专题28.5解直角三角形的应用方向角问题大题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题28.5解直角三角形的应用：方向角问题大题专项提升训练（重难点培优）一．解答题（共24小题）1．（2022秋•乳山市期中）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）【分析】过点C作CD⊥AB于D．构造直角三角形，设CD＝xm，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D．设CD＝xm，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xm．在Rt△ACD中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB+BD＝（20+x）m，CD＝xm，∴CD＝tan30°•AD，∴x＝（20+x），解得x＝10（+1），∴CD＝10（+1）m．答：这条河的宽度约为10（+1）m．2．（2022秋•北碚区校级期中）如图，一艘位于码头C正东方向的货船D，沿正南方向行驶120千米到达码头A处，此时测得码头B位于码头A北偏西60°方向，货船以30千米/小时的速度匀速从码头A去码头B取货，再以相同的速度将货物送往码头C，此时测得码头B位于码头C南偏西15°方向，码头A位于码头C南偏东30°方向，（忽略货船取货时间，≈1.4，≈1.7，≈2.4）（1）求码头A与码头C之间的距离（结果保留根号）（2）货船能否在6小时内完成取货送货任务？请说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可得答案；（2）构造两个直角三角形，分别在两个含有特殊锐角的直角三角形中，求出AB、BC，再根据速度、时间、路程之间的关系求出所用的时间即可．【解答】解：（1）由题意可知，∠CAD＝∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，AD＝120，∠BAD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝120，∠CAD＝30°，∴AC＝＝80（千米），答：码头A与码头C之间的距离为80千米；（2）如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，∵∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠BAM＝30°，∵∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，∴∠ACB＝30°+15°＝45°，设CM＝x千米，则BM＝CM＝x千米，BC＝x千米，AM＝x千米，AB＝2x千米，∵AC＝80，即x+x＝80，∴x＝120﹣40，∴AB＝2x＝240﹣80≈104（千米），BC＝x＝120﹣40≈72（千米），∴需要时间为：（104+72）÷30≈5.8＜6（小时），∴货船能在6小时内完成取货送货任务，答：货船能在6小时内完成取货送货任务．3．（2022秋•莱西市期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．（1）求从手工坊D处回到门口A处的距离．（2）求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据余弦的定义求出DF，根据正弦的定义求出DE，根据勾股定理求出AD；（2）根据正弦的定义求出∠ADE，得到答案．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形EDFB是矩形，∴ED＝BF，DF＝EB，由题意得，CD＝200米，∠CDF＝37°，∴DF＝CD•cos∠CDF≈200×0.80＝160（米），CF＝CD•sin∠CDF≈200×0.60＝120（米），∴AE＝AB﹣BE＝220﹣160＝60（米），DE＝200﹣120＝80（米），由勾股定理得，AD＝＝＝100（米），答：从手工坊D处回到门口A处的距离约为100米；（2）在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝0.6，∴∠ADE＝37°，∴90°﹣37°＝53°，答：从手工坊D处回到门口A处的方位角为南偏东53°．4．（2022秋•九龙坡区校级月考）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．（1）求妈妈步行的速度；（2）求明明从C处到D处的距离．（参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，结果保留两位小数）【分析】（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度＝路程÷时间，代入计算即可；（2）过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，设AE＝CE＝akm，过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，可得EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，由tan∠DCF＝，得出（a﹣1.5）＝a﹣2，解得a＝，进而求得DF，然后利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得结果．【解答】解：（1）根据题意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，∴BD＝AB•tan37°≈2×0.75＝1.5（km），∴1.5÷＝6（km/h），答：妈妈步行的速度为6km/h；（2）如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE，设AE＝CE＝akm，过点D作DF⊥CE于点F，得矩形BEFD，∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，∴tan30°≈，∴（a﹣1.5）＝a﹣2，∴a＝，∴DF＝a﹣2＝，∴CD＝2DF＝≈1.37（km）．答：明明从C处到D处的距离约为1.37km．5．（2022秋•九龙坡区校级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向，（1）求AC的距离；（2）两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可得∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；（2）过点B作BF⊥CD于点F，根据题意可得∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，所以∠BCF＝15°+22°＝37°，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可知：∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，∴∠BCE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∴BE＝AE＝AB＝450m，∴CE＝BE＝450m，∴AC＝AE+CE＝450+450＝450（+）≈450×3.86≈1737（m）；∴AC的距离约为1737m；（2）小西家会被划为管控区，理由如下：如图，过点B作BF⊥CD于点F，根据题意可知：∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，∴∠BCF＝15°+22°＝37°，在Rt△CBF中，CB＝2BE＝2×450＝900（m），∴BF＝CB•sin37°≈900×0.6≈764（m），∵764＜800，∴小西家会被划为管控区．