专题5.2平行线及其判定（讲练）-简单数学之2020-2021学年七年级下册讲练（人教版）

专题5.2平行线及其判定典例体系（本专题共49题30页）一、知识点平行线定义；平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的判定1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．二、考点点拨与训练考点1:平面内两直线位置关系典例：（2020·石家庄市第四十一中学九年级期中）下列命题中，真命题有（）（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（2）内错角相等；（3）对顶角相等；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直.（6）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】（1）点到直线的距离，垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；（2）两直线平行，内错角相等，错误；（3）对顶角相等，正确；（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；（5）当这两条直线平行时：如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，错误；（6）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，错误故答案选：B方法或规律点拨本题考查了对顶角、内错角、点到直线的距离，点与线、线与线等的关系，掌握相关的定义与性质是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江金华市·七年级期中）下列说法正确的是（）A．没交点的两直线一定平行 B．两直线平行一定没交点C．没交点的线段一定平行 D．相交的两直线可能平行【答案】B【详解】解：A、应为在同一平面内，没有交点的两条直线一定平行，故本选项不符合题意；B、两直线平行一定没交点，故本选项符合题意；C、没交点的线段不一定平行，故本选项不符合题意；D、相交的两直线不可能平行，故本选项不符合题意；故选：B2．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．3．（2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能确定【答案】A【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行，故选：A．4．（2019·山西七年级月考）已知内部有一点，过点画的平行线，这样的直线（）A．有且只有一条 B．有两条 C．有三条 D．有无数条【答案】A【详解】根据过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故选A．5．（2020·山东省昌乐第一中学七年级月考）下列说法正确的有()①两点之间的所有连线中，线段最短②相等的角叫对顶角③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④不相交的两条直线叫做平行线⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②相等的角叫对顶角，错误，应该是对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该强调在直线外一点；④不相交的两条直线叫做平行线，错误，应该强调在同一平面内；⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短，错误，应该是垂线段最短；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，正确的有2个，故选：B．6．（2020·嘉峪关市第六中学七年级月考）同一平面内，两条直线的位置关系有（）A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行【答案】B【详解】解：同一平面内的两直线只有相交于平行两种位置关系．故选：B．7．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如果，与相交，，那么与的关系为________．

【答案】相交【详解】解：和的关系是：相交．故答案为：相交．8．（2019·山西七年级月考）如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为______（用符号表示）．【答案】【详解】如图所示，可得，又∵∠1＝∠2，∴，∴．故答案是．9．（2020·广东广州市·绿翠现代实验学校七年级月考）同一平面内，两条直线的位置关系有_____________________．【答案】相交或平行【详解】解：在同一平面内，两条直线有2种位置关系，它们是相交或平行．故答案为：相交或平行.考点2：平行公理及应用典例：（2020·江苏南京市·七年级期中）下列命题中的真命题是（）A．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥cB．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥cD．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c【答案】C【详解】解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果ab，b⊥c，则a⊥c，原命题是假命题；B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则ac，原命题是假命题；C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果ab，bc，则ac，是真命题；D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果ab，bc，则ac，原命题是假命题；故选：C．方法或规律点拨本题主要考查平行线和垂直的判定，掌握平行线和垂直的判定方法是解题的关键．巩固练习1．（2020·湖南永州市·七年级期末）下列说法中不正确的是（）A．三条直线，，若，，则B．在同一平面内，若直线，，则C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【详解】A．三条直线，，若，，则，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；B．在同一平面内，若直线，，则，根据平行线的性质可确定正确；C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故选：D．2．（2019·四川绵阳市·七年级期末）已知是同一平面内的不同直线，下列说法正确的是（）A．若与相交，与相交，则与相交B．若，，则C．若，，则D．若两两相交，有三个交点【答案】B【详解】解：A．若与相交，与相交，则与平行或相交，该项不符合题意；B．若，，则，该项符合题意；C．在同一平面内，若，，则，该项不符合题意；D．若两两相交，有一个交点或三个交点，该项不符合题意；故选：B．3．（2020·凉州区洪祥乡洪祥中学七年级期末）下列说法错误的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内的两条不相交的直线是平行线C．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】A【详解】解：选项A：当点P在直线m上时则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A错误，选项B、C、D显然正确，故选：A．4．（2020·河南许昌市·七年级期末）在统一平面内有三条直线、、，下列说法：①若，，则；②若，，则，其中正确的是（）A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确【答案】A【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．5．（2020·江苏淮安市·七年级期末）下列命题中，是真命题的有（）①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；②对顶角相等，是真命题；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；是真命题；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3，是真命题；故选：D.6．（2021·全国九年级专题练习）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【详解】解：∵由题意a⊥AB，b⊥AB，∴∠1=∠2∴a∥b所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，

