专题11.4点的坐标（拓展提高）（解析板）

专题11.4点的坐标（拓展提高）一、单选题1．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．点P（3，2）到x轴的距离是3B．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点C．若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴D．第三象限内点的坐标，横纵坐标同号【答案】D【分析】根据点的坐标的几何意义逐一进行判断即可得答案．【详解】A.点P（3，2）到x轴的距离是2，故本选项不符合题意．B.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点或坐标轴上的点，故本选项不符合题意．C.若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥y轴，故本选项不符合题意．D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查点的坐标的几何意义，由坐标平面内的一点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足M,N在x轴，y轴上的坐标分别为x和y，我们则说P点的横坐标为x,纵坐标是y，记作P(x，y)；熟练掌握相关定义是解题关键．2．如图，点A、B、C的坐标分别为（）A．（4，1），（0，1），（2，3） B．（1，4），（0，1），（－3，2）C．（4，1），（1，0），（－3，2） D．（4，1），（1，0），（2，－3）【答案】D【分析】直接根据平面直角坐标系得出点的坐标即可；【详解】解：根据平面直角坐标系可得：A（4，1），B（1，0），C（2，3），故选：D；3．等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（）

A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】先过B点作x轴的垂线段BC，证明出BC垂直平分OA和OC=BC，再根据A点坐标求解即可，．【详解】解：如下图所示：作BC⊥x轴，垂足为点C，因为是等腰直角三角形，所以BA=BO，∠BOC=45°，所以B点在OA的垂直平分线上，∠OBC=45°，所以BC=OC；又∵BC⊥x轴，∴BC垂直平分OA，∵A（－2，0）∴C（－1，0）∴OC=1，所以BC=1，∴B（－1，1）；故选：A．