6．（2022秋•合川区校级月考）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的避风港B处．（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：＝1.414，＝1.732）【分析】（1）作PC⊥AB，根据正弦的定义求出PC，根据直角三角形的性质求出PB；（2）根据路程÷速度＝时间与7比较即可得到结论．【解答】解：过点P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝PA•sinA＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，∠B＝45°，∴PB＝PC＝50≈70.7海里，答：B处距离灯塔P约70.7海里；（2）∵PB＝50海里，轮船的航速是每小时20海里，∴＝＜7，∴轮船不能在台风到来前赶到避风港B处．7．（2022春•沙坪坝区校级月考）一路文明一路情，魅力轻轨轻松行，重庆轨道交通第三轮规划线路正在如火如荼地建设中．如图工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A处时，测得文史陈列馆C在A北偏西26°方向的600米处，再铺设276米到达B处．（1）请通过计算确定C在B的什么方向上；（2）文史陈列馆C周围若干米内需要建设文化广场，不能铺设轨道，工程队通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开文化广场，请计算文史陈列馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，，结果四舍五入精确到1米）．【分析】（1）过点C作CF⊥BD于点F，连接BC，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，求出CF，AF的值，进而可得BF的值，即可得CF＝BF，则∠CBF＝45°，根据方向角的定义可得答案．（2）过点C作CG⊥BE于点G，在Rt△BCF中，BF＝264米，∠CBF＝45°，可得BC＝BF＝米，由已知条件得∠DBE＝15°，则∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，求出CG的值，即可得出答案．【解答】解：（1）过点C作CF⊥BD于点F，连接BC，由题意得∠A＝26°，AC＝600米，AB＝276米，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，解得CF≈264，AF≈540，∴BF＝AF﹣AB＝264（米），∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴C在B的北偏西45°方向上．（2）过点C作CG⊥BE于点G，由（1）可知∠CBF＝45°，在Rt△BCF中，BF＝264米，则BC＝BF＝米，∵∠DBE＝15°，∴∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，解得CG＝≈323．∴文史陈列馆C周围至少323米内不能铺设轨道．8．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉市场D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市场D点到环城路AC之间的距离．【分析】根据平行线的性质，方向角的定义以及三角形外角的性质求出∠ADB＝15°，再根据等角对等边，证得BD＝AB，然后根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°，∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°，∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，∴DH＝BD＝1（km），答：花卉市场D点到环城路AC之间的距离为1km．9．（2022春•大渡口区校级月考）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60海里的D处拦截到该可疑船只．（1）求点A到直线CB的距离；（2）若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：【分析】（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图．根据题意得到∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理得到DH＝＝60海里，解直角三角形想即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图．由题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH＝AC＝×120＝60（海里）．答：点A到直线CB的距离是60海里；（2）海警船能否在1小时内拦截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝60海里，AH＝60海里，∴DH＝＝60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH＝AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝20，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣20）海里，∵海警船的速度是30海里/小时，∴（60﹣20）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小时内拦截到可疑船只．10．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，A，B，C，D，E为同一地区的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西30°方向，位于景点C的东南方向800米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西30°方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向．