实际问题与一元二次方程（销售问题、图表问题、动点问题）（教学设计）-九年级数学上册同步备课系列

21.3实际问题与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3实际问题与一元二次方程第3课时，内容包括：利用一元二次方程解决销售问题、图表问题和动点问题。2.内容解析本节课学习如何利用一元二次方程解决销售问题、图表问题和动点问题。与销售问题有关的题目中通常会出现“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”。销售问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润。该类问题的等量关系式一般是：单件利润×销售量=总利润。销售问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息。图表信息问题是近几年中考的热点题型，解决图表信息题的关键是：准确理解图表所提供的信息。以图表形式给出条件，列一元二次方程解决现实生活中的相关问题是此类考题的一个重要方面。想要解决动点问题，首先要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。二、目标和目标解析1.目标1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。2）通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。2.目标解析达成目标1)的标志是：通过审题，根据“销售问题”中每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润从而根据等量关系构建一元二次方程。根据“图表问题”中图表所提供的信息构建一元二次方程。根据“动点问题”中图形的变化过程构建一元二次方程。找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。三、教学问题诊断分析九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“销售问题”的困难是：根据每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润从而根据等量关系构建一元二次方程，再结合题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句选择合适的答案。学生解决“图表问题”的困难是：准确理解图表所提供的信息。学生解决“动点问题”的困难是：搞清楚图形的变化过程。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。四、教学过程设计（一）复习旧知，引入新课【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?师生活动：教师提问，学生回答。【设计意图】先回顾列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决销售问题、图表问题、动点问题做好铺垫。（二）探究新知【问题】九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他每卖1斤黄瓜可以赚到元；2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是元。3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得_____________元。师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。【提问】根据上述问题，你能售价、进价、利润、支出之间存在的关系吗?1）单件售价-单件进价=单件利润2）单件利润×销量=总利润3）总利润-支出=实际利润（或：销售总额-成本总额-支出=实际利润)师：你们知道与销售问题有关的其它等量关系吗？师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师负责引导与补充，最后给出其它等量关系：4）利润率=商品利润商品进价5）商品售价=标价×折扣数6）商品售价=商品进价×(1+利润率)【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系，以及与销售问题有关的其它等量关系，为接下来学习利用一元二次方程解决销售问题打好基础。【问题】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问1】如果设衬衫单价应降x元，根据题目信息补充表格答案：【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示降价后衬衫的单件利润和销量。因此在此设问，以帮助学生理解。【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?师生活动：学生独立思考，给出答案。等量关系:单件利润（降价后）设衬衫单价应降x元由题意得(40-x)(20+2x)=1200解方程得x1=20，x2=10（舍去）答：衬衫的单价降了20元【提问3】站在商家角度你觉得如何降价合适？为了尽快减小库存，所以降价幅度越大越好，因此x=20【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。【问题】某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元，应按每件多少元出售？师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问1】如果设应按每件x元出售，根据题目信息补充表格答案：【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示提价后服装的单件利润和销量。因此在此设问，以帮助学生理解。【提问2】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?师生活动：学生独立思考，给出答案。等量关系:单件利润（提价后）设应按每件x元出售由题意得（x-50）[800-20（x-60）]=12000解方程得x1=70，x2=80当x=70时，50×（800-20×

10）=30000>24000舍去当x=80时，50×（800-20×

20）=20000<24000答：应按每件80元出售，进货数量400件【易错点】忽略了题干中给出的进货成本不超过24000元的条件。【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。【问题】如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面问题？请你试一试。师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问3】如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？师生活动：学生独立思考，给出答案。设提价x元由题意得(10+x)(800-20x)=12000解方程得x1=10，x2=20当x=10时，50×（800-20×