故选：B．考点3：平行线的判定典例：（2020·河南新乡市·七年级期末）如图，点在的延长线上，给出的五个条件：①；②；③；④；⑤．能判断的有___________．【答案】②③⑤【详解】∵∠3=∠4，∴BD∥AC，不符合题意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD，符合题意；∠A=∠DCE，∴AB∥CD，符合题意；∠D=∠DCE，∴BD∥AC，不符合题意；∠D+∠ABD=180°，∴AB∥CD，符合题意；故答案为：②③⑤方法或规律点拨本题主要考查平行线的判定定理，掌握“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．巩固练习1．（2021·广东佛山市·八年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＋∠4＝180°【答案】D【详解】解：A.由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；B.如下图，由∠2＋∠4＝180°，∠5＋∠4＝180°，可得∠2＝∠5，故直线a与b平行，故B能判定；C.由∠1＝∠4，∠4＝∠3，可得∠1＝∠3，故直线a与b平行，故C能判定；D.由∠1＋∠4＝180°，不能判定直线a与b平行，故选：D．2．（2021·福建三明市·七年级期末）如图是利用直尺和三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，这样做的依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行【答案】A【详解】解：如图：∵∠BAC=∠EDC，∴AB∥DE．故选：A．3．（2020·珠海市紫荆中学七年级期中）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（）A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠A C．∠1＝∠4 D．∠4+∠2＝180°【答案】C【详解】解：A、∵∠4＝∠3，∴DE∥AC，不符合题意；B、∵∠1＝∠A，∴DE∥AC，不符合题意；C、∵∠1＝∠3，∴DF∥AB，符合题意；D、∵∠4+∠2＝180°，∴DE∥AC，不符合题意；故选：C．4．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，能判定的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，此选项不符合题意；B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，此选项符合题意；C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，此选项不符合题意；D、当∠1＋∠2＝180°时，EF∥BC，此选项不符合题意；故选：B．5．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A、如果，那么，故该项不符合题意；B、如果，那么AD∥BC，故该项符合题意；C、如果，那么，故该项不符合题意；D、如果，那么，故该项不符合题意；故选：B．6．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判定的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【详解】解：①∵，∴AB//CD，故符合题意；②∵，∴AD//BC，故不符合题意；③∵，∴AD//BC，故不符合题意；④∵，∴AB//CD，故符合题意；故选C．7．（2020·福建福州市·七年级期末）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】A选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3+∠4=180°时AB∥CD；B选项中∠3和∠4的对顶角是一组同旁内角，所以当∠3=∠4时AB与CD不一定平行；C选项中∠1和∠3的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1+∠3=180°时，AB与CD不一定平行；D选项中∠1和∠2的对顶角是一组同旁内角，所以当∠1=∠2时AB与CD不一定平行．故选：A．8．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】解：∵∠1＝∠2＝60°，∴a∥b，∵∠2＝∠3，∴b∥c，∴a∥c，故选：D．9．（2020·吉林长春市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出的是（）A．①② B．①③C．②③ D．②④【答案】B【详解】①∵∠1=∠2，∴AB∥CD；②∵∠3=∠4，∴AD∥BC；③∵∠B=∠DCE，∴AB∥CD；④∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC；∴能得到AB∥CD的条件是①③.故选择：B10．（2021·全国七年级）如图，已知下列条件不能判定直线的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】A选项：，内错角相等，两直线平行，可以判定直线，故A不符合题意；B选项：，同位角相等，两直线平行，可以判定直线，故B不符合题意；C选项：∠1与∠4不存在同位角，内错角，同旁内角关系，故无法判定直线D选项：，同旁内角互补，两直线平行，可以判定直线，故D不符合题意．故选C．11．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4），其中能判定的条件的序号是（）A．（1），（2） B．（1），（3） C．（1），（4） D．（3），（4）【答案】A【详解】解：故（1）可判定；故（2）可判定；，不能判定故（3）不能判定；，不能判定故（4）不能判定．故选：12．（2020·浙江金华市·七年级期末）如图，点E在的延长线上，下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是__________________（填写正确的序号即可）．【答案】②③④【详解】解：①∵，∴AB∥CD；故①错误；②∵，∴；故②正确；③∵，∴；故③正确；④∵，∴；故④正确；故答案为：②③④；13．（2020·浙江金华市·七年级期末）下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线，，则；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．【答案】（4）【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线，，则，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．14．（2021·全国七年级）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝°（）因为∠2+∠3＝180°（）所以∠3＝∠4（）因为（）所以∠1＝∠4（）所以AB//DE（）【答案】180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．