概率论§1.4 条件概率及有关公式

§1.4条件概率及有关公式

在实际问题中，往往会遇到求一事件已经发生的前提下，另一事件发生的概率。

设A、B是某随机试验中的两个事件，且P(B)>0，则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为:在事件B已发生的条件下事件A

的条件概率,简称为A在B之下的条件概率，记为P(A|B)

。由于附加了条件，P(A)与P(A|B)意义不同，一般情况下P(A|B)≠P(A).例1掷一颗均匀骰子，B={掷出偶数点}.试求P(A|B)=？

由于已知事件B已经发生，所以此时试验所有可能结果只有3种，而事件A包含的基本事件只占其中一种，故有P(A|B)=1/3A={掷出2点}，解：掷一颗均匀骰子可能的结果有6种，且它们的出现是等可能的。P(A)=1/6掷骰子例2

设10张彩票中只有一张中奖票,10人同时摸这10张,张三和李四各得一张。记

A:{张三中奖}B:{李四中奖}

由古典概率模型知:

现在假设李四先刮开彩票,那么李四是否中奖的信息对计算张三中奖的的可能性大小有没有影响呢?显然,如果李四中奖,那么张三就没有机会中奖

也就是说:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为0,记P(A|B)=0

反之，如果已知李四没中奖,张三中奖的机会有多大?

也就是说:在事件B没发生的条件下,事件A发生的概率为多少?基于古典概型的分析:

:n个样本点B:m个样本点AB:k个样本点在B已发生的条件下,试验结果为m中的一个,这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生,故相当于“缩小了样本空间”。条件概率的定义定义:设A、B为两事件,其中P(B)>0,

则称P(AB)/P(B)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为Ａ其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件A设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S把图形的面积理解为相应事件的概率

则P(A)=A的面积/S的面积几何解释分析：当已知事件B发生的情况下，样本空间由原来的S缩减为了B如果B发生，那么使得A发生当且仅当样本点属于AB，因此P(A|B)应为P(AB)在P(B)中的“比重”P(A|B)=AB的面积/B的面积

这就好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.条件概率的性质(1)非负性:0≤P(A|B)≤1

(2)规范性:P(

|B)=1(3)可列可加性:若可列无限多个事Ak(k=1,2,…)

两两互斥,则有

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)

P(A1A2|B)另有:例3设某厂生产的灯泡能使用1000小时以上的概率为0.9,能使用1500小时以上的概率为0.3,如果有一个灯泡已经使用了1000小时没有损坏,求它能使用1500小时以上的概率。

解:A:“灯泡能使用1000小时以上”

B:“灯泡能使用1500小时以上”

由已知:P(A)=0.9,P(B)=0.3又B

A

P(AB)=P(B)=0.3从而在事件A发生时事件B发生的概率为:例4

某人外出旅游两天,需知道两天的天气情况,据预报,第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1，求第一天下雨时,第二天不下雨的概率。解:

设A与B分别表示第一天与第二天下雨由题意：P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB)=0.1条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系需要注意的是:即P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。例如：上例中而在例1掷骰子时乘法公式由条件概率得:

P(AB)=P(B)P(A|B)推广到一般情形中:若n个事件A1,A2,…,An满足件:P(A1A2…Ak)>0(k=1,2,…,n

1),

则：

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An

1)例5设袋中装有a只红球和b(b≥3)

只白球,从中连续取球四次,每次取一球，取后不放回，试求第四次才取到红球的概率。解:设Ai

:“第i次取到白球”

(i=1,2,3,4）则:“第四次取到红球”

:“第四次才取到红球”

故由乘法公式可得:一场精彩的足球赛将要举行,但5个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属。

球票5张同样的卡片只有一张上写有“球票”，其余的是空白。将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.请回答：先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？

“大家不必争，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大。”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下，每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”，

i＝1,2,3,4,5。显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5，第1个人抽到入场券的概率是1/5。也就是说，

