数学成长训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.若函数f（x）=sin（kx+)的最小正周期为，则正常数k的值为（）A。2B。3C.4解析：,∴k=3.答案:B2.已知函数y=2sinωx（ω＞0）的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为,则ω的值为（)A.3B.C.D。解析:,∴ω=3。答案：A3。图1—5-4是周期为2π的三角函数y=f(x）的图象,那么f（x)可以写成（)图1—5-4A。sin(1+x)B。sin(—1-x）C。sin（x-1）D.sin(1-x)解析:函数y=f（x）的图象过点(1，0），即f(1）=0，可排除A,B，又因为y=f（x)的图象过点（0，b），b＞0，即f(0)＞0,可排除C，故选D.答案:D4。若函数f（x）=sin(ωx+φ）的图象(部分）如图1—5—5所示，则ω和φ的取值是（)图1—5-5A。ω=1，φ=B。ω=1，φ=-C。ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:相邻关键点相差四分之一个周期，即—（—)=π,T=4π，ω==.又×+φ=+2kπ,∴φ=.答案:C5.下列四个函数中,最小正周期是π且图象关于x=对称的是()A.y=sin（+)B。y=sin(2x+）C.y=sin(2x-)D。y=sin（2x—)解析：对于A，T==4π,舍去.对于B，T==π，令2x+=kπ+,∴2x=kπ+.∴x=+(k∈Z)，舍去。对于C，T==π，令2x—=kπ+，∴2x=kπ+。∴x=+（k∈Z）,不合题意,舍去.对于D，T==π，令2x-=kπ+,∴2x=kπ+.∴x=+(k∈Z).令k=0,得x=。∴选D。答案：D6。ω是正实数,函数f（x）=2sinωx在［—，］上是增函数,那么（)A。0＜ω≤B.0＜ω≤2C。0＜ω≤D.ω≥2解析:函数的单调增区间是2kπ-≤ωx≤2kπ+,∵ω＞0,∴≤x≤(k∈Z）.由题意知∴0＜ω≤.答案:A7。已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）,在一个周期内,当x=时,取得最大值2，当x=时，取得最小值—2，那么（)A。y=sin(x+)B.y=2sin(2x+）C。y=2sin（2x+）D。y=sin（+)解析:由已知得A=2,T=2()=π，∴ω=2.又点（，2)在图象上，可验证y=2sin（2x+).答案:B8。函数y=3sin(2x+）的图象，可由函数y=sinx的图象经过下述_________变换而得到。（)A。向右平移个单位,横坐标缩小到原来的,纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的,纵坐标扩大到原来的3倍C。向右平移个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的解析:y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+）。答案：B9.函数y=2sin(—x)的单调递增区间为______________;单调递减区间为______________。解析：y=2sin（-x）=-2sin(x-).∵y=sinu(u∈R)的递增,递减区间分别为[2kπ-,2kπ+］（k∈Z）,[2kπ+,2kπ+］(k∈Z）.∴函数y=-2sin（x—)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定:2kπ+≤x—≤2kπ+(k∈Z)，2kπ—≤x-≤2kπ+(k∈Z）,得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）,2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）.∴函数y=2sin(-x)的单调递增区间，单调递减区间分别为[2kπ+,2kπ+］(k∈Z)，[2kπ—，2kπ+](k∈Z).答案：［2kπ+,2kπ+］（k∈Z）[2kπ-，2kπ+］（k∈Z)10。关于函数f（x）=4sin（2x+）(x∈R）有以下命题：①由f（x1)=f(x2）=0有x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x）的表达式可改写为y=4cos（2x-)；③y=f（x）的图象关于点（—，0)对称；④y=f(x）的图象关于直线x=—对称。其中正确的命题是___________。解析:对于①，f(x1)=4sin（2x1+）=0,f(x2)=4sin（2x2+)=0，∴2x1+=k1π，2x2+=k2π.∴x1=，x2=.∴x1-x2=(k1π--k2π+）=。k1-k2不一定为偶数,∴x1-x2不一定为π的整数倍.∴①错误.对于②,y=4sin（2x+）=4cos(—2x—)=4cos（—2x）=4cos(2x—)，∴②正确.对于③,令2x+=kπ，∴2x=kπ-.∴x=—.令k=0,∴一个对称中心为(—，0）,③正确.对于④,令2x+=kπ+，∴2x=kπ+.∴x=，故④错误.故选②③.答案:②③11.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0,|φ｜＜)的图象的一个最高点为（2，),由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6,0)，试求这个函数的解析式.解：已知函数最高点为(2,），所以A=.又由题意知从最高点到相邻最低点时与x轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为个周期长度,所以=6—2=4，即T=16。所以ω=。所以y=sin(x+φ).将点(6，0)的坐标代入,有sin(×6+φ）=0.所以sin(+φ)=0。又因为|φ｜＜,所以φ=.所以函数的解析式为y=sin（x+).12。已知函数f（x)=sin（ωx+φ）(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称,且在区间［0,］上是单调函数,求φ和ω的值。解:由f(x）是偶函数，得f(—x）=f（x)，即sin(—ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以—cosφsinωx=cosφsinωx,对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0.依题设0≤φ≤π，所以解得φ=.由f（x）的图象关于点M对称得f(-x)=—f（+x）,取x=0,得f()=sin(+）=cos,∴cos=0。又ω＞0,得=+kπ，k=1,2，3，…，∴ω=(2k+1)，k=0，1，2，…当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+）在［0，］上是减函数；当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数;当k≥0时，ω=,f（x)=sin（ωx+）在［0，］上不是单调函数.所以综合得ω=或ω=2.走近高考13.(2006江苏高考,4)为了得到函数y=2sin（+），x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B。向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解析：将y=2sinx的图象向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),可得y=2sin（+)的图象。答案:C14.(2006四川高考,5）下列函数中,图象的一部分如图1—5-6所示的是（）图1-5—6A.y=sin(x+)B。y=sin(2x—)C。y=cos(4x-）D.y=cos（2x-)解析：T=4(+）=π，则ω=2，否定A，C；又过(,1),则否定B.答案:D15.(20