（1）求景点A与景点C相距多少米？（结果保留根号）（2）为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路DE的长度．（参考数据：＝1.732，结果精确到1米）【分析】（1）过点B作BF⊥AC于点F，在Rt△CBF中，可得BF＝CF＝＝米，在Rt△ABF中，tan30°＝＝，求出AF，根据AC＝CF+AF可得答案．（2）过点C作CG⊥DE于点G，过点E作EH⊥AC于点H，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，则EH＝米，在Rt△AEH中，可得EH＝AH＝米，则CH＝EG＝AC﹣AH＝（800+）米，最后根据DE＝DG+EG可得答案．【解答】解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，由题意得，BC＝800米，∠CBF＝45°，∠ABF＝30°，∴BF＝CF＝＝＝（米），在Rt△ABF中，tan30°＝＝，解得AF＝800，∴AC＝CF+AF＝（800+）米．∴景点A与景点C相距（800+）米．（2）过点C作CG⊥DE于点G，过点E作EH⊥AC于点H，由题意得，CD＝1000米，∠DCG＝30°，∠AEH＝45°，CG＝EH，EG＝CH，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，∴EH＝米，在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，可得EH＝AH＝米，∴CH＝EG＝AC﹣AH＝800+﹣＝（800+）米，∴DE＝DG+EG＝500+800+≈1820米．∴道路DE的长度约为1820米．11．（2022•荣昌区自主招生）如图，为学校创造安全环境，决定在A点东偏北30°方向直线延伸的主公路的旁边修一条学生的步行路．测绘员在A处测学校M在A点东偏北60°方向，测绘员沿主公路步行2000米到达C处，测得学校M位于C的北偏西60°方向，请你在主公路上寻找点N，使到学校的路程最短，并求AN的长．【分析】过点M作MN⊥AC于N，过点C作CD⊥东西方向与D，根据方向角的概念求出∠AMC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出MC，根据余弦的定义求出CN，进而求出AN．【解答】解：过点M作MN⊥AC于N，过点C作CD⊥东西方向与D，则MN为主公路到学校的路程最短距离，由题意得：∠MAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AMC＝90°，∴MC＝AC＝1000米，∴CN＝MC•cos∠ACM＝500（米），∴AN＝AC﹣CN＝1500（米），答：AN的长为1500米．12．（2022春•江津区校级期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A、P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．【分析】（1）过点P作PC⊥AB交AB的延长线于C，设PC＝x海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC，根据正切的定义用x表示出AC，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出PA；（2）比较PC与半径的大小，得到答案．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB交AB的延长线于C，设PC＝x海里，在Rt△PBC中，∠PBC＝45°，则BC＝PC＝x海里，在Rt△PAC中，∠PAC＝30°，则PA＝2PC＝2x海里，AC＝＝x（海里），由题意得：AC﹣BC＝AB，即x﹣x＝20，解得：x＝10+10，则AP＝20+20，答：A、P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）海监船由B处继续向东航行没有触礁危险，理由如下：∵10+10＞10（3+），∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．13．（2022•渝北区校级模拟）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．（1）由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：≈1.414，≈2.646）【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得∠BAC＝60°，在Rt△ABD中，由三角函数可求得BD＝米，AD＝100米，则CD＝AC﹣AD＝200米，再根据勾股定理BC＝可得出答案．（2）过点B作航道的垂线BE，在Rt△ABE中，sin45°＝，求出BE的值，与150作比较，可得结论；设BF＝150米，利用勾股定理求出EF，再根据对称性可得被影响的航道长度．【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，由题意得，∠BAC＝15°+45°＝60°，AB＝200米，AC＝300米，在Rt△ABD中，sin60°＝，cos60°＝，解得BD＝，AD＝100，∴CD＝AC﹣AD＝200米，∴由勾股定理得，BC＝＝≈265米．∴B、C两地的距离约为265米．（2）该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米，理由如下：过点B作航道的垂线BE，由题意得，AB＝200米，∠BAE＝45°，在Rt△ABE中，sin45°＝，解得BE＝≈141，∵141＜150，∴该条航道会被这片浅滩区域影响．设BF＝150米，在Rt△BEF中，EF＝＝＝50（米），根据对称性可知，被影响的航道长度为100米．14．（2022•岳麓区校级三模）湘江流经永州、衡阳、株洲、湘潭、长沙等市，至岳阳注入洞庭湖，干流全长844公里，是湖南省内最大的河流，在一次数学活动课上，老师带领学生去测量湘江某段的宽度（假设两岸是平行的），如图，某学生在河东岸点A处观测河对岸水边点C，测得C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行400米到达B处，测得C在B北偏西60°的方向上．（1）求BC的长；（2）求此段湘江的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即可得BC＝AB＝400米．（2）在Rt△BCD中，sin60°＝，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝400米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝400米．即BC的长为400米．（2）由（1）得，BC＝400米，在Rt△BCD中，sin60°＝，解得CD＝≈346.4．∴此段湘江的宽度约为346.4米．15．