专题06 线段与角的等量代换模型（解析版）

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C,D在线段AB上，若AC=DB,则（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB【答案】D【详解】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断.故选D.【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键．例2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可.【详解】①∵H是的中点，∵分别是的中点，.

∴①正确.②由①知∴②错误.③∴③正确.④

∴④正确.综上，①③④正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键.例4．（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）如图，D、E顺次为线段上的两点，，C是的中点，则的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先根据题意得到，进而推出，再由线段中点的定义得到，则．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵C是的中点，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．例5．（2023·广东广州·七年级校考期末）如图，（1）若，则；（2）若，则．【答案】///【分析】（1）根据几何图形，结合等式的性质即可求解．（2）根据几何图形，结合等式的性质即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，即，故答案为：；（2）∵，∴，即，故答案为：，．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．例6．（2023·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（

）

A．30° B．80° C．40° D．45°【答案】C【分析】根据∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD．【详解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−90°=50°，∴∠COD=∠BOD−∠BOC=90°−50°=40°，故选：C．【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是分清题中角之间的关系．例7．（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（

）A．因为，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以【答案】A【分析】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案．【详解】解：与不一定相等，根据，不能推出，故A选项推理错误，符合题意；，通过等量代换可得，故B选项推理正确，不合题意；，通过等量代换可得，故C选项推理正确，不合题意；，根据等角的余角相等可得，故D选项推理正确，不合题意；故选A．【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键．例8．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（

）A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换【答案】B【分析】根据等角的补角相等判定即可.【详解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的补角相等)，故选：B.【点睛】本题主要考查了补角的性质：同角或等角的补角相等.例9．（2023·福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是．（填序号）【答案】①③④【分析】由根据同角的余角相等得到，即可判断①；由，即可判断②由，即可判断③由平分，得出，再结合①，即可判断④【详解】解：∵，∴，∴，所以①正确；∵不一定等于，所以②不正确；∵，所以③正确；∵平分，∴，由①知，∴，∴，所以④正确．∴平分故答案为：①③④．【点睛】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义，熟练掌握补余角的性质和角平分线的定义是关键．例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或或【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；（2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得；（3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解．【详解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度数是；（3）的度数是或或或，理由如下：如图1，，，，

，又，，，如图2，，即，又，，，

如图3，，，又，，，如图，，，，综上所述，的大小为或或或．【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．例11．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．

甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．【答案】(1)180，140，70，160(2)正确，理由见解析，或(3)或【分析】（1）根据平角定义和角平分线的定义补充即可；（2）由题意，还有在的外部时的情况，根据平角定义求解即可；（3）由题意，，，分在的内部和在的外部，由求出即可．【详解】（1）解：∵点O在直线上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案为：180；140；70；160；（2）解：正确，理由如下：当在的外部时，如图所示：

∵点O在直线上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，综上所述，或；（3）解：∵，，∴，，当在的内部时，如图，∵，∴平分，∴，即∴，解得：；当在的外部时，如图，∵，∴，∵，∴，解得：，综上，或．【点睛】本题考查角的运算、角平分线的有关计算、平角定义，能根据图形进行角度运算，能利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，．(1)若，，求的度数；(2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可；（2）利用余角的定义，求得两个角的和为即为垂直．【详解】（1）解：，，，，，；（2），证明：，，，即，．【点睛】本题考查的是余角、垂直的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直以及对顶角的定义，会识别余角、垂直、对顶角．课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB【答案】D【分析】根据线段的中线性质求解即可；【详解】∵D是BC的中点，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了线段中线的性质应用，准确分析是解题的关键．2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD．【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B．【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．3．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）如图，点C、D是线段AB上任意两点，点M是AC的中点，点N是DB的中点，若，，则线段CD的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，得，再根据中点的性质得，最后由即可求出结果．【详解】解：∵，，∴，∴，∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，∴，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．4．（2023·江苏·七年级阶段练习）如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC＝m，BC＝n，则线段PQ的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：P是AC的中点，Q是BC的中点，则故选C．考点：线段的中点．5．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（

