2025届中学位数与众数福建省厦门市逸夫中学数学九年级第一学期开学复习检测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第2页，共4页2025届中学位数与众数福建省厦门市逸夫中学数学九年级第一学期开学复习检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边△ADE，连接BE，则∠AEB的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°2、（4分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝4cm，AD＝5cm，则平行四边形ABCD的周长是()A．25cm B．20cm C．28cm D．30cm3、（4分）若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2C．a＞2 D．a＜04、（4分）下列运算正确的是()A． B． C． D．5、（4分）一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如表：型号

220

225

230

235

240

245

250

数量（双）

3

5

10

15

8

3

2

对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6、（4分）已知三角形的周长是1．它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．1 B．12 C．8 D．47、（4分）已知点的坐标是，点与点关于轴对称，则点的坐标为（）A． B． C． D．8、（4分）下列式子是最简二次根式的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）因式分解：x2﹣9y2=．10、（4分）若一组数据的平均数，方差，则数据，，的方差是_________.11、（4分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．12、（4分）如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD=6，则△DOE的周长为_________．13、（4分）如图，在平面直角坐标系内所示的两条直线，其中函数随增大而减小的函数解析式是______________________三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE，DF．（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论；（2）若∠BAC＝60°，AE＝6，求四边形AEDF的面积；（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．15、（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．16、（8分）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为.（1）求一次函数解析式；（2）求点的坐标.17、（10分）因式分解：x2y﹣2xy2+y1．18、（10分）图1，图2，图3是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，两点都在格点上，连结，请完成下列作图：(1)以为对角线在图1中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上.(2)以为对角线在图2中作一个矩形，使得矩形面积为6，且矩形各顶点均在格点上.(3)以为对角线在图3中作一个面积最小的平行四边形，且平行四边形各顶点均在格点上.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为_____．20、（4分）若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a＋b的值是________．21、（4分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C，D均为格点．（Ⅰ）∠ABC的大小为_____（度）；（Ⅱ）在直线AB上存在一个点E，使得点E满足∠AEC=45°，请你在给定的网格中，利用不带刻度的直尺作出∠AEC．22、（4分）计算：×＝____________.23、（4分）如图，四边形纸片ABCD中，，.若，则该纸片的面积为________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图,已知A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线AB与直线CD相交于点D,D点的横纵坐标相同；(1)求点D的坐标；(2)点P从O出发,以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动,过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点,设点P的运动时间为t秒,线段EF的长为y(y>0),求y与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下,直线CD上是否存在点Q,使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的Q点坐标,若不存在,请说明理由．25、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）证明：AE⊥BF；（2）证明：DF＝CE．26、（12分）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．（1）求证：；（2）若、分别为边、上的点，且，证明：四边形是平行四边形．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

根据△ADE为等边三角形，即可得出AE=AD，则AE=AB，由此可以判断△ABE为等腰三角形.△ADE为等边三角形，则∠DAE=60°，由此可以得出∠BAE=150°，根据△ABE为等腰三角形，即可得出∠AEB的度数.【详解】∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD、∠DAE=60°，∵四边形ABCD为正方形，则AB=AD，∴AE=AB，则△ABE为等腰三角形，∴∠AEB=∠ABE====15°,则答案为A.解决本题的关键在于得出△ABE为等腰三角形，再根据等腰三角的性质得出∠AEB的读数.2、C【解析】

只要证明AD＝DE＝5cm，即可解决问题.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5cm，CD＝AB，∴∠EAB＝∠AED，∵∠EAB＝∠EAD，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE＝5cm，∵EC＝4cm，∴AB＝DC＝9cm，∴四边形ABCD的周长＝2(5+9)＝28(cm)，故选C．本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3、B【解析】

根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a﹣1＜0，即可得出0＜a＜1，选出答案即可．【详解】解：∵点P（a，a﹣1）在第四象限，∴a＞0，a﹣1＜0，解得0＜a＜1．故选：B4、D【解析】

根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式加减的运算法则逐一判断得出答案．【详解】解：A.7a与2b不是同类项，不能合并，故错误；B.，故错误；C.，故错误；D.，故正确.故选：D.本题考查了整式的运算以及二次根式的加减，熟记法则并根据法则计算是解题关键．5、B【解析】

众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选B．6、C【解析】

由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．【详解】解：∵三角形的周长是1，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是：1×=2．故选：C．此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．7、B【解析】

根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点A关于y轴对称的点的坐标是B，故选：B．此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．8、A【解析】

利用最简二次根式的定义判断即可【详解】解：A.是最简二次根式；B.不是最简二次根式；C.不是最简二次根式；D.不是最简二次根式。故选：A本题考查的是最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、．【解析】因为，所以直接应用平方差公式即可：．10、【解析】

根据题意，由平均数的公式和方差公式可知，新数据的平均数为6【详解】解：∵，∴，∵，∴；故答案为：3.本题考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握求平均数和方差的方法.11、1693【解析】

如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m1-n1=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【详解】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数1k+1，有1k+1=（k+1）1-k1（k=1，1，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．

对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）1-（k-1）1（k=1，3，…）．

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

对于被4除余1的数4k+1（k=0，1，1，3，…），设4k+1=x1-y1=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，

当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+1不被4整除；

当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+1为偶数，总得矛盾．

所以不存在自然数x，y使得x1-y1=4k+1．即形如4k+1的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．

因为1017=（1+3×671），4×（671+1）=1691，

所以1693是第1018个“智慧数”，

故答案为：1693．本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．12、1．【解析】试题分析：∵▱ABCD的周长为20cm，∴2（BC+CD）=20，则BC+CD=2．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，∴OD=OB=BD=3．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=5+3=1，即△DOE的周长为1．故答案是1．考点：三角形中位线定理．13、；【解析】

观察图象，分析函数图象随增大而减小的，说明向x轴的正方向移动，y成下降趋势.【详解】观察图象，分析函数图象随增大而减小的，说明向x轴的正方向移动，y成下降趋势.因此可分析的的图象随着随增大而减小的.故答案为本题主要考查一次函数的单调性，当k>0是，随增大而增大，当k<0时，随增大而减小.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）四边形AEDF是菱形，证明见详解；（2）；（3）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．【解析】

（1）由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；（2）先证明△AEF是等边三角形，然后根据菱形的面积公式即可得到结论；（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．【详解】解：如图，（1）四边形AEDF是菱形，证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形；（2）∵四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF，∵∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形，∠1＝30°，∴AO＝，EF＝AE＝6，∴AD＝，∴四边形AEDF的面积＝AD•EF＝××6＝；（3）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．本题主要考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．15、（1）200；（2）补图见解析；（3）12；（4）300人.【解析】

（1）由76÷38%，可得总人数；先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；（3）用社科类百分比×2500可得.【详解】解：（1）200，126；（2）（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300(人)本题考核知识点：数据的整理，用样本估计总体.解题关键点：从统计图获取信息.16、（1）；（2）点的坐标为【解析】

（1）将代入中即可求解；（2）联立两函数即可求解.【详解】解：（1）将代入中，得：，∴（2）联立，得∴点的坐标为此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.17、y（x﹣y）2【解析】

先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．【详解】解：x2y﹣2xy2+y1=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．18、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.【解析】

见详解.【详解】解：(1)根据正方形的性质，先作垂直于且与长度相等的另一条对角线，则得到下图的正方形为所求作的正方形.(2)假设矩形长和宽分别为，则，可得，则长应为，宽应为，则下图的矩形为所求作的矩形.(3)根据平行四边形面积公式，可得下图的平行四边形为所求作的平行四边形.(画出下列一种即可)本题考查矩形、正方形、平行四边形的性质.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、y=﹣3x【解析】

设函数解析式为y=kx，把点（-1，3）代入利用待定系数法进行求解即可得.【详解】设函数解析式为y=kx，把点（-1，3）代入得3=-k，解得：k=-3，所以解析式为：y=-3x，故答案为y=-3x.本题考查了利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.20、1【解析】解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a=5，b=12，∴a+b=1．故答案为：1．21、90.【解析】

（Ⅰ）如图，根据△ABM是等腰直角三角形，即可解决问题；（Ⅱ）构造正方形BCDE即可.【详解】（Ⅰ）如图，∵△ABM是等腰直角三角形，∴∠ABM=90°（Ⅱ）构造正方形BCDE，∠AEC即为所求；故答案为90本题考查作图-应用与设计，解题的关键是寻找特殊三角形或特殊四边形解决问题22、【解析】

直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．【详解】=.故答案为.此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键.23、16【解析】

本题可通过作辅助线进行解决，延长AB到E，使BE=DA，连接CE，AC，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．【详解】解：如图，延长AB到E，使BE=DA，连接CE，AC，∵∠CBE=∠BCA+∠CAB，

∠ADC=180°-∠DCA-∠DAC，

∵∠BCD=90°，∠BAD=90°，

∴∠BCA+∠CAB=90°+90°-∠DCA-∠DAC=180°-∠DCA-∠DAC，

∴∠CBE=∠ADC，

又∵BE=DA，CB=CD，

∴△CBE≌△CDA，

∴CE=CA，∠ECB=∠DCA，

∴∠ECA=90°，∴三角形ACE是等腰直角三角形。∵AE=AB+BE=AB+AD=8cm∴S四边形ABCD=S△AEC=16故答案为：16本题考查了面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）D（4，4）；（2）y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）存在，其坐标为（，）或（14，-16），见解析.【解析】

（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；（2）分0≤t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（-4，0）、B（0，2）两点代入，解得，k＝，b=2，∴直线AB解析式为y＝x+2，∵D点横纵坐标相同，设D（a，a），∴a＝a+2，∴D（4，4）；（2）设直线CD解析式为y=mx+n，把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12，∴直线CD的解析式为y=-2x+12，∴AB⊥CD，当

0≤t＜4时，如图1，设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，∴PC=6-t，AP=4+t，∵PF∥OG，,,,,当4＜t≤6时，如图2，同理可求得PE=2+，PF=12-2t，此时y=PE-PF=t+2−(−2t+12)＝t−10，当t＞6时，如图3，同理可求得PE=2+，PF=2t-12，此时y=PE+PF=t-10；综上可知y，t的取值范围为：0≤t＜4或t＞4；（3）存在．当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4，∵∠BPQ=90°，∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，∴∠OPB=∠QPM，在△BOP和△PMQ中，∴△BOP≌△PMQ（AAS），∴BO=PM=2，OP=QM=t，∴Q（2+t，t），又Q在直线CD上，∴t=-2（t+2）+12，∴t=，∴Q（，）；当t＞4时，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图5，同理可证明△BOP≌△PNQ，∴BO=PN=2，OP=QN=t，∴Q（t-2，-t），又∵Q在直线