则表示“第i个人未抽到入场券”，因为若第2个人抽到入场券时，第1个人肯定没抽到。也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由于由乘法公式，

得

计算可得：

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5这就是有关抽签顺序问题的正确解答同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到。因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，继续做下去就会发现，每个人抽到“入场券”的概率都是1/5。抽签不必争先恐后。例6

某批产品中，甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解:设A表示事件“产品是甲厂生产的”，

B表示事件“产品是次品”由题设知P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.1=0.06根据乘法公式，有P(A)=0.6,P(B|A)=0.1全概率公式

人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况、不同原因或不同途径下发生的情况，从而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算它们的概率，然后求和。引例

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.123解：记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}即

B=A1B∪A2B∪A3B，

而且

A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3

之一同时发生P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)对求和中的每一项运用乘法公式可得代入数据计算得：P(B)=8/15将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。全概率公式

设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，如果事件A满足条件：则B2A全概率公式

证明：因为由假设P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且ABi∩ABj=F图示化整为零各个击破称B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分，如果它们满足(1)B1,B2,…,Bn两两互不相容

(2)

或称B1,B2,…,Bn为完备事件组由全概率公式不难看出:“全部”概率P(A)可以分成许多“部分”概率P(ABi)之和。在较复杂情况下，直接计算P(A)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Bi，使A伴随着某个Bi的出现而出现，且每个P(ABi)

较容易计算，可用它们的和计算P(A)。它的理论和实用意义在于:

我们把事件A看作某一过程的结果，把B1，B2，…,Bk，…看作该过程的若干个原因。

那么我们就可以用全概率公式计算事件A发生的概率，即求P(A)。全概率公式的使用

根据已知条件,每一原因发生的概率已知，即已知P(Bk)。

而且每一原因对结果的影响程度已知,即已知P(A|Bk)。例1设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，求抽出一份是女生表的概率。Bi={报名表是第i区}i＝1,2,3A={抽到的报名表是女生表}解：设P(A|B1)=3/10,P(A|B2)=7/15,P(A|B3)＝5/25P(Bi)=1/3(i=1,2,3)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=29/90例2有三个形状相同的罐，在第一个罐中有2个白球和1个黑球，在第二个罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，现任取一罐，从中取出一球，试求取得白球的概率。解:A:“取到的是白球”Bi

:“球取自第i罐”(i=1,2,3)则B1,B2,B3是样本空间的一个划分

由全概率公式:这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即在已知某结果发生的条件下，求各原因发生可能性大小。实际中还有下面一类问题——已知结果求原因某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,问该球是取自1号箱的概率？或者问:该球取自哪个号码的箱子的可能性大些?

123记

Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)

运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式。运用乘法公式贝叶斯公式设B1,B2,…,Bn

是n个互不相容的事件，事件且P(A)>0,

P(Bi)>0,(i=1,2,…,n),则贝叶斯公式分析:该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率。

称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件

A

的原因。

称P(Bi|A)为后验概率，它是得到了信息“A发生”，再对导致A出现的原因发生的可能性大小重新加以修正。全概率---由因求果贝叶斯----执果求因例1某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别0.9，0.7，0.5，0.2。现从该射击小组任选一人，若此人已通过选拔进入比赛，问此人是一级射手的概率是多少?解:A：“射手能通过选拔进入比赛”Bi：“射手是i级射手”

(i=1,2,3,4)

显然，B1、B2、B3、B4是样本空间的一个划分由已知:P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2由贝叶斯公式:“结果

原因”

例2某一地区患有癌症的人占0.005，患者对某种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对该种试验反应是阳性的概率为0.04。现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则

表示“抽查的人不患癌症”解:设

C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}求P(C|A)已知:P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,

由贝叶斯公式，得

代入数据，

计算可得P(C|A)=0.1066

现在来分析一下结果的意义2.检出阳性是否意味着一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,随意抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005

已知患者阳性反应的概率是0.95，若做了试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概