）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对【答案】A【分析】首先求出，，然后根据互补的定义找出相加等于的角即可．【详解】解：，，，，，，综上，互补的角共有7对，故选：A．【点睛】本题考查了角的和差计算，互补的定义，如果两个角的和等于，就说这两6．（2023云南七年级期末）如图所示，，且与关系为（

）A．互补 B．互余 C．和为 D．和为【答案】B【分析】首先根据图形可得，再表示出来求解即可．【详解】解：观察图形可知，，，与关系为互余．故选：B．【点睛】本题考查余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义．7．（2023春·河南焦作·七年级统考期中）如果，，那么与的关系是（

）A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意可得和都是的余角，则根据同角的余角相等可知和的关系相等．【详解】解：∵，∴故选C．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，掌握相关定理是解题关键．8．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（

）A．B．C．与的大小相同D．与互余【答案】D【分析】根据量角器的位置读出个角的度数即可．【详解】解：A、，故选项错误；B、，故选项错误；C、，，它们的大小不相等，故选项错误；D、，它们互余，故选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．9．（2023春·山西太原·七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“”处的依据为（

）

如图，因为直线，相交于点，所以与都是平角．所以，．所以（据：）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．平角的定义【答案】B【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案．【详解】解：因为直线，相交于点，所以与都是平角，所以，．由同角的补角相等，即可得到．故选：B．【点睛】本题考查了补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．10．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（）

A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据同角的余角相等得到，即可得到结论．【详解】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，∴，，∴，又∵，∴，故选：A．

【点睛】本题考查同角的余角相等，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决问题．11．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作20次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值．【详解】解：∵，分别为的中点，∴，∵分别为的中点，∴，根据规律得到，∴，故选：C．【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难．12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为．【答案】90或40/40或90【分析】分在和之间，在和之间两种情况，根据互余的定义和角的和差关系分别求解．【详解】解：分两种情况：当在和之间时，如图：

与互余，；当在和之间时，如图：

与互余，，，；综上可知，为或，故答案为：90或40．【点睛】本题考查余角、角的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，，于点．若，则的度数是．

【答案】【分析】根据垂直的定义分别得到，，再利用同角的余角相等可得结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等．14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，线段上有、两点，且，是的中点，若，则．

【答案】2【分析】根据，，得出，求出，根据中点定义得出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵是的中点，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了中点的有关计算，解题的关键是根据，，求出．15．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，和都是直角，则（填，，）．【答案】【分析】由和都是直角，得，，从而即可得到答案．【详解】解：和都是直角，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同角的余角（补角）相等，熟练掌握该知识点是解题的关键．16．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，C，D是线段上两点，若，，且D是的中点，则．

【答案】11【分析】由、的长度可求出的长度，由点D是的中点可求出的长度，再利用即可求出的长度．【详解】解：∵，，∴，∵点D是的中点，∴，∴．故答案为：11．【点睛】本题考查了两点间的距离，由、的长度结合点D是的中点，求出的长度，是解题的关键．17．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，点在线段上，且，点E是线段的中点，若，则的长为．【答案】/24厘米【分析】根据线段中点的定义，可得，代入数据进行计算即可得解求出的长．【详解】解：∵，点E是线段的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．18．（2023·福建莆田·七年级校考开学考试）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，则CD等于．【答案】【分析】根据已知条件分析出CD与AB之间的数量关系，从而得到AC+BD与AB之间的数量关系，即可求解AB的长度，从而求出CD的长度．【详解】∵AD+BC=AB+CD，AD+BC＝AB，∴，∴，∵AC+BD=8，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查线段之间的数量关系计算问题，能够准确根据已知条件推理出部分线段与整体线段之间的关系是解题关键．19．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为．【答案】9【分析】先M是线段的中点，得出，根据，得出，即可得出，从而得出．【详解】解：∵M是线段的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出．20．（2023.湖北武汉江岸区七年级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则．【答案】或13【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长.【详解】①当时，如图1设，则，，，∵直线l上所有线段的长度之和为91

