（挑战压轴）专项1.3锐角三角函数实际应用-三角形矩形模型

（挑战压轴）专项1.3锐角三角函数实际应用三角形+矩形模型【方法技巧】已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。1．（2021秋•汉寿县期末）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD（办公楼AB与建筑物CD均垂直于地面BCF），当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物CD的墙上留下的影子CE＝2米，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（点B，F，C在同一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，）【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB于点M，则四边形BCEM为矩形，∴BM＝CE＝2米，设AB＝x米，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x米，∴BC＝BF+FC＝（x+25）米，AM＝（x﹣2）米，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，则≈，解得：x＝20，答：办公楼AB的高度为20m；（2）在Rt△AME中，cos∠AEM＝，则cos22°＝，即≈，解得：AE＝48，答：A，E之间的距离约为48米．2．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．设PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．3．（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．4．（2018•黄冈）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∴60﹣x＝20+x，∴x＝40﹣60，∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），∴CD的长为（80﹣120）米．5．（内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【解答】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，则四边形ABEH为矩形，∴AH＝BE，EH＝AB＝3（米），设DE＝x米，在Rt△CDE中，CE＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3米，∴BC＝3（米），在Rt△AHD中，DH＝DE﹣EH＝（x﹣3）米，∴AH＝＝（x﹣3），∵AH＝BE＝BC+CE，∴（x﹣3）＝3+x，解得x＝9．答：树高为9米．6．（2022•南召县模拟）某广场前有一个斜坡AB的坡比i＝1：，在坡角A点处测得商场主楼顶部H的仰角为63.5°，小明沿着斜坡行至距离A点10米的点D处测得主楼顶部H的仰角为39°．请你根据以上数据求主楼GH的高约为多少米？（精确到0.01，参考数据：≈1.7，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.44，tan63.5°≈2.00．sin39°≈0.62，cos39°≈0.78，tan39°≈0.80）【解答】解：过点D作DP⊥AC，垂足为P，过点D作DM⊥HG，垂足为M，则DP＝MG，DM＝PG，∵斜坡AB的坡比i＝1：，∴＝＝，∴∠BAC＝30°，在Rt△DPA中，AD＝10米，∴DP＝AD＝5（米），AP＝DP＝5（米），设AG＝x米，∴DM＝PG＝AP+AG＝（5+x）米，在Rt△GHA中，∠HAG＝63.5°，∴HG＝AG•tan63.5°≈2x（米），∴HM＝HG﹣MG＝（2x﹣5）米，在Rt△DMH中，∠HDM＝39°，∴tan39°＝＝≈0.8，∴x≈9.833，经检验：x＝9.833是原方程的根，∴HG＝2x≈19.67（米）∴建筑物GH的高约为19.67米．7．（2020•新昌县校级模拟）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．（1）求DM的长．（2）求旗杆AB的高度．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵CD＝2m，tan∠CMD＝，∴MD＝6m；（2）过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝xm，∴BD＝（x+6）m，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝（x）m，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2m，CE＝BD＝（x+6）m，∴AE＝AB﹣BE＝（x﹣2）m，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，经检验，x＝3+是分式方程的解，∴AB＝x＝（3+3）（m）．8．为了方便学校蓝球队晚间训练，学校操场安装了高杆灯照明（如图所示），俊强和同学们想知道高杆灯的高度，进行了如下测量工作：俊强同学在A处用自制的测倾器测得灯杆顶部D的仰角为22°，朝着灯杆向前走12米到达点B处，测得灯杆顶部D的仰角为45°，已知俊强眼睛到地面的距离为1.7米（即图中AE、BF的长），求灯杆DC的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【解答】解：连接EF并延长，交CD于点G，则