专题02 勾股定理中的翻折模型（解析版）

专题02.勾股定理中的翻折模型翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。【知识储备】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。模型1.折痕过对角线模型【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【详解】解：∵，，∴AD=，，由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．例2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；（2）直接根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；（2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键．例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为.【答案】（0，）．【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．模型2.折痕过一顶点模型【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期末）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使的对应点落在对角线上，折痕为，则的长为______．【答案】.【分析】先利用勾股定理求出BD，设AF=EF=x，则由折叠的性质有BF=4-x，BE=2，在Rt△BEF中，由FB2=EF2+BE2，列出方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=，∵△DFE是由△DFA翻折得到，∴DE=AD=3，BE=2，设AF=EF=x，在Rt△BEF中，∵FB2=EF2+BE2，∴（4-x）2=x2+22，∴x=，∴AF=，故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，利用法则不变性，设未知数列方程是解题的关键，是中考常考题型．例2．（2022·山东德州·八年级统考期末）如图将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上F处，已知，，则______．【答案】【分析】根据折叠的性质，，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据折叠的性质，，在中，由勾股定理得：，故答案是：．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．例3．（2023春·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______．【答案】【分析】连接，根据翻折的性质，矩形的性质和是的中点，可得：，，，，可证，得；再根据，，可得，，可求出，再根据勾股定理可求出的长．【详解】解：连接，则在矩形中，根据翻折的性质和是的中点，可得：，，，，在与中，∴；∴，∵，，∴，∴∴，在中，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键．例4．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据翻折变换的性质得出△BCF≌△BEF和△ADG≌△AEG，从而证出A、E、F以及B、E、G共线，设CF=x，再根据勾股定理得出FG，继而得出的值．【详解】解：矩形中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG，∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG；在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE，∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE+∠EGF=90°，∴∠FEG=90°，∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°，∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x∴∴∴；故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，四边形的内角和，得到∠FEG=90°是解题的关键例5．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时.【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;（2）同样根据轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;【详解】解：（1）由题意可得,∴设,则在中,∴重叠的面积（2）由题意可得∴

在中∵∴∴在中解得：此时∴当时，点恰好落在边上这时.【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.模型3.折痕任意两点模型【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。例1．（2022春·河南驻马店·八年级校考期中）如图，在长方形纸片中，，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是．【答案】或7【分析】根据题意，分及两种情况进行讨论求解．其中，当时，，，三点共线，由矩形性质及已知条件，有，，在中，运用勾股定理求得的长，再根据翻折性质，在中，运用勾股定理求得FD的长；当，运用翻折性质，证得是等腰直角三角形，再运用矩形性质，求得FD的长．【详解】解：分两种情况进行讨论，①当时，∵矩形中，沿所在直线翻折，得到，∴，∴，，三点共线．∵矩形，，∴．∵，点E是的中点，∴．∴在中，．∵沿所在直线翻折，得到，，∴，∴．设，则，∵，∴，∵，∴在中，，即，解得，∴．②当时，∵，∴．∴沿所在直线翻折，得到，∴．∵矩形，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∵，点E是的中点，∴，∵矩形，，∴，∴．综上所述，的长为或7．【点睛】本题考查了矩形的翻折问题，熟练运用翻折性质、勾股定理，是解题的关键．例2．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．【答案】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵是的中点，，，∴，由折叠的性质知：，设，则，在中，根据勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案为：【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．例3．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．【答案】【分析】根据长方形得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，,如图所示：∵将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，∴A'D，，∴，，，∴，∴，，∴，解得，∴，∴过作于H，∴，∴AA'E的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．例4．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为_______【答案】4【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x，由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4．【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．例5．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【详解】解：如图，连接，则有四边形，四边形相当于四边形沿边对折得到．已知，，则，，在中，，则，设，则，，在中，，即，解得，故答案为：．【点睛】考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。例1．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．(1)的长为．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．【答案】(1)20(2)6【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长；（2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出．【详解】（1）解：∵