②当时，如图2,故答案为：或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论.22．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，，过点作射线，，使，则．【答案】或或【分析】根据题意，画出图形，分类讨论，根据角度的和差进行计算即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，∴；如图所示，∵，，∴；如图所示，∵，，∴；故答案为：或或【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，分类讨是解题的关键．23．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和直线CD相交于点O，，有下列结论：①与互为余角；②；③；④与互为补角；⑤与互为补角；⑥与互为余角，其中错误的有（填序号）．【答案】③⑤/⑤③【分析】根据互余、互补的性质，结合图形，对顶角的性质判断即可．【详解】∵，∴∠AOE=90°，∴与互为余角；故①正确；；故②正确；无法判定，故③错误；与互为补角；故④正确；无法判定与互为补角；故⑤错误；∵，∴∠AOE=90°，∴与互为余角；∵；∴与互为余角，故⑥正确，故答案为：③⑤．【点睛】本题考查了互余、互补的性质，对顶角的性质，熟练掌握互余、互补的性质是解题的关键．24．（2023春·绵阳市七年级期中）如图，O是直线上一点，平分，且．(1)图中存在____________组互补的角；与互补的角为____________；(2)求证：平分．下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整．证明：∵平分，∴____________（

）．∵O是直线上一点，∴（

）．∵，∴．∵，∵，∴____________（

）．∴平分．【答案】(1)，和(2)，角平分线的定义，平角的定义，，等角的余角相等【分析】（1）根据补角的定义，进行判断即可；（2）根据角平分线的定义，平角的定义，等角的余角相等，将过程补充完整即可．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵是直线上一点，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又：，∴图中共有5组互补的角，且与互补的角为和．故答案为：5；和；（2）证明：∵平分，∴（角平分线的定义）．∵O是直线上一点，∴（平角的定义）．∵，∴．∵，∵，∴（等角的余角相等）．∴平分．故答案为：，角平分线的定义，平角的定义，，等角的余角相等．【点睛】本题考查余、补角的计算，角平分线的计算．熟练掌握两角之和等于，两角互为补角，等角的余角相等，角平分线平分角，是解题的关键．25．（2022秋·北京·七年级校考期末）完成下列说理过程（括号中填写推理的依据）：已知：如图，直线，相交于点，平分，．求证：．证明：平分，．（①），．直线，相交于点，．．②．（③）直线，相交于，，．④．（⑤）．【答案】①角平分线的定义；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的补角相等．【分析】先证明，再根据等角的余角相等证明，根据同角的补角相等证明，即可证明．【详解】解：平分，．（角平分线的定义），．直线，相交于点，．．．（等角的余角相等）直线，相交于，，．．（同角的补角相等）．故答案为：①角平分线的定义；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的补角相等．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，同角的补角相等等知识，理解题意，根据图形灵活应用相关知识是解题关键．26．（2023·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，OC平分．若，请你补全图形，并求的度数．同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵，OC平分，∴（1）°∵，∴（2）=（3）°．同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整．(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．(3)若，直接写出的度数【答案】(1)45，，110(2)正确，见解析，20°(3)或【分析】（1）根据图形，角平分线的定义，角度的和差关系即可求解，（2）根据图形，角平分线的定义，角度的和差关系即可求解，（3）根据图形，角平分线的定义，角度的和差关系即可求解．注意分情况讨论．【详解】（1）∵，OC平分，∴45°∵，∴=110°．故答案为：45，，110（2）如图：，OC平分∴∴（3）如图，①当在的左侧时，∵，OC平分，∴∵，∴=．②当在的右侧时，∵，OC平分∴∵∴【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的和差，运用数形结合思想是解题的关键．27．（2023·广东七年级课时练习）问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点，若EC=3，求线段DB的长．