专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（原卷版）

专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（

）A． B． C． D．例2．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例3．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：；[尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长；[拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为．例4．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值；②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．

例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．例7．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？课后专项训练1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（

）

A．12 B．13 C．14 D．152．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（

）A．B．若点D是AB的中点，则C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时，D．若，则3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论中正确的结论有（

）①；②；③；④图中有3对相似三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或65．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为．6．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为．

7．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，且，当为时，最大．8．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边中，，，E，F分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点A落在边上的G点，得到三角形，则的面积为．

9．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．10．（2023·安徽·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．

12．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．

13．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．

14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______．

15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．

16．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．

(1)如图1，若点恰好落在边上，求的长；(2)如图2，延长交边于点，当时，求的值；(3)连接，当为等腰三角形时，求的长．18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．(1)【类比探究】如图2，在中