∴∵，∴故答案为：；（2）根据折叠可得：，

则，设，则，∵∴

解得：，

∴【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，∴，设，则，，在中，，即，解得：即的长为，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为．【答案】/【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出．【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键．模型5.过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．例2．（2023春·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．【详解】如图所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y，根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．例3．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______【答案】【分析】连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且G为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示，由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴，∵D为中点，∴，∴，∵，即，∴，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，则和，，在中，，当时，，解得：，当时，，解得：，故选D．【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．【答案】【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．模型7其他三角形翻折模型例1．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．【答案】2【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．例2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）当时，如图2，此时点与点重合，由折叠得：，则，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．例3．（2023春·北京·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，∵AB＝BC＝5，∴，在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，解得：AG＝3，在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，设点E到BC的距离为d，解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C．【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．例4．（2023·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是．【答案】/1.75【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，勾股定理列出方程即可求得的长，进而求得BD的长．【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，,设，则，在中，即解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．例5．（2023秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则．【答案】1【分析】连接BE，由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE=4-AE，然后利用勾股定理即可得解．【详解】解：如下图，连接BE，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG，∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．例6．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为．【答案】【分析】首先证明是等腰直角三角形，利用面积法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，根据勾股定理得：，，，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出、是解决问题的关键．课后专项训练1．（2023·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点为边的中点，∴CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故选择：C．【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可．【详解】过点E作于点M，∴，在直角三角形，，，，∴，∵把沿着翻折，得到，∴，∴，∴，即，解得，∴,，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．3．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为（

）A．4.8 B．4.6 C．5 D．4.5【答案】A【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是长方形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：，即，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选A．【点睛】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和长方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】作于，则，由四边形为矩形，得，由折叠的性质及等量代换得，设，则，由勾股定理解得，所以，，根据矩形的判定可证四边形是矩形，可得出，在由勾股定理得即可计算出．【详解】解：如图，作于，则，四边形为矩形，，，，，，矩形沿折叠，使点与点重合，，，，，，设，则，在中，，，解得：，，，，，四边形是矩形，，，，在中，，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．5．（2023·广东·八年级期末）如图，在矩形中，，，先将矩形沿着直线翻折，使点落在边上的点处，再将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，则线段的长为()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质，设，，由勾股定理计算出，进而得到，在中，根据勾股定理得，故可求解．【详解】解：由翻折得，．∵四边形是矩形，∴，．在中，根据勾股定理，得，∴．设，则，由翻折得，，，在中，由勾股定理，得．∴．解得．故选A．【点睛】此题主要考查矩形与折叠，解题的关键是熟知折叠的性质、勾股定理的应用．6．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：EC==，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．7．（2023·甘肃庆阳·九年级校考阶段练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC的处，若，，，则四边形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质结合矩形的性质得到，，，利用勾股定理求得，过作⊥于，设，在中，再利用勾股定理列式求得，根据梯形面积公式即可求解．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，根据折叠的性质，得：，，，，，，在中，，，∴，∴，过作⊥于，则，设，则，，在中，，即，解得：，即，∴四边形的面积是，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，梯形的面积公式，解本题的关键是利用勾股定理分别求出，的长．8．（2023·山东济南·七年级期末）如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．【答案】【分析】根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，∴，又∵，，，∴，∵在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键．9．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．【答案】【分析】与交于点F，设，则，据勾股定理得出，，再由翻折的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：与交于点F，设，则，∵，，，，∴即，解得：，∴，∴，∵将沿翻折后得到，∴，，∴，设，则，∴即，解得：线段的长为故答案为：【点睛】本题考翻折变换，勾股定理知识，解题关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型．10．（2023春·北京东城·八年级校考期中）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．【答案】5【分析】设，由，利用勾股定理可得的长，在中，利用勾股定理列式，即可解得，据此即可求解．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，设，则，∵，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为．【答案】6【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案．【详解】解：由翻折得，，在长方形中，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：6．【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为；（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为．【答案】8【分析】（1）过F点作FM⊥AB于M点，易证明四边形AMFD是矩形，即有AD=FM，DF=AM，根据∠CAB=30°，AB=12，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，即，则，根据翻折的性质有，即可得∠MFE=∠CAB=30°，则在Rt△MFE中，得，问题得解；（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，根据折叠的性质，可求出AM=AE-ME=5-4=1，即DF=AM=1，，在和中，利用勾股定理有，，即有，可得到，进而可得，在中利用勾股定理即可求解．【详解】解：（1）过F点作FM⊥AB于M点，如图，在长方形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠DAB=∠D=90°，∵FM⊥AB，∴∠FMA=∠FME=90°，∴四边形AMFD是矩形，∴AD=FM，DF=AM，∵∠CAB=30°，AB=12，∴在Rt△ABC中，有2BC=AC，即，得，解得，，即，∴，根据翻折的性质有，∴∠MFE+∠FEM=90°，∠CAB+∠AEF=90°，