请补全以下解答过程．解：因为点C是线段AB的中点，_________，所以_________，AD=2AE．因为DB=AB−_________，所以DB=_________−2AE=2(AC−AE)=2EC．因为EC=3，所以DB=_________．【答案】点E是线段AD的中点；AB=2AC；AD；2AC；6【分析】根据点C是线段AB的中点，即可知AC=BC，AB=2AC，AD=2AE，再根据DB=AB-AD，将AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB与EC的关系进而求解．【详解】解：因为点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，所以AB=2AC，AD=2AE，因为DB=AB-AD，所以DB=2AC-2AE=2（AC-AE）=2EC．因为EC=3，所以DB=6．故答案为：点E是线段AD的中点；AB=2AC；AD；2AC；6．【点睛】本题考查两点间的距离以及推理过程的完整书写，理解DB=AB-AD，并将AB和AD用2AC和2AE代替是解题的关键．28．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，长度为的线段上有两点C、D，这两点将线段分成．(1)求线段的长；(2)点M为线段的中点，点N为线段的中点，求线段的长度．【答案】(1)4cm(2)14cm【分析】（1）根据题意AC：CD：DB＝3：1：2，可得CD＝24计算即可得出答案；（2）根据题意先计算出AC，BD的长度，再根据M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点可计算出MN，DN的长度，则根据MN＝CM＋CD＋DN即可得出答案．【详解】（1）∵AC：CD：DB＝3：1：2，AB=24cm，∴；（2）∵，∴，，∵M为线段的中点，点N为线段的中点，∴，，∴．【点睛】本题主要考查两点间的距离和中点的定义，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．29．（2023.湖北省蕲春县七年级期末）已知C为线段AB的中点，D是线段AC的中点．（1）画出相应的图形，并写出图中线段的条数和名称；（2）若图中所有线段的长度和为26，求线段AC的长度；（3）若E为线段BC上的点，M为EB的中点，，求线段AB的长度（用含的代数式表示）．【答案】（1）见解析，6条，AD，AC，AB，DC，DB，CB；（2）4；（3）2a-b【分析】（1）根据题目信息进行画图；（2）根据（1）的图象列出相关等式进行计算；（3）根据题目信息作图，再根据已知信息找到线段之间的等量关系，列出等式进行作答．【详解】（1）如图所示：线段为：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条；（2）∵D、C分别是AC，AB的中点，∴AC＝2AD，AB＝2AC，设AC＝x，则有，解得：x＝4，即AC＝4；（3）∵M为线段EB的中点，∴EB＝2EM，∴AB＝AC＋CE＋EB＝2CD＋2EM＋CE＝2（DC＋EM）＋CE，∵DM＝a，CE＝b，∴AB＝2（a﹣b）＋b＝2a﹣b．【点睛】本题主要考查直线、线段、射线，其中根据图象找到线段的等量关系是解题的关键．30．（2023春·广东珠海·七年级开学考试）对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据．理由：因为（已知），所以（等式的性质）．因为，所以（

）．所以（

）．【答案】已知，等式的性质，等量代换【分析】根据各步前后式的逻辑关系写出依据．【详解】，理由如下：因为（已知），所以（等式的性质）．因为（已知），所以（等式的性质）．所以（等量代换）．故答案为：已知，等式的性质，等量代换．【点睛】本题考查推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键．31．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：；(3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度数；（2）由角平分线定义，得到，而，即可证明；（3）由余角的定义，得到，而，，即可求出的度数，从而得出结论．【详解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角．32．（2023秋·湖南益阳·七年级校考期末）阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知，如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．同学一的解答如下：解：如图2，作因为，平分，所以______________，因为，所以___________________________，同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．【答案】(1)见解析；(2)正确，图见解析．【分析】(1)根据角平分线的定义即可求得的度数；(2)分为在直角内部和外部两种情况：再根据角平分线的定义即可求得的度数．【详解】（1）解：