专题06几何图形的翻折变换问题（原卷版）-中考数学压轴大题专项突破

专题06几何图形的翻折变换问题几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：（1）掌握轴对称的有关性质：①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴对称的性质。（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出方程进行求解。 （2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）连接，设，则，，在中，，延长交于点，在中，，进而根据，即可求解．【答案】(1)；(2)；(3)作图见解析，【详解】（1），是等边三角形，四边形是平行四边形，，，为边上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，，则，设，则，，折叠，，，，，，，，，，，在中，，，延长交于点，如图，，，，，，在中，，，．本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【详解】（1）证明：连接，如图所示：在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，由得，；（2）解：连接，过点作于，如图所示：根据折叠可知，在矩形中，，则，，即是等腰三角形，在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得，在中，，，则，在四边形中，，则四边形为矩形，，即；（3）解：延长交于，连接，过点作于，在四边形中，E为线段上的一点，，，则，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，设，，，，在中，，在中，，，，解得，经检验，x=1是方程的解用符合题意，，即．本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．1．（2022·湖北武汉·校考三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为___________（直接写出结果）2．（2022·福建宁德·统考二模）在中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形．(1)利用图1，求证：；(2)如图2，连接BD，若，，，当点落在BD上时，求EF的长；(3)如图3，当点恰好落在线段CD上时，求证：直线与直线CD重合．3．（2022·山东淄博·统考二模）在Rt△ABC中，，，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F．(1)如图1，若，请直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2)如图2，若，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若，直接写出的度数．4．（2022·四川乐山·统考一模）模型探究：如图1，D、E、F分别为三边BC、AB、AC上的点，且．（1）与相似吗？请说明理由；模型应用：为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且．（2）如图2，当点D在线段BC上时，求的值；（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求与的周长之比．5．（2022·江苏徐州·统考二模）正方形的边长为4．(1)将正方形对折，折痕为，如图①把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为，求的长；(2)如图②当时，在点由点移动到中点的过程中，求面积的取值范围．6．（2022·山西大同·统考二模）综合与实践：如图1，已知正方形纸片ABCD．实践操作第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC