专题07隐圆培优综合专项训练

专题07隐圆培优综合专项训练例题1：（与几何综合）（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，已知正方形边长为2．点O是边的中点，点E是正方形内一个动点，且．(1)连接，求的度数；(2)连接，若，求的长度；(3)将线段绕点D逆时针旋转后，得到线段，连接，线段长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）判断出点E在以为直径，且在正方形内部的半圆上，根据直径所对的圆周角是直角可得结论；（2）由可知是半圆的切线，连接利用切线的性质进一步得出，再运用勾股定理可得结论；（3）根据证明得到，求得的最小值即可【详解】（1）∵点O为的中点，，，∴点E在以O为圆心，以1为半径的圆上，且位于正方形内部的半圆上，∴；（2）当时，切于点E，连接，如图1，∵四边形是正方形，∴，，即是的切线，∴，∵∴，∴，且平分，∴，∴，∴∴∴在中，，∴，∴；（3）∵，即∴在和中，∴最小时，最小，如图2，连接交于点，在中，，存在最小值为【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键例题2：（与二次函数综合）（2023·广东湛江·期末统考）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式．(2)如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线段于点E，求的度数．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用一次函数求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式求解即可；（2）先作出相应图形，得出，可得等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等即可求解；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解．【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，令，则，令，则，∴点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，∴抛物线解析式；（2）解：如图，

∵点B、C的坐标分别为、，∴，又∵，∴等腰直角三角形，∴，根据圆周角定理可得：；（3）解：①当点P在x轴上方时，如图，

由（2）知，∴，令，解得或，∴，∴．过点B作于点H，设，则，由抛物线的对称性可得：，，由勾股定理得：，∴，解得，∴；②当点P在x轴下方时，同理可得．综上可得，的值为16+8．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求二次函数解析式，二次函数的对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．例题3：（最值综合）（2023·广东佛山·统考一模）（1）如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则的最小值为；（2）如图2，已知矩形，点E为上方一点，连接，作于点F，点P是的内心，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据一点到圆上的距离可得当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，即可求解；（2）根据点是的内心，得出，，根据三角形内角和定理即可求解；（3）证明，结合（2）的结论，则，可得点P的运动轨迹是在上运动，且所含的圆周角为，作的外接圆，连接，，，过作，设的半径为，交的延长线于，根据圆周角定理得出，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】解：（1）当、、三点共线，且点在线段上时，有最小值，的最小值为：；故答案为：．（2）∵，∴，∴，∵点是的内心，∴，，∴，∴；（3）点是的内心，，，，，由（2）可得，，∴点P的运动轨迹是在上运动，且所含的圆周角为，如图，作的外接圆，连接，，，过作，交的延长线于，设的半径为，则的最小值为：，∵所含的圆周角为，所对的圆心角为，，又，，是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，，故的最小值为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，求一点到圆上的距离，三角形内心的性质，三角形外接圆，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．1．（2023上·广东深圳·九年级考试）【问题情境】：如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度()，点、的对应点分别为点、．

【问题解决】：(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；(2)若，如图3，得到(此时与重合)，延长交于点，①试判断四边形的形状，并说明理由；②连接，求的长；(3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．【答案】(1)(2)①正方形，见解析；②(3)【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；（2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证（），得，，则，再由勾股定理求解即可；（3）当时，与重合，'最短；当落在的延长线上时，，最长，即可得出答案．【详解】（1），，，，四边形是正方形，，，，由旋转的性质得：，；（2）①四边形是正方形，理由如下：由旋转的性质得：，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形；②过点作于点，如图所示：则，，，在和中，，，，，．

（3）直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、，点运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，当时，与重合，最短；当落在的延长线上时，，最长，线段长度的取值范围是．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键．2．（2023·广东佛山·联考）如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．(1)【初步探究】当点G落在边上时，求的长；(2)【深入探究】在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．【答案】(1)(2)在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为(3)点在射线上运动过程中，长的最大值为【分析】（1）由翻折得：，根据勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；（3）以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．【详解】（1）当点落在边上时，如图1，四边形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如图2，以为圆心，长为半径作，由翻折得：，点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，在中，，，故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；（3）如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，

，点是的中点，点为的中点，是的中位线，，则最大时，最大，

由翻折得：，点在上运动，当经过点时，最大，如图4，在中，，，，故点在射线上运动过程中，长的最大值为．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值．3.（2023·广东广州·统考）在四边形中，，；(1)如图1，已知，直接写出的度数；(2)如图2，已知，，，连接，求的长度；(3)如图3，已知，，请判断四边形的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据四边形的内角和定理求解即可；（2）将绕点B逆时针旋转得到．即得出，，，，从而可证是等边三角形，即得出．再结合（1）可得出，进而可求出，最后根据勾股定理求解即可．（3）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接．易证为等边三角形．根据，即得出当面积最大时，四边形的面积最小．又可求，结合，即说明点A在定圆上运动，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，，进而可求．在上取点F，使得，则是等腰直角三角形．设，则，即可列出关于x的等式，解出x的值，结合三角形的面积公式和等边三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到．∴，，，．∵，∴，即，∴是等边三角形，∴．∵，∴，∴，∴；（3）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接．由（2）同理可证为等边三角形，∴，∴当面积最大时，四边形的面积最小．∵，，∴，∴．∵，∴点A在定圆上运动，如图，则当O、A、B共线时，的面积最大，此时，设交于K，∴．∵，∴．在上取点F，使得，如图，则是等腰直角三角形．设，则，∴，解得：，∴．∵，∴，即四边形的面积最小值为．【点睛】本题考查四边形的内角和，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂径定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4.（2023下·广东广州·九年级广州市番禺区期中）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；①求的最小值；②求的最大值．【答案】(1)见解析(2)①，②2【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可求证，即可求证；（2）①根据题意可得，则点D在以为直径的圆上运动，连接，与相交于点D，此时最小，求解即可；②过点C作，交的延长线于点G，通过证明得出点F是中点，再根据，得出点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上，即可求解，当为直径时，取得最大值，即可求解．【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：①∵，∴，∴点D在以为直径的圆上运动，连接，与相交于点D，