专题27 与圆有关的计算（分层精练）（解析版）

专题27与圆有关的计算（分层精练）1．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【解答】解：∵直径AB＝6，∴半径OB＝3，∵圆周角∠A＝30°，∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的长是＝π，故选：D．2．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．3．（2021•广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【答案】B【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O相切于点A和点B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故选：B．4．（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18【答案】D【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，AC＝＝米，∴AB＝2AC＝米，又∵的长＝米，∴走便民路比走观赏路少走（）米，故选：D．5．（2022•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵点A与圆心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴阴影部分的面积为：＝﹣，故选：B．6．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接BC，如图，由作法可知AC＝BC＝AB＝2，∴△ACB为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2××22﹣π×12＝π﹣2．故选：A．7．（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A． B． C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故选：D．8．（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面积为＝π．即线段CA扫过的图形的面积为π．故选：D．9．（2022•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，∴底面圆的半径为3cm，∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．故选：D．10．（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．11．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母线长l＝5，半径r为4，∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π．故选：C．12．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（）A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000【答案】A【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，圆锥的高为0.4m，则圆锥的母线长为：＝0.5m．∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），∵圆柱的高为1m．圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），∵每平方米用锌0.1kg，∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．故选：A．13．（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：如图：∵圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm3），圆锥的体积为π×62×6＝72π（cm3），∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm3），设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CD＝DE＝（6﹣x）cm，∴π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，∴（6﹣x）3＝27，解得x＝3，∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，故选：B．14．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：A．15．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的长为：＝2π，故选：D．16．（2022•青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为cm．【答案】20π【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30cm，∴弧CD的长＝＝20πcm，故答案为：20π．17．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是．（结果保留π）【答案】2π【解答】解：连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圆O与边AB相切于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧的长是＝2π．故答案为：2π．18．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为．【答案】+【解答】解：如图，设O′A′交于点T，连接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣×1×）＝+．故答案为：+．19．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．【答案】【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴阴影部分的面积＝S扇形ADO＝×π×22＝．故答案为：．20．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【答案】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝1，AO＝AB＝，∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2，∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE＝2﹣＝，故答案为：．21．（2022•聊城）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为．【答案】120°【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．由题意得S底面＝πr2，l底面周长＝2πr，∵这个圆锥体的底面积是其表面积的，∴S扇形＝3S底面＝3πr2，l扇形弧长＝1底面＝2πr．由S扇形＝l扇形弧长×R得3πr2＝×2πr×R，故R＝3r．由l扇形弧长＝得：2πr＝，解得n＝120．故答案为：120°．22．（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为．【答案】26+10π【解答】解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，∴圆锥的母线长为13，∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13+2π×5＝26+10π．故答案为26+10π．23．（2022•贡井区模拟）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是．【答案】（6﹣π）【解答】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，故答案为：6﹣π．24．（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AD平分∠CAB，∴∠FAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠FAD＝∠ODA，∴OD∥AF，∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF；（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：∵CK是⊙O的直径，∴∠CDK＝90°，∴∠K+∠DCK＝90°，∵OD⊥EF，∴∠ODF＝90°，即∠ODC+