数学层级训练：+二次函数的性质与图象待定系数法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2。2二次函数的性质与图象～2．2.3待定系数法知识点一:二次函数的概念及作图1．函数y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是关于x的二次函数，则t的值为A．3B．0C．0或32．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是A．(2，－2)B．（1,－2）C．(1,－3)D．(－1，－3）3．已知a≠0，b〈0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图象中，可以成立的是4．下列四个函数中:A．y＝x2－3x＋2B．y＝5－x2C．y＝－x2＋2xD．y＝x2－4x＋4（1)图象经过坐标原点的函数是__________;(2)图象的顶点在x轴上的函数是__________；（3)图象的顶点在y轴上的函数是__________．知识点二：二次函数的性质5．若f(x）＝－x2＋2ax在区间［0,1]上是增函数,在区间[2,3］上是减函数，则实数a的取值范围是A．［1，2]B．［－1,0］C．[0，3]D．［0,1］6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0，1］,若f（x）有最小值－2，则f（x)的最大值为A．－1B．0C．17．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，则实数m的取值范围是__________．8．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点的坐标是（1,4），则另一点的坐标为__________．9．求函数y＝－3x2＋5x－6的对称轴和顶点坐标，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？知识点三:待定系数法10．已知f(x)＝x2，g(x)是一次函数,且是增函数，若f［g（x)］＝4x2－20x＋25，则g（x）＝__________。11．已知一个二次函数y＝f（x），f(0)＝3，又知当x＝－3或－5时，这个函数的值都为零,则这个二次函数的解析式为__________．12．已知二次函数满足f（3x＋1)＝9x2－6x＋5,求f(x）的解析式．能力点一:二次函数图象及性质的应用13．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞,2]时是减函数，则f（1)等于A．－3B．3C．714．如图所示，坐标系中抛物线是函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是A．abc>0B．b〈a＋cC．a＋b＋c<0D．2c〈3b15．若f(x)＝(m－1）x2＋（m2－1）x＋1是一个偶函数，则f(x)在（－∞，0]上是A．增函数B．常数函数C．减函数D．可能是增函数，也可能是常数函数16．函数f（x)＝eq\f（1,1－x1－x)的最大值是__________．17．已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.（1）求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；(2）求函数的最小值；(3)已知f（－eq\f（2,3））＝1，不计算函数值，求f(0)；(4)不直接计算函数值，试比较f（－eq\f(3,4））与f(eq\f(15,4)）的大小．18。已知函数f（x）＝x2＋2(a＋1)x＋2，x∈[－2，3］．（1）当a＝－2时，求函数f(x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f(x）在区间[－2，3]上是单调函数．能力点二：二次函数的实际应用19．如图,一个运动员推铅球,铅球刚出手时离地面1eq\f（2,3)m，铅球落地点距铅球刚出手时的水平距离为10m，铅球运动的最高点M距地面3m．已知铅球的运动轨迹是抛物线,求这个抛物线的解析式．20．如图是一座抛物线型拱桥横截面图，桥下面正常水位AB宽20m，水位上升3m时就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。(1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；（2)若洪水到来时，水速以0.2m/h的速度上升，从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱顶?能力点三：待定系数法的综合应用21．函数y＝kx＋b的图象经过P(3，－2)和Q(－1,2）两点,则这个函数的解析式为A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝－x－1D．y＝－x＋122．下图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则该函数的解析式为__________．23．函数y＝f（x)(－1≤x≤1)是奇函数．已知y＝f(x）在［0,1]上是一次函数，在［1,4]上是二次函数，在x＝2时函数取得最小值，最小值为－5，且f（1)＋f(4)＝0.试求y＝f（x)，x∈[－1，4]的解析式．答案与解析基础巩固1．B2．Dy＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，∴顶点为（－1，－3）．3．C4．(1)C(2)D(3）B5．A由题意，知1≤eq\f（2a，2×－1)≤2，∴1≤a≤2.6．C∵f(x)＝－（x－2）2＋a＋4，∴f（x）图象的对称轴为x＝2。∴f（x)在［0，1]上单调递增．∵f(x）min＝－2，即f(0)＝－2，即a＝－2，∴f（x）max＝f(1）＝1。7．m>eq\f(9,2）8．（－eq\f(1，4)，eq\f(1，4)）9．解：∵y＝－3x2＋5x－6＝－3(x－eq\f(5,6))2－eq\f(47，12),∴函数图象的对称轴是x＝eq\f（5,6）,顶点是（eq\f（5,6)，－eq\f（47,12）），在(－∞，eq\f(5，6）］上是增函数，在［eq\f(5，6)，＋∞)上是减函数．