a﹣3a+8a﹣4a，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．【解决问题】（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为6x﹣12y；（用含x、y的式子表示）（2）若代数式x2+x+1的值为3，求代数式2x2+2x﹣5的值为﹣1；【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：（3）已知a﹣2b＝7，2b﹣c的值为最大的负整数，求3a+4b﹣2（3b+c）的值．【分析】（1）令“x﹣2y”＝a，则原式化为5a﹣3a+8a﹣4a，然后合并同类项，最后将a＝x﹣2y代入即可；（2）将2x2+2x﹣5变形为2（x2+x）﹣5，然后整体代入求值即可；（3）由题意得出2b﹣c＝﹣1，结合a﹣2b＝7即可得出a﹣c＝6，将3a+4b﹣2（3b+c）变形为（a﹣2b）+2（a﹣c），然后代入求值即可．【解答】解：（1）令“x﹣2y”＝a，则5（x﹣2y）﹣3（x﹣2y）+8（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）＝5a﹣3a+8a﹣4a＝（5﹣3+8﹣4）a＝6a＝6（x﹣2y）＝6x﹣12y，故答案为：6x﹣12y；（2）由题意得，x2+x+1＝3，∴x2+x＝2，∴2x2+2x﹣5＝2（x2+x）﹣5＝2×2﹣5＝﹣1，故答案为：﹣1；（3）∵2b﹣c的值为最大的负整数，∴2b﹣c＝﹣1①，∵a﹣2b＝7②，①+②，得a﹣c＝6，∴3a+4b﹣2（3b+c）＝3a+4b﹣6b﹣2c＝3a﹣2b﹣2c＝（a﹣2b）+（2a﹣2c）＝（a﹣2b）+2（a﹣c）＝7+2×6＝19．14．【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为_____．【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，x2+x+3＝7则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．【方法运用】（1）若代数式x2+x+1的值为15，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值．（2）若x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为11，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值．【拓展应用】（3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1．求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值．【分析】（1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案；（2）将x＝2代入ax3+bx+4＝11，得到8a+2b＝7；再将x＝﹣2代入ax3+bx+3化简求值，整体代入即可得到答案；（3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代值求解即可得到答案．【解答】解：（1）∵x2+x+1＝15，∴x2+x＝14，∴﹣2x2﹣2x+3＝﹣2（x2+x）+3＝﹣2×14+3＝﹣25；（2）当x＝2时，ax3+bx+4＝8a+2b+4＝11，∴8a+2b＝7，∴当x＝﹣2时：ax3+bx+3＝﹣8a﹣2b+3＝﹣（8a+2b）+3＝﹣7+3＝﹣4；（3）∵3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1，∴6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）＝6m﹣6n﹣2n+2mn＝6m﹣8n+2mn＝2（3m﹣4n）+2mn＝2×（﹣3）+2×（﹣1）＝﹣8．15．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是﹣（a﹣b）2．（2）已知x2﹣2y＝4，求2﹣3x2+6y的值．（3）若m2+n2＝4，n2﹣mn＝1，则m2+2mn﹣n2值为2．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并同类项即可；（2）整体代入计算即可；（3）将后一个等式乘2，再两式相减，整理即可．【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2，故答案为：﹣（a﹣b）2，（2）∵x2﹣2y＝4，∴3x2﹣6y＝12，∴原式＝﹣3（x2﹣2y）+2＝﹣12+2＝﹣10．