专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（解析版）

专题11特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。模型1、运动轨迹为直线1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。例1．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______．【答案】/度【分析】如图1所示，延长交的延长线于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求，可得，即可求出；如图2所示，连接，过点作于，由，知点在直线上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为．【详解】解：如图1所示，延长交的延长线于点，点是的中点，，四边形是正方形，，，，，，又，，绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，，；如图2所示，连接，过点作于，，点在直线上运动，当时，有最小值，最小值为的长度，，，，即有最小值为，故答案为：，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．例2．（2023·四川内江·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________．【答案】【分析】据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，，当点F与点E重合时，点P在处，，∴且．当点F在上除点C、E处的位置时，有．由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段，∴当时，取得最小值．∵矩形中，，E为的中点，∴为等腰直角三角形，．∴．∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长．在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：．【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．例3．（2023·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．【答案】【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，，，，，，∴GT//AB∵BG//AT四边形是平行四边形，，，∴在中，∴，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故选B．【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．例5．（2023·江苏宿迁·校考期中）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．【答案】【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到，从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形，则.故答案为．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．例6．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．

【答案】【分析】根据垂线段最短，得当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，证明四边形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，∴，

∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，即，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．例7．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．【答案】【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位线定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．【详解】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC∴∠MAC=∠MCA=30°∴∠ACD=90°∴AC=2在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30°∴AN=AC=∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长∵AG的最大值为2，最小值为∴EF的最大值为，最小值为∴EF的最大值与最小值的差为-=．故答案为．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键．例8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为___________．若菱形的边长为，，则的最小值为___________．（用含的式子表示）【答案】矩形/【分析】根据菱形的性质即可得到，根据，即可得到，根据矩形的判定方法即可判断出四边形是矩形；根据菱形的边长为，即可求出，，的长度，根据四边形是矩形即可得到，即可判断出当时，取得最小值，也取得最小值，根据三角形的面积计算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．【详解】解：如图，连接∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形；∵菱形的边长为，，∴，，∴是等边三角形．∴，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，∴，∴的最小值为，故答案为：矩形，．【点睛】本题考查矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．课后专项训练1．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（

）

A． B．5 C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题．【详解】解：如图，连接，

，且，，，，，，四边形是矩形，，，当时，的值最小，此时，，，的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．2．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：连接，作于点H．

∵点，分别是，边上的动点，∴是的中位线，∴，∴当最小，即点E与点H重合时的值最小．设，则，∵，∴，∴，∴的最小值为4.8．故选D．3．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接，于点，于点，，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，由勾股定理得：，当时，最小，则最小，此时，，即，，的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．4．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一动点，连接，点分别是的中点，连接，则的最小值是_________．【答案】【分析】连接交于点，连接易证得，得到点G为的中点，所以是中位线，可得到，求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，然后在中，借助三角函数计算即可．【详解】解：如图，连接交于点，连接，过点作于点N，∵点为中点，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴点G为的中点，∵点H为的中点，∴是中位线，∴，∴求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，即最小值=，∵是的中点，∴，∵∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查动点最值，根据条件做出辅助线，利用中位线转化所求线段，然后借助点到线距离垂线段最短计算即可．5．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为

【答案】【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，首先证明，推出点G在射线上运动，进而得到当时，的值最小，，求出的长即可得到答案．【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，

∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．6．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点的运动轨迹，取中点H，连接，交于点O，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点O为的中点，有为点P的运动轨迹，则求得当点F与点E重合时最小．【详解】解：取中点H，连接，交于点O，如图，∵四边形为矩形，∴，，，∵点E为中点，点H为中点，∴，，∴四边形为矩形，，∵点O为的中点，∴为点P的运动轨迹，∵在直线上运动，∴当点F与点E重合时最小为，故答案为：．7．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为．【答案】【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当时，最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于O，如图，当时，最短，∵平行四边形∴，，∴此时，最短，∵，∴∴故答案为：．8．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为．【答案】8【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，在与中，，，，正方形中，，是边上的中点，，，，，，线段的最小值为8，故答案为：8．【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．9．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．【答案】【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，是等腰直角三角形,在射线上运动，则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．10．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____．【答案】【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴，∵，∴．根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．11．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．【答案】【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，是等腰直角三角形,在射线上运动，则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．12．（2023·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为.

【答案】【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为．

【答案】6【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可．【详解】解：如图，连接，

因为等边，矩形，所以，所以，所以，所以，所以平分，因为是定角，所以的角平分线是唯一确定的射线，所以点O在定直线上，所以，过点B作于点E，因为，所以，故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为．

【答案】【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值．【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，

∵正方形的边长是8，∴，，，∵点G是线段的中点，∴，∴三点共线，∴点G的运动轨迹是线段，∵，∴当点G和点H重合时，线段值最小，∴，∴，即线段的最小值为．【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三