数学成长训练：平面向量的实际背景及基本概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1。下列关于向量的说法中正确的是（)A。长度相等的两向量必相等B。两向量相等，其长度不一定相等C.向量的大小与有向线段起点无关D.向量的大小与有向线段起点有关解析:长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错;两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错;向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错。答案:C2.在下列命题中，正确的是（)A.若|a|＞|b|，则a＞bB.若|a｜=|b｜,则a=bC.若a=b,则a与b共线D。若a≠b,则a一定不与b共线解析：因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此,A不正确。两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确。相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确.对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能,故D不正确。答案:C3。关于向量的说法有以下几个：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有共同终点的向量,一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段。其中，说法错误的个数是（）A。2B.3C。4解析:①说法正确；②不正确,若a、b中有一个为零向量时，其方向不确定;③正确；④不正确，终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反；⑤不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥不正确，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段.答案:C4。已知下列三个位移:飞机向南飞行50km;飞机向西飞行50km;飞机向东飞行50km.下列判断中正确的是（）A。这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等B.这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等C.这三个位移不相等，且这三个位移的长度也不相等D.以上都不正确解析：由于位移是向量，题中所给的三个位移方向均不相同，但其大小是相同的。答案:B5。四边形ABCD中,=2,则四边形ABCD为（)A.平行四边形B.矩形C。梯形D.菱形解析:∵=2，∴∥且||=2||。故四边形为梯形.答案：C6.如图2—1-7所示，C、D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有个。（）图2-1—7A。3B.6C解析：1个单位长度的向量有，，，，，6个。2个单位长度的向量有，，，4个.3个单位长度的向量有,2个.因此，共6+4+2=12个，但其中==,==,=，=，因此互不相等的向量最多只有6个.答案:B7.如图2-1—8，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段的向量是(）图2—1—8A。与B。与C.与D。与解析：本题即判断选项中的两个向量是否相等.由相等向量的概念知，只要两向量的大小、方向都相同,即可说明两向量相等.A中的与大小虽相同，但方向不一致，故A错.B中的与大小、方向都相同，故是相等向量.C中的与向量方向不相同，D中的与方向也不相同，故D、C皆错。答案:B8.设O为△ABC的外心,则、、是(）A。相等向量B。平行向量C。模相等的向量D.起点相同的向量解析:△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A、B、C三点的距离相等，即有||=|｜=｜｜。答案：C9.给出以下4个条件：①a=b；②｜a｜=|b｜;③a与b方向相反；④｜a｜=0或|b｜=0。其中能使a∥b成立的条件是______________.解析:｜a|=|b|并不能一定推出a∥b.其余选项均可以。答案:①③④10.⊙O的周长是2π，AB是⊙O的直径,C是圆周上一点,∠BAC=，CD⊥AB于D,这时｜|=______________.解析：△ABC为直角三角形,且∠BAC=30°，∠ACB=90°,AB=2。∴BC=1,AC=。∴CD=,即｜｜=.答案：11.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远？解析：如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC=2000km。又∵∠ACD=45°，CD=,∴△ACD为直角三角形，即=km,∠CAD=45°。答：丁地在甲地的东南方向，距甲地km.12.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1m,逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方向继续操作下去。（1)按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零？（2）按此法操作使赛车能回到出发点,α应满足什么条件？请写出其中两个。解析:（1)如图，操作8次赛车的位移为零；（2）要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按（1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有n(180°—α）=(n—2)180°.∴n=,n为不小于3的整数.如α=30°，则n=12,即操作12次可回到起点。又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点。走近高考13.(2005北京宣武模拟)若命题甲：“=”，命题乙：“ABCD是平行四边形”.则甲是乙的(）A.充分不必要条件B。必要不充分条件C.充要条件D。既不充分也不必要条件解析：由=得线段AB、DC长度相等且平行或共线,所以ABCD不一定是平行四边形;由ABCD是平行四边形得ABDC,所以=.答案：B14.(2004天津统考题）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若｜a｜=|b｜，则a=b;③若=，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中,一定有=；⑤若m=n,n=k,则m=k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c。其中不正确的命题的个数为()A。2B。3C解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等;但两