（3）∵n2﹣mn＝1，∴2n2﹣2mn＝2①，∵m2+n2＝4②，②﹣①得：m2+n2﹣2n2+2mn＝4﹣2，即m2+2mn﹣n2＝2，故答案为：2．类型三：数形结合中的化简求值16．先化简，再求值：，其中x，y的值在数轴上所表示的位置如图所示．【分析】根据去括号法则、合并同类项把原式化简，根据数轴确定x、y的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝3x2﹣6xy﹣（﹣xy+y2+x2﹣2y2）＝3x2﹣6xy+xy﹣y2﹣x2+2y2＝2x2﹣xy+y2，由题中数轴可知：x＝2，y＝﹣1，∴原式＝2×22﹣×2×（﹣1）+（﹣1）2＝8+11+1＝20．17．化简并求值：3（x2﹣2xy）﹣（﹣6xy+y2）+（﹣2y2+x2），其中x、y取值的位置如图所示．【分析】根据整式的加减法法则、去括号法则把原式化简，根据数轴确定x、y的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝3x2﹣6xy+6xy﹣y2﹣2y2+x2＝4x2﹣3y2，由数轴可知：x＝2，y＝﹣1，则原式＝4×22﹣3×（﹣1）2＝16﹣3＝13．18．如果数轴上表示a，b两数对应点的位置如图所示，那么|2b﹣3a|﹣（2a﹣3b）﹣（a﹣b）的计算结果为2b．【分析】先根据a，b两点在数轴上的位置判断出2b﹣3a的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵由图可知，a＜0，b＞0，|a|＞b，∴2b﹣3a＜0，∴原式＝﹣（2b﹣3a）﹣（2a﹣3b）﹣（a﹣b）＝﹣2b+3a﹣2a+3b﹣a+b＝2b．故答案为：2b．19．（1）计算：﹣12+（﹣）3÷﹣|﹣|．（2）化简并求值：3（x2﹣2xy）﹣（﹣6xy+y2）+（x2﹣2y2），其中x、y取值的位置如图所示．【分析】先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣）÷﹣＝﹣1﹣﹣＝﹣2．（2）原式＝3x2﹣6xy+6xy﹣y2+x2﹣2y2＝4x2﹣3y2，由题图知x＝2，y＝﹣1，原式＝4×22﹣3×（﹣1）2＝16﹣3＝13．20．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a﹣1|+|1﹣b|﹣|2﹣c|+|a+1|；（2）已知x＝|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|+2|b﹣1|，求2（x2﹣3x+）﹣（3x﹣6x2﹣2）的值．【分析】根据a，b，c在数轴上的位置，【解答】解：根据a，b，c在数轴上的位置，可知﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1＜c＜2，（1）原式＝（1﹣a）+（1﹣b）﹣（2﹣c）+（﹣a﹣1）＝1﹣a+1﹣b﹣2+c﹣a﹣1＝﹣2a﹣b+c+1．（2）∵x＝（b﹣a）+（b+c）﹣（c﹣a）+2（1﹣b）＝b﹣a+b+c﹣c+a+2﹣2b＝2．∴2（x2﹣3x+）﹣（3x﹣6x2﹣2）＝2x2﹣6x+1﹣x+2x2+＝4x2﹣7x+＝16﹣14+＝．21．（1）a、b为有理数，且a+b、a﹣b在数轴上如图所示：①判断：a＜0，b＜0，a＞b（用“＞'”“＜”“＝”填空）．②若x＝|2a+b|﹣3|b|﹣|3﹣2a|+2|b﹣1|，求（2x2﹣+3x）﹣4（x﹣x2+）的值；（2）若c为有理数，，且ab﹣bc+ac＝﹣99，求（3a﹣4b+2c）2+abc的值．【分析】（1）①根据a、b为有理数，和a+b、a﹣b在数轴上的位置，确定a、b的符号及大小关系，②根据a、b的符号和大小关系，化简绝对值，求出x的值，再代入求代数式的值即可，（2）设常数k，表示a、b、c，由ab﹣bc+ac＝﹣99，求出k的值，进而求出a、b、c，再代入求出代数式的值即可，【解答】解：（1）①由a+b、a﹣b在数轴上的位置可知，a+b＜﹣3，0＜a﹣b＜3，∴a＜0，b＜0，故答案为：＜，＜，＞，②x＝|2a+b|﹣3|b|﹣|3﹣2a|+2|b﹣1|＝﹣b﹣2a+3b﹣3+2a﹣2b+2＝﹣1，把x＝﹣1代入（2x2﹣+3x）﹣4（x﹣x2+）的得，原式＝（2﹣﹣3）﹣4（﹣1﹣1+）＝4.5，（2）设＝k，则a＝2k，b＝5k，c＝7k，∵ab﹣bc+ac＝﹣99，∴10k2﹣35k2+14k2＝﹣99，∴k2＝9，即k＝±3，∴a＝6，b＝15，c＝21或a＝﹣6，b＝﹣15，c＝﹣21，（3a﹣4b+2c）2+abc＝（6k﹣20k+14k）2+abc＝abc＝±378，又∵a＜0，b＜0，∴代数式的值为﹣378，答：代数式的值为±378．类型四：整式加减中的“无关”或“不含项”问题22．