专题强化训练一全等三角形中的辅助线（模型）问题（原卷版）

专题强化训练一：全等三角形中的辅助线（模型）问题题型一：连接两点做辅助线问题1．（2023春·全国·七年级）如图，已知：，，，，则（

）A． B． C．或 D．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=，则CD的长为（

）A． B． C． D．23．（2020春·四川广安·八年级四川省岳池县第一中学校考阶段练习）如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（）A．3 B．6 C．9 D．4题型二：倍线中线模型问题4．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连结，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，其理由是什么？(2)的取值范围是什么？[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．[问题解决](3)如图3，是的中线，交于点，且，试说明．5．（2022秋·山东威海·七年级统考期中）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是______．(2)求得的取值范围是______．(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．6．（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．题型三：旋转模型7．（2022春·四川雅安·七年级统考期末）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．8．（2022春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．9．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______．（2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由．（3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______．题型四：垂线模型10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，为等腰直角三角形，，．(1)求证：；(2)求证：11．（2023春·七年级课时练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）12．（2021春·七年级课时练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

题型五：其它技巧模型13．（2021春·江苏淮安·七年级统考期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形．（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论．②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．14．（2021春·山东济南·七年级统考期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形中，，，连接．①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．15．（2020春·四川成都·七年级校考期中）在中，是的中点，以为腰向外作等腰直角，即，连接，交于点，连接．如图1，若，求的度数．在的条件下，写出与三条线段之间的等量关系，并说明理由．若是钝角时，交延长线于，连接如图2所示：①探究图2中的形状，并说明理由．②若，求的面积．题型六：证明线段的和差问题16．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．（1）求∠BOC的度数．（2）求证：CF＝BE+EF．17．（2020春·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC（1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为．（2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长．（3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB．18．（2020春·山东济南·七年级统考期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，并说明理由．(2)组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、B三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α(其中α为任意锐角或钝角)．如果成立，请你给出推理过程；若不成立，请说明理由．专题训练精练一、单选题19．（2023春·七年级课时练习）中，，．若E为的中点，且，x的取值范围为（

）A． B． C． D．20．（2021春·山东枣庄·七年级统考阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（

）A．8 B．4 C．3 D．221．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（

）A．100 B．80 C．60 D．5022．（2021春·七年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（）A．100° B．120° C．135° D．150°23．（2020春·山东济南·七年级统考期末）如图，ΔABC≌ΔABC，点B在AB边上，线段AB，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠ACB的度数为(

)A．100° B．120° C．135° D．140°24．（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④25．（2019春·七年级单元测试）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（

）A．5对 B．4对 C．3对 D．2对二、解答题26．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由．27．（2021春·山东济南·七年级统考期中）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．28．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．30．（2021春·四川成都·七年级统考期末）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．31．（2022春·江西吉安·七年级统考期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．三、填空题32．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第六十九中学校考阶段练习）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．33．（2021秋·上海浦东新·七年级校考期末）如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、D