10．2x－5设g(x）＝kx＋b(k>0），f［g(x）]＝f(kx＋b)＝（kx＋b）2＝k2x2＋2kbx＋b2＝4x2－20x＋25，比较两边系数得k＝2,b＝－5,所以g（x)＝2x－5。11．y＝eq\f(1，5)x2＋eq\f（8，5）x＋312．解：设f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b（3x＋1）＋c＝9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c。∴9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5。比较两边系数，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（9a＝9，6a＋3b＝－6,a＋b＋c＝5))eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－4，,c＝8.））∴f（x）＝x2－4x＋8。能力提升13．A由题意，知－eq\f（－m，2×2）＝2,∴m＝8。∴f（1）＝2×12－8×1＋3＝－3.14．D15．D由f(－x）＝f（x)，得m2－1＝0，∴m＝±1.故f(x)＝1或f(x）＝－2x2＋1.∴选D.16.eq\f(4，3)∵f(x)＝eq\f（1，1－x1－x)＝eq\f(1,x2－x＋1）＝eq\f(1，x－\f(1,2)2＋\f(3,4）），∴f（x)≤eq\f（4,3），即f(x）有最大值eq\f(4,3）。17．解：y＝f（x)＝3x2＋2x＋1＝3(x＋eq\f（1,3））2＋eq\f(2,3）。（1）顶点坐标为(－eq\f（1,3），eq\f（2,3）)，对称轴是直线x＝－eq\f（1,3).(2）当x＝－eq\f(1，3)时，ymin＝eq\f（2，3）。（3）∵函数图象关于直线x＝－eq\f(1,3）对称,∴f(－eq\f(1，3）－x）＝f(－eq\f（1，3)＋x）．∴f（0)＝f(－eq\f（1,3）＋eq\f（1，3））＝f(－eq\f（1,3）－eq\f(1，3））＝f(－eq\f（2，3))＝1.(4)∵f(－eq\f(3，4））＝f（－eq\f（1，3）－eq\f（5,12）)＝f(－eq\f(1,3）＋eq\f(5,12)）＝f（eq\f（1，12）)，而函数在［－eq\f(1,3），＋∞)上是增函数，eq\f(1,12)<eq\f（15，4），∴f（eq\f(1,12)）〈f（eq\f（15,4)），即f（－eq\f(3，4)）<f(eq\f（15，4）)．18．解：（1)当a＝－2时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1)2＋1,∴f(x)的图象的对称轴是x＝1.∴f(x）在[－2,1］上递减，在(1，3］上递增．∴当x＝1时，ymin＝1.∵f（－2）＝10，f(3）＝5，∴f（－2)>f(3）>f(1）．∴当x＝－2时，ymax＝10.（2）∵f（x)＝[x＋(a＋1）]2＋2－(a＋1）2,∴函数f（x)的图象对称轴为x＝－(a＋1)．当f（x)在［－2，3］上单调递减时,有－（a＋1）≥3,即a≤－4;当f(x）在［－2，3］上单调递增时，有－（a＋1)≤－2，即a≥1。综上所述，当a≤－4或a≥1时，函数f（x）在［－2,3］上是单调函数．19．解:解法一：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c.则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（c＝1\f（2，3）,，100a＋10b＋c＝0，,\f(4ac－b2,4a）＝3，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－\f（1,12)，，b＝\f（2,3）,，c＝\f（5,3）。）)∴y＝－eq\f(1，12）x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f（5，3)。解法二:设抛物线解析式为y＝a（x－h)2＋3.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1\f（2,3）＝ah2＋3，,0＝a10－h2＋3,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1，12)，，h＝4.))∴y＝－eq\f（1,12）（x－4)2＋3,即y＝－eq\f(1，12)x2＋eq\f（2,3）x＋eq\f(5，3）。20．解：（1)∵CD＝10，∴DF＝eq\f（1,2)CD＝5.AB＝20,BE＝eq\f(1，2)AB＝10。设抛物线方程为y＝ax2,则D(5，y0）．∴B的坐标为（10，y0－3）．又∵点D、B都在抛物线y＝ax2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝25a，,y0－3＝100a。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－\f（1，25），，y0＝－1.)）∴抛物线解析式为y＝－eq\f(1，25)x2。(2)∵点D的坐标为(5，－1)，∴警戒线到拱桥顶的距离为1m。∴水面从警戒线到拱顶用的时间为eq\f（1，0。2)＝5（h）．答：若洪水到来时，水面以0.2m/h的速度上升，再持续5个小时，才能到达拱桥顶．21．D由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3k＋b＝－2，,－k＋b＝2，))解得k＝－1，b＝1。22．y＝eq\f(2，3)x2－eq\f(4,3）x－2设二次函数为y＝a（x＋1)（x－3），由于点（0，－2）在图象上，∴－2＝a(0＋1）(0－3)．解得a＝eq\f(2，3).∴y＝eq\f（2,3)（x＋1）(x－3）＝eq\f（2，3）x2－eq\f(4，3)x－2。拓展探究23．解：当x∈[1，4]时,由题意,可设f（x)＝a(x－2)2－5(a〉0）,由f（1）＋f(4）＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，解得a＝2.∴f(x)＝2(x－2)2－5（1≤x≤