已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，若A+2B的值与a的取值无关，则b的值为（）A． B． C． D．【分析】将A+2B化为（5b﹣2）a﹣3，即可得5b﹣2＝0，求出b的值即可．【解答】解：A+2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1）＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2＝5ab﹣2a﹣3＝（5b﹣2）a﹣3，∵A+2B的值与a的取值无关，∴5b﹣2＝0，解得b＝．故选：C．23．已知：A＝2a2﹣5ab+3b，B＝4a2+6ab+8a，若代数式的2A﹣B的值与a无关，则此时b的值为（）A． B．0 C．﹣2 D．【分析】根据题意列式计算后得到关于b的方程，解方程即可．【解答】解：2A﹣B＝2（2a2﹣5ab+3b）﹣（4a2+6ab+8a）＝4a2﹣10ab+6b﹣4a2﹣6ab﹣8a＝﹣16ab+6b﹣8a＝﹣8a（2b+1）+6b，∵代数式的2A﹣B的值与a无关，∴2b+1＝0，解得：b＝﹣，故选：A．24．已知：关于x的多项式x3+ax2+2x﹣3﹣bx﹣5x2中，不含x与x2的项．求代数式3（a2﹣2b2+3）﹣2（a2﹣3b2+ab﹣4）的值．【分析】将关于x的多项式x3+ax2+2x﹣3﹣bx﹣5x2化简整理后求得a，b的值，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．【解答】解：x3+ax2+2x﹣3﹣bx﹣5x2＝x3+（a﹣5）x2+（2﹣b）x﹣3，∵原式中不含x与x2的项，∴a﹣5＝0，2﹣b＝0，解得：a＝5，b＝2，∴3（a2﹣2b2+3）﹣2（a2﹣3b2+ab﹣4）＝3a2﹣6b2+9﹣2a2+6b2﹣2ab+8＝a2﹣2ab+17＝52﹣2×5×2+17＝25﹣20+17＝22．25．已知：A＝2ab﹣a，B＝﹣ab+2a+b．（1）计算：5A﹣2B；（2）若5A﹣2B的值与字母b的取值无关，求a的值．【分析】（1）先将A和B代入，然后去括号，合并同类项进行化简；（2）根据结果与b的取值无关，则含b的项的系数和为0，从而列出方程求解．【解答】解：（1）原式＝5（2ab﹣a）﹣2（﹣ab+2a+b）＝10ab﹣5a+2ab﹣4a﹣2b＝12ab﹣9a﹣2b，（2）∵5A﹣2B的值与字母b的取值无关，∴12a﹣2＝0，解得：a＝，即a的值为．26．已知M＝2x2+ax﹣5y+b，N＝bx2﹣x﹣y﹣3，其中a，b为常数．（1）求整式M﹣2N；（2）若整式M﹣2N的值与x的取值无关，求（a+2M）﹣（2b+4N）的值．【分析】（1）将M和N代入整式M﹣2N，进行整式的加减运算即可；（2）结合（1）的结果，根据整式M﹣2N的值与x的取值无关，可得a和b的值，进而可求（a+2M）﹣（2b+4N）的值．【解答】解：（1）∵M＝2x2+ax﹣5y+b，N＝bx2﹣x﹣y﹣3，∴M﹣2N＝2x2+ax﹣5y+b﹣2（bx2﹣x﹣y﹣3）＝2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6＝2x2+ax+b﹣2bx2+3x+6；（2）由（1）知：M﹣2N＝2x2+ax+b﹣2bx2+3x+6＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+b+6∵整式M﹣2N的值与x的取值无关，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得b＝1，a＝﹣3，∴（a+2M）﹣（2b+4N）＝（﹣3+2M）﹣（2+4N）＝﹣3+2M﹣2﹣4N＝﹣5+2（M﹣2N）＝﹣5+2（b+6）＝﹣5+2b+12＝2b+7当b＝1时，原式＝2×1+7＝9．27．已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣，B＝﹣a2+．（1）当a＝﹣1，b＝时，求4A﹣（3A﹣2B）的值；（2）若（1）中代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关，求b的值．【分析】（1）先化简整式，再代入值即可求解；（2）代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关可知a的系数为0，可求出b的值．【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）＝4A﹣3A+2B＝A+2B因为A＝2a2+3ab﹣2a﹣，B＝﹣a2+ab+，所以A+2B＝2a2+3ab﹣2a﹣+2（﹣a2+ab+）＝2a2+3ab﹣2a﹣﹣2a2+ab+＝4ab﹣2a+1，当a＝﹣1，b＝时，原式＝﹣2+2+1＝1；（2）因为4A﹣（3A﹣2B）＝4ab﹣2a+1，＝a（4b﹣2）+1因为代数式的值与a无关，所以4