【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、线段垂直平分线的判定与性质等内容，要求学生熟练掌握相关概念与性质，并能做到熟练运用，考查了学生的分析推理与数形结合的能力．4．若点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标为（）A．（，） B．（，﹣）C．（，﹣5） D．（，5）【答案】C【分析】根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，根据到x轴距离是到y轴的距离2倍，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：由点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴的距离2倍，∴|2a﹣4|＝2|a+3|，∴2a﹣4＝2（a+3）或2a﹣4＝﹣2（a+3），方程2a﹣4＝2（a+3）无解；解方程2a﹣4＝﹣2（a+3），得a＝﹣，，∴点M的坐标为．故选：C．【点睛】本题主要考查点到坐标轴的距离，利用方程的思想是关键．5．若点位于平面直角坐标系第四象限，且点到轴的距离是1，到轴的距离是，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】可先判断出点的坐标的符号，再跟据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到具体坐标即可．【详解】解：∵P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，∴P纵坐标可能为±1，横坐标可能为±2，∵点M在第四象限，∴P坐标为（2，1）．故选：D．【点睛】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．6．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根据点Q到两坐标轴的距离相等列出方程，然后求解得到a的值，再求解即可．【详解】解：∵点Q到两坐标轴的距离相等，∴|2+a|=|2a7|，∴2+a=2a7或2+a=2a+7，解得a=5或a=3，当a=5时，2+a=2+5=3，2a7=2×57=3；当a=3时，2+a=2+3=1，2a7=2×37=1；所以，点Q的坐标为或．故选D．【点睛】本题考查了点坐标，掌握坐标到坐标轴的距离的表示方法，以及掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．二、填空题7．如图，直角坐标系中、两点的坐标分别为，，则该坐标系内点的坐标为__________．【答案】【分析】首先根据A、B点坐标确定原点位置，然后再建立坐标系，再确定C点坐标即可．【详解】解：点C的坐标为（1，3），故答案为：（1，3）．【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是正确建立坐标系．8．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标是________．【答案】【分析】根据坐标的位置特点，当点位于x轴上时，纵坐标为0可求得a的值，即可得点Q的坐标．【详解】解：根据题意，可得：,即得;所以，所以Q的坐标为．故答案为：．【点睛】考查了点在坐标轴上的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的特点是解题的关键，当点位于x轴上时，纵坐标为0；当位于y轴上时，横坐标为0．9．点是第四象限内一点，若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为__________．【答案】【分析】根据点是第四象限内一点且到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求出a的值，再求解即可．【详解】∵点是第四象限内一点且到两坐标轴距离相等，∴点M的横坐标与纵坐标互为相反数∴解得，∴M点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）【点睛】本题考查了点的坐标，理解点是第四象限内一点且到两坐标轴距离相等，则点M的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．10．如图所示，点、B(1，1)、，则的面积是_________．【答案】2.5【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠ADB=∠AEC=，根据点、B(1，1)、，得到BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，求得AD=2，AE=1，根据代入数值计算即可．【详解】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠ADB=∠AEC=，∵点、B(1，1)、，∴BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，∴AD=2，AE=1，∴==2.5，故答案为：2.5．．【点睛】此题考查直角坐标系中图形面积计算，点到坐标轴的距离，理解点到坐标轴的距离得到线段长度由此利用公式计算面积是解题的关键．11．如图，已知点A的坐标为（−2，2），点C的坐标为（2，1），则点B的坐标是____．【答案】【分析】根据点A、C的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得．【详解】根据点A、C的坐标建立平面直角坐标系，如图所示：则点B的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标，依据题意，正确建立平面直角坐标系是解题关键．12．在平面直角坐标系中，点的坐标满足方程，（1）当点到两条坐标轴的距离相等时，点坐标为__________．（2）当点在轴上方时，点横坐标满足条件__________．【答案】或【分析】（1）分和两种情况，分别代入方程求解即可得；（2）先求出，再根据x轴上方的点的纵坐标大于0建立不等式，求解即可得．【详解】（1）由题意得：或①当时代入方程得：，解得则因此，点A的坐标为②当时代入方程得：，解得则因此，点A的坐标为综上，点A的坐标为或故答案为：或；（2）方程可变形为当点在轴上方时，点A的纵坐标一定大于0，即则解得故答案为：．【点睛】本题考查了点坐标、点到坐标轴的距离等知识点，掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中A(3，0)，B(0，4)，AB=5，P是线段AB上的一个动点，则OP的最小值是______．【答案】【分析】结合题意可知当OP垂直AB时，OP的值最小，据此利用等面积法进一步求解即可.【详解】由题意得：OA=3，OB=4，OA⊥OB，∴△AOB的面积=，∵当OP⊥AB时，OP的值最小，而此时OP即为△AOB斜边AB上的高，∴，∴，即OP的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了点的坐标的意义与三角形面积计算的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.14．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的5倍，则k的值为___．【答案】±5【分析】先根据点P在x轴正半轴确定出点P的坐标，然后利用k表示出P'的坐标，继而表示出线段PP′的长，再根据线段PP′的长为线段OP长的5倍得到关于k的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：设P（m，0）（m＞0），由题意：P′（m，mk），∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案为：±5．【点睛】本题考查了新定义下的阅读理解能力，涉及了点的坐标，绝对值的性质，两点间的距离等知识，正确理解新定义是解题的关键.三、解答题15．已知：点，且点到轴、轴的距离相等．求点的坐标．【答案】点的坐标或【分析】根据到两坐标的距离相等，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】点到轴、轴的距离相等．，，或，点的坐标或．【点睛】本题考查了点的坐标，利用到两坐标的距离相等得出关于a的方程是解题关键．16．2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道．条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类．为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．【答案】（1.5，2.2），（0.8，1），（2.2，1）（答案不唯一）【分析】以正方形左下角为原点，过原点且平行于BC的直线为x轴，过原点且与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，然后根据测量的结果可以写出A、B、C的坐标．【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则（1.5，2.2），（0.8，1），（2.2，1）．（答案不唯一）【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用，建立合适的坐标系后用有序实数对表示平面上点的位置是解题关键．17．在平面直角坐标系中，已知点．（1）若点M在x轴上，求m的值；（2）若点M到x轴的距离是3，求m的值；（3）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值．【答案】（1）；（2）0或3；（3）1【分析】（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解．（2）根据点到x轴的距离是3，可得纵坐标的绝对值为3，即可求解．（3）根据第二、四象限的角平分线上的横坐标，纵坐标互为相反数求解．【详解】解：（1）∵M（m，2m+3）在x轴上，∴2m+3=0，∴m=；（2）∵点M到x轴的距离是3，∴，解得：m=0或3；（3）∵M（m，2m+3）在第二、四象限的角平分线上，∴m+（2m+3）=0，∴m=1．【点睛】本题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第二、四象限的角平分线上的点的特征．18．如图，点，，都落在网格的格点上．（1）写出点，，的坐标；（2）求的面积：（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出．【答案】（1）点，，的坐标分别是，，；（2）3；（3）见解析【分析】（1）根据点，，所在位置直接写出的坐标即可；（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式BC边上的高求即可；（3）先求A′（4，4），B（3，2），C（0，2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′即可．【详解】解：（1）点，，的坐标分别是，，；（2）BC=41=3，点A到BC边的距离为：31=2，∴BC边上的高=；（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到A′（4，4），B（3，2），C（0，2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′，则为所求如图所示．【点睛】本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平移点，再连线得图是解题关键．19．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1．（1）请直接写出、、各点的坐标；（_____，_____）、（_____，_____）、（_____，_____）；（2）将三角形向上平移2个单位，得到三角形．①请在图中画出三角形．②直接写出三角形扫过的区域的面积．【答案】（1）0，3，2，2，2，1；（2）①作图见解析；②15【分析】（1）结合题意，根据直角坐标系和坐标的性质分析，即可得到答案；（2）①根据平移的性质，首先分别平移点、点、点，得点、点、点，从而完成求解；②根据（2）①的结论，三角形扫过的区域的面积为：三角形面积+平行四边形面积，通过计算即可得到答案．【详解】（1）根据题意得：，，；故答案为：0，3，2，2，2，1；（2）①根据（1）的结论，得，，；将点、点、点分别向上平移2个单位，得，，；如图，分别连接、、②根据（2）①的结论，三角形扫过的区域的面积为：三角形面积+平行四边形面积三角形面积平