【详解】解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）因为∠2+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4（同角的补角相等）因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4（等量代换）所以AB//DE（同位角相等，两直线平行）故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．15．（2020·陕西宝鸡市·七年级期中）数学活动课上，小亮把两个含30°角的三角板按照如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，他让小明判断直线与的位置关系，小明很快说出了答案并讲出了判断的依据.请你猜猜小明的答案和理由.【答案】，理由：内错角相等，两直线平行【详解】，理由：内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．16．（2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期末）已知：如图，，和互余，和互余，求证：．【答案】证明见详解【详解】解：证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，∴∠1=∠2，∵∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．考点4：与平行线有关的作图问题典例：．（2021·南京外国语学校七年级期末）如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A､B､C均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A画线段的平行线；（2）过点B画线段的垂线，垂足为B；（3）过点C画线段的垂线，垂足为E；（4）线段的长度是点C到直线________的距离；（5）线段､的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）；垂线段最短．【详解】（1）如图，直线即为所求；（2）如图，直线即为所求（3）如图，直线即为所求；（4）（5）；垂线段最短．方法或规律点拨本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．巩固练习1．（2018·山东济南市·七年级期中）如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知都是格点．请按以下要求作图（注：下列求作的点均是格点）（1）过点作一条线段，使平行且等于；（2）过点作线段的垂线段；（3）过点作线段的垂线段，并判断与的位置关系；（4）求的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，；（4）4【详解】（1）每个方格均为边长为1的正方形，结合题意，作图如下：（2）如图，∵，,使，，连接BE，线段即为所求；（3）如图，连接CQ，直线CQ与AB相交于点F即为线段的垂线段；∵，且∴（4）如图∵每个方格均为边长为1的正方形∴正方形面积∴．2．（2021·北京通州区·首师大附中通州校区七年级期末）如图，点P是的边上的一点．（1）过点P画的垂线，交于点E；（2）过点P画的垂线，垂足为H；（3）过点P画的平行线；（4）若每个小正方形的边长是1，则点P到的距离是___________；（5）线段的大小关系是_____________________（用“<”连接）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）1；（5）【详解】如图，点P是的边上的一点．（1）过点P画的垂线，交于点E；（2）过点P画的垂线，垂足为H；（3）过点P画的平行线；

（4）由题意PH即点P到的距离，且PH=1，∴答案为1；（5）∵在RT△PHE中，PH是直角边，PE是斜边，∴PH<PE，同理在RT△POE中，PE是直角边，OE是斜边，∴PE<OE，∴线段，，的大小关系是．故答案为PH<PE<OE．3．（2020·射阳县实验初级中学七年级期末）利用网格画图，每个小正方形边长均为1（1）过点C画AB的平行线CD；（2）仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E；（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________．（4）直接写出△ABC的面积为_________．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CE，垂线段最短；（4）8．【详解】解：（1）直线CD即为所求；（2）直线CE即为所求；（3）在线段CA、CB、CE中，线段CE最短，理由：垂线段最短；故答案为CE，垂线段最短；（4）S△ABC=18﹣×1×5﹣×1×3﹣×2×6=8，∴△ABC的面积为8.4．（2021·南京外国语学校七年级期末）如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A､B､C均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A画线段的平行线；（2）过点B画线段的垂线，垂足为B；（3）过点C画线段的垂线，垂足为E；（4）线段的长度是点C到直线________的距离；（5）线段､的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）；垂线段最短．【详解】（1）如图，直线即为所求；（2）如图，直线即为所求（3）如图，直线即为所求；（4）（5）；垂线段最短．5．（2021·江苏苏州市·七年级期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上．找一格点，使得直线，画出直线；找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足；找一格点，使得直线，画出直线；连接，则线段的大小关系是(用“”连接)．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）【详解】（1）如图所示，符合题意的格点有D1，D2两个，画出其中一个即可；（2）如图所示：E点即为所求，垂足为F点；（3）如图所示，点G即为所求；（4）如图所示，显然，在中，；在中，，故答案为：．6．（2020·南平市建阳第三中学七年级开学考试）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：（1）画直线OA；（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．【答案】见解析.【详解】解：（1）作法：①连接OA，②作直线AO；（2）作法：连接正方形AHGB的对角线BH交AG于点D；（3）作法：①取线段AD的中点F，连接EF．7．（2020·上饶市实验中学七年级期末）如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P点画直线CD使CD∥AB，简单说明你的画法．【答案】见解析【详解】解：如下图所示，将三角板30°角的一边与直线AB重合，另一边过点P，沿着这边作直线EF，平移三角板，当30°角的顶点与点P重合时，沿着30°角的另一边画直线CD，根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，∴直线CD即为所求．8．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，都是射线，且．（1）按要求画图：过画的垂线，垂足为，过画的平行线交于；（2）在（1）画出的图形中，比较与的大小，并写出理由．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．【详解】（1）如图所示；（2）理由：垂线段最短．9．（2019·广东广州市·七年级期末）如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题.（1）过点P画PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，