（2022•秀英区校级模拟）如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上，公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km．（1）填空：∠PAB＝45度；（2）求村庄A，B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）根据∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP可得出答案．（2）过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得∠APN＝∠APB＝75°，进而可得∠BPC＝30°，在Rt△ACP中，sin45°＝，解得PC＝，则PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，由AB＝AC+BC可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，∠BAQ＝60°，∠PAQ＝15°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP＝45°，故答案为：45．（2）过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得∠APN＝75°，∠PAC＝∠APC＝45°，∵PA平分∠BPN，∴∠APN＝∠APB＝75°，∴∠BPC＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ACP中，∠PAC＝45°，AP＝2km，sin45°＝，解得PC＝，∴PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，∴AB＝AC+BC＝（+）km．∴村庄A，B之间的距离为（+）km．16．（2022•南山区校级模拟）如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B岛在A岛的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B岛发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈．（1）求C点到A岛的距离；（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，则可得2x+＝30，求出x的值，进而可得出答案．（2）根据路程＝速度×时间列出分式方程，即可求解．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，∴2x+＝30，解得x＝9，∴AC＝15海里．∴C点到A岛的距离约为15海里．（2）设A岛所派快艇的速度为y海里/小时，则B岛所派快艇的速度为（y+25）海里/小时，由题意得，，解得y＝25，经检验，y＝25为原方程的解，且符合题意．答：A岛所派快艇的速度为25海里/小时．17．（2022•沙坪坝区校级开学）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，从而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．18．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．19．（2022•丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．20．（2022•渠县一模）如图，在某港口M的正南方向有一渔船在A处作业，到了上午11：00时渔船发出求救信号，港口指挥中心指示位于港口东南方向距离50海里B处的巡逻船去营救，并且最迟在中午12：00赶到，此时巡逻船发现渔船在它的南偏西30°方向，同时正南方向C处有触礁警示．如果巡逻船沿BA前去营救，行驶20海里到D处，测得DA与DC的夹角为45°，请问仍按原航线行驶是否有触礁的危险？若无危险，巡逻船的速度至少要达到每小是多少海里？【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BF⊥AM于点F，设CE的长为x海里，由题意得：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，然后利用特殊角三角函数即可解决问题．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BF⊥AM于点F，设CE的长为x海里，由题意知：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∵CE⊥AB，∴CE＝DE＝x海里，∴BE＝（x+20）海里，∵BE＝CE＝x（海里），∴x+20＝x，.解得x＝10√+10，∵10+10≈27.3＞25，∴巡逻船按原航线行驶没有触礁的危险；∵BC∥AM，∴∠ABC＝∠A＝30°，由题意知：∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，∴MF＝BF＝50海里，∵∠A＝30°，∠BFA＝90°，∴AB＝2BF＝100（海里）．∵上午11：00时渔船发出求救信号，最迟在中午12：00赶到，巡逻船的速度至少要达到每小时100海里，∴巡逻船按原航线行驶没有触礁的危险；速度至少要达到每小时100海里．21．（2022•睢阳区二模）长征18号已于2021年4月23日在海南三亚某军港交接入列，如图，某日长征18号艇从点A出发沿正东方向巡航，在点A处测得岛屿D在点A的北偏东42°方向上，航行4海里后到达点B，测得岛屿C在点B的北偏东57°方向上，此时长征18号艇与岛屿C相距18海里．已知岛屿D在岛屿C的正北方向上，求岛屿C，D之间的距离．（结果保留整数．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）．【分析】延长DC交AB的延长线于点E，根据题意利用锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：延长DC交AB的延长线于点E，根据题意，得∠BEC＝90°，∠ADC＝42°，∠BCE＝57°，AB＝4海里．在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝18×sin57°≈15.12（海里），∴CE＝BC⋅cos∠BCE＝18×cos57°≈9.72（海里），∴AE＝AB+BE≈19.12（海里）．在Rt△ADE中，（海里），∴CD＝DE﹣CE≈21.24﹣9.72≈12（海里）．答：岛屿C、D之间的距离约为12海里．22．（2022春•永州期末）如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和宝塔B，我区某镇准备开发桑葚基地C，经测量C位于A北偏东60°，B的北偏东30°上，且AB＝20km．（1）求宝塔B到桑葚基地C的距离．（2）为了方便游客到桑葚基地C采摘桑葚，镇里决定由C向公路l修建一条距离最短的公路，不考虑其他因数，求出这条最短公路的长．【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB＝30°，∠ABC＝120