∴∠MFE=∠CAB=30°，∴在Rt△MFE中，有2ME=EF，即，得，解得EF=8，即ME=4，故答案为：8．（2）连接HF、HE，AC、EF交于N点，如图，根据翻折的性质有，，，，，，∵ME=4，AE=5，∴AM=AE-ME=5-4=1，∴DF=AM=1，∴，，，∴，根据折叠的性质有：GH垂直平分EF，

∴FG=GE=EF=4，∵在和中，利用勾股定理有，，∴，解得，∴，∵在中，，故答案为：．【点睛】本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理以及含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理，学会利用参数构建方程解决问题．13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为．【答案】【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长．【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，∵点F为AD的中点，AD＝BC＝，∴AF＝DF＝，∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D，∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝，∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求C'H的长是本题的关键．14．（2022·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是AB边上的动点（不与点A，B重合），连接CE，将沿直线CE翻折得到，连接．当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为．【答案】或【分析】分以下两种情况进行讨论．①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时；②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，根据折叠性质及勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，．由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．①当点恰好是AD的三等分点且靠近A点时，如图1所示．又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，∴．∴．∴．②当点恰好是AD的三等分点且靠近D点时，如图2所示．又∵，∴，．由折叠的性质，可知，，∴．∴．∴．综上所述，当点落在边AD上，且点恰好是AD的三等分点时，的周长为或．故答案为：或【点睛】本题考查矩形及其折叠问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形性质和折叠的性质，对点位置进行分情况讨论．15．（2023春·重庆南岸·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，AD=2，则EO的值为．【答案】【分析】过点作的垂线段，交于点，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长．【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点，，，为等腰直角三角形，,，，设，则根据翻折，，在中，，可得方程，解得：，将△BEF沿着EF翻折，使得B点落在AC边上的D处，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据勾股定理列方程求解问题，翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．16．（2023·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．【答案】【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解再证明从而求解于是可得答案.【详解】解：长方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.17．（2023·四川达州·八年级校考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为【答案】4cm【分析】根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长．【详解】解：∵，，∴，由题意得，，∴．设，则，在中，根据勾股定理得，即，解得，即长为．【点睛】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的．18．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为．【答案】3.4【分析】由折叠的性质得，设，后在中，由勾股定理得出方程，求出x即可．【详解】解：由折叠的性质得：，设，在中，由勾股定理得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．19．（2023春·湖南长沙·八年级校考期中）如图、将长方形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求图中的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）根据矩形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，进而得到可得到结论；（2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形是长方形即矩形，∴，∴，∵将长方形沿对角线翻折，点落在点处，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，∴，，设，则：，在中，即，解得：，∴，∴．∴图中的面积为．【点睛】本题考查翻折变换—折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形面积的计算．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．21．（2022秋·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根据题意得：，∴；(2)解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设，则，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②联立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．22．（2023秋·山东济南·九年级统考开学考试）在学完矩形的性质后，老师组织同学们利用矩形的折叠开展数学活动．小亮发现矩形折叠后，会出现全等的图形；小颖发现矩形折叠后会得到直角三角形，请利用同学们的发现解决下列问题．(1)如图1，矩形，，，将延对角线翻折得到，点的对应点为点，与交于点，则有______，，且，易得______；(2)在（1）的条件下，若要求线段的长度，令，则______(用x表示)，在中利用勾股定理列出方程