10）=30000>24000舍去当x=20时，50×（800-20×

20）=20000<24000当x=20时,60+x=60+20=80元答：应按每件80元出售，进货数量400件【设计意图】通过换一种设未知数的方法，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。（三）典例分析例1某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设该产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值。【解析】解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5，答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。[针对训练]1．李华网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售20副，每个盈利40元，若每副降价1元，则每天可多销售5副.如果每天要盈利1700元，每副应降价______元(要求每个降价幅度不超过15元)【详解】解：设每副羽毛球拍降价x元，由题意得：（40-x）（20+5x）=1700，整理得：x2-36x+180=0，解方程得：x1=6，x2=30，因为每副降价幅度不超过15元，所以x=6符合题意，故答案是：6．2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：1）每千克核桃应降价多少元？2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【详解】解：1）设每千克核桃应降价x元根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.2）由1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54答：该店应按原售价的九折出售．【设计意图】检测“销售问题”的掌握情况。（四）探究新知【问题】某公司组织一批员工到龙湾风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问1】公司支付给旅行社28000元，说明了什么？参加这次旅游人数大于30人【提问2】设参加旅游人数共有x人，你用含x的代数式表示人均收费吗？[800-10（x-30）]元【设计意图】学生解题的难点就是如何用x表示人均消费。因此在此设问，以帮助学生理解。【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?师生活动：学生独立思考，给出答案。等量关系:参加旅游人数×人均消费=支付总额解：设参加旅游人数共有x人，∵800×30=24000<28000，∴参加人数x>30,根据题意，得x×[800-10（x-30）]=28000.整理，得x解得，x1=40，x2=70当x=40时，[800-10（x-30）]=800-10（40-30）=700>500当x=70时，[800-10（x-30）]=800-10（70-30）=400<500（不符合题意，舍去）答：参加人数共有40人【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。【问题】为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨x1001）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费元（用含x的式子表示）．2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表数据，求该x吨是多少？【详解】解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费x100（2）根据表格提供的数据，可以知道x≥50，根据9月份用水情况可以列出方程：10+x解得，x1=60，x2=25因为x≥50，所以x=60答：该水厂规定的x吨是60吨．师生活动：学生独立思考，给出答案。师生活动：学生独立思考，给出答案。（五）典例分析例2某市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?【详解】由题意，可列出方程N+整理得N2—29.1N+191=0．解方程得N1=10，N2=19.1（不合题意舍去）答：起步价是10元．师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。[针对训练]某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：【解析】设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司参加这次旅游的员工有40人．【设计意图】检测“图表问题”的掌握情况。（六）新知讲解【问题】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：【提问1】设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度如何用含x的代数式表示？AP、PB、BQ、QC的长度分别为x、6-x、2x、12-2x【提问2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积如何用含x的代数式表示。设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则S△APD=12×S△PBQ=12×2x×(6【设计意图】学生解题的难点就是如何先用含未知数的式子表示AP、PB、BQ、QC的长度，再通过含未知数的式子表示Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积。因此在此设问，以帮助学生理解。【提问3】你能解决这个问题吗？设xs后△DPQ的面积等于28cm2，根据题意得：12×x解这个方程得，xx1=2，x2=4答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2【设计意图】让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。（七）典例分析例3如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？【解析】设经过xs时间P、Q两点之间的距离是10cm。由题意得16解方程得x1=1.6，x2=4.8答：1.6s或4.8s后P、Q距离是10cm师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。[针对训练]如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？【解析】1）x=2时，由运动可知AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，∴四边形ABCD是矩形，∴QE＝AD＝6，∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=PE∴当x＝2s时，P，Q两点的距离为62cm；2）x=4时，由运动知AP′＝3×4＝12cm，CQ′＝2×4＝8cm，∴四边形ABCD是矩形，∴P′E＝AD＝6P′B=CE=AB-AP′=16-12=4∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，根据勾股定理得P′Q′=P'E∴当x＝4s时，P，Q两点的距离为213【设计意图】检测“动点问题”的掌握情况。（八）直击中考1．（2021·山东日照真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【详解】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：110=k+b130=3k+b，解得：k=10b=100，故函数的表达式为：（2）由题意得：（10x+100）（55-x-35）=1760，整理，得x2解得x1=12，x2答：这种消毒液每桶实际售价43元．2．（2018·江苏盐城真题）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商