第十二章实数（6个知识归纳15类题型突破）（原卷版）

第十二章实数（6个知识归纳+15类题型突破）1.掌握平方根、算术平方根的相关概念与性质；2.掌握立方根的概念与性质；3.掌握实数的概念、分类与性质；知识点一：平方根、算术平方根1.（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．3.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。知识点二：立方根1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．2.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．总结：类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点三：实数实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。1.实数的分类（4）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。2.无理数的概念无限不循环小数称为无理数。人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.4142135623730950488016887242097…，，，，，等都是无理数。知识点四：实数的大小比较1、实数的倒数、相反数和绝对值（1）相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。（2）绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。（3）倒数如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和1。零没有倒数。2、数轴和实数大小比较规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。知识点五：实数的运算1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。7、有理数除法运算法则就什么？有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:an9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。知识点六：近似数1.取一个数的近似数有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法例如:圆周率π=3.1415926﹍若精确到个位(或精确到1),则π≈3若精确到十分位(或精确到0.1),则π≈3.1若精确到百分位(或精确到0.1),则π≈3.14若精确到千分位(或精确到0.1),则π≈3.142π若精确到十分位,则π≈3.1也可以说成:π保留2个有效数字:3、12.有效数字定义:对一个近似数，从左面第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。例如：3.14有3个有效数字,分别是3、1、4；0.010320有5个有效数字,分别是1、0、3、2、0.题型一实数的概念与分类1．（2023上·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考阶段练习）下列各数：（相邻两个1之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（2023上·山东枣庄·八年级统考阶段练习）下列各数：3.141592，，0.16，0.01，，0.1010010001…，，，0.2，中无理数的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个巩固训练：1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）在，，，0，，中，无理数有个．3．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．阅读材料：“无理数”的由来为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数．再设，其中m是整数，就有：，也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，因为：______________，所以：是一个无理数．题型二求一个数的算术平方根3．（2023上·甘肃天水·九年级统考期末）4的算术平方根的平方根是(

)A．2 B． C． D．4．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2024上·湖南衡阳·八年级统考期末）的算术平方根是（

）A． B． C． D．2．（2023下·七年级课时练习）已知，则的算术平方根是.3．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）已知正数的两个平方根分别是和(1)求代数式的值；(2)当时，求的算术平方根．题型三利用算术平方根的非负性解题5．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）若，则的值是（

）A． B．1 C． D．20246．（2023上·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考阶段练习）如果，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．巩固训练1．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（）A． B． C． D．2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）若，则．3．（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）若，为实数，且，求的值．题型四求算术平方根的整数部分和小数部分7．（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（

）A．43 B．44 C．45 D．468．（2022下·河北保定·七年级校考期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·浙江金华·七年级校联考期中）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2．（2022上·湖南郴州·八年级校联考期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为．3．（2023下·广东广州·七年级广州市南武中学校考期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：，，．(1)仿照以上方法计算：_________；_________．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？题型五与算术平方根有关的规律探索题9．（2023上·浙江杭州·七年级翠苑中学校考期中）已知：，，则（

）A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.5810．（2022上·山西运城·九年级校联考阶段练习）以下是按规律排列的一列数：，，，，，…，根据规律，其中的第个数是（

）A． B． C． D．以上都不对巩固训练1．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）已知，，那么下列各式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022下·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）已知、、…则第四个式子为．3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：a…110010000……x1y100…(1)表格中_______，________；(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）题型六平方根的应用11．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：）与产生的热量Q（单位：）满．已知导线的电阻为，通电导线产生的热量，则电流I（单位：）的值为（

）A． B． C． D．12．（2023下·辽宁营口·七年级统考阶段练习）已知一个表面积为平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2021下·河南漯河·七年级统考期中）如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（）A． B． C． D．2．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则．3．（2023上·浙江·七年级周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？题型七求一个数的立方根13．（2023上·浙江温州·七年级统考期中）已知是最大的负整数，是8的立方根，则代数式的值为（

）A． B． C．1 D．314．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）若，则的值为（

）A． B． C．25 D．5巩固训练1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）若，且，则的值为（

）A． B．4 C． D．0或42．（2024上·广东河源·八年级统考期末）若，则的立方根是．3．（2022上·陕西渭南·八年级统考期末）已知的一个平方根是3，的立方根为．(1)求与的值；(2)求的立方根．题型八立方根的实际应用15．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（

）A． B． C． D．16．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（

）A．3 B． C． D．巩固训练1．（2023上·浙江温州·七年级统考期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（）A．4 B．2 C． D．82．（2023下·上海·八年级专题练习）大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是．3．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径）题型九实数的性质17．（2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．与相等 B．与互为相反数C．与互为相反数 D．与互为相反数18．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）如果表示实数，那么的值（）A．不可能是负数 B．可能是零或者负数C．必定是零 D．必定是正数巩固训练1．（2023上·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（

）A．a B． C． D．2．（2023上·四川内江·八年级校考阶段练习）的相反数是，当时，则x的绝对值是；3．（2023下·吉林松原·七年级校考阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根题型十实数的大小比较19．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）下列四个实数中，最大的数是（

）A． B．2 C．0 D．20．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）在四个数，0，，0.8中，绝对值最大的是（

）A． B．0 C． D．0.8巩固训练1．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）比较实数，，0，的大小，其中最小的实数为（

）．A． B． C．0 D．2．（2023上·四川成都·八年级校考期中）比较两数大小：．（请在横线上填写“”、“”或“”）3．（2023上·河南商丘·八年级校联考阶段练习）下面是漯河某初中数学小组学完幂的运算后就大小比较问题展开的交流，请仔细阅读并完成任务．小明：比较，，的大小，可以直接按照幂的运算比较，但是太麻烦了，有没有更好的方法．小亮：可以按照下面的思路比较：∵，同理，；且当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．∴，，的大小关系是______（用“＜”表示）．小明：这个方法不错，很巧妙，多观察多发现．……任务：(1)请将小亮的过程补充完整；(2)请利用小亮的思路比较，，的大小．题型十一实数的混合运算21．（2024下·全国·八年级假期作业）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．22．（2023上·甘肃天水·八年级校联考期中）化简的结果为（

）A． B．1 C． D．5巩固训练1．（2023下·广东阳江·八年级统考期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）已知x，y为有理数，，，．3．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）求下列各式的值(1)(2)题型十二程序设计与实数运算23．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（

）

A． B． C． D．24．（2022上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图是一个数值转换器，原理如下：当输入x为125时，输出y的值是（）A．5 B． C． D．巩固训练1．（2021下·安徽安庆·七年级统考期末）有一个数值转换器，原理如下图：当输入的x为81时，输出的y是（

）

A． B．3 C． D．92．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）根据图中的程序，当输入为64时，输出的值是3．（2023下·江苏·七年级校考周测）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．

(1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围；(2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围；题型十三新定义下的实数运算25．（2023上·云南昆明·七年级校考期中）规定一种新运算“”为：对于任意有理数都有，例如：，那么（

）A． B． C．5 D．926．（2023上·云南玉溪·七年级校考阶段练习）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（

）A． B．72 C． D．巩固训练1．（2024上·湖北·九年级校考周测）对于正实数，定于运算“”为：，其中为超过的最小整数，定义运算“*”为：，其中为不超过的最大整数，则的值为（

）A． B．9 C．8 D．62．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）我们知道，负数没有