专题06 线段与角的等量代换模型（原卷版）

专题06线段与角的等量代换模型等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。模型1.

线段与角度的等量代换模型【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。1）线段的等量代换条件：如图，已知：EG=HF；结论：EH=GF.2）角度的等量代换（图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2.条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等；例1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C,D在线段AB上，若AC=DB,则（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB例2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（）A． B． C． D．例4．（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）如图，D、E顺次为线段上的两点，，C是的中点，则的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8例5．（2023·广东广州·七年级校考期末）如图，（1）若，则；（2）若，则．例6．（2023·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（

）

A．30° B．80° C．40° D．45°例7．（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）下列推理错误的是（

）A．因为，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以例8．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（

）A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换例9．（2023·福建福州·七年级统考期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是．（填序号）例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．例11．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题．数学课上，老师提出了如下问题：已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足．当时，如图1所示，求的度数．

甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵点O在直线上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同学：“我认为还有一种情况．”请完成以下问题：(1)请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．(3)将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，．(1)若，，求的度数；(2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由．课后专项训练1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较3．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）如图，点C、D是线段AB上任意两点，点M是AC的中点，点N是DB的中点，若，，则线段CD的长是（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·七年级阶段练习）如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC＝m，BC＝n，则线段PQ的长为（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（

）

A．7对 B．6对 C．5对 D．4对6．（2023云南七年级期末）如图所示，，且与关系为（

）A．互补 B．互余 C．和为 D．和为7．（2023春·河南焦作·七年级统考期中）如果，，那么与的关系是（

）A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定8．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（

）A．B．C．与的大小相同D．与互余9．（2023春·山西太原·七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“”处的依据为（

）

如图，因为直线，相交于点，所以与都是平角．所以，．所以（据：）A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．平角的定义10．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（）

A．B．C．D．11．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作20次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（

）A． B． C． D．12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为．13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，，于点．若，则的度数是．

14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，线段上有、两点，且，是的中点，若，则．

15．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，和都是直角，则（填，，）．16．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，C，D是线段上两点，若，，且D是的中点，则．

17．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，点在线段上，且，点E是线段的中点，若，则的长为．18．（2023·福建莆田·七年级校考开学考试）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，则CD等于．19．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为．20．（2023.湖北武汉江岸区七年级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则．22．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，，过点作射线，，使，则．23．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线AB和直线CD相交于点O，，有下列结论：①与互为余角；②；③；④与互为补角；⑤与互为补角；⑥与互为余角，其中错误的有（填序号）．24．（2023春·绵阳市七年级期中）如图，O是直线上一点，平分，且．(1)图中存在____________组互补的角；与互补的角为____________；(2)求证：平分．下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整．证明：∵平分，∴____________（

）．∵O是直线上一点，∴（

）．∵，∴．∵，∵，∴____________（

）．∴平分．25．（2022秋·北京·七年级校考期末）完成下列说理过程（括号中填写推理的依据）：已知：如图，直线，相交于点，平分，．求证：．证明：平分，．（①），．直线，相交于点，．．②．（③）直线，相交于，，．④．（⑤）．26．（2023·河南南阳·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，，OC平分．若，请你补全图形，并求的度数．同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵，OC平分，∴（1）°∵，∴（2）=（3）°．同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整．(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．(3)若，直接写出的度数27．（2023·广东七年级课时练习）问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点，若EC=3，求线段DB的长．请补全以下解答过程．解：因为点C是线段AB的中点，_________，所以_________，AD=2AE．因为DB=AB−_________，所以DB=_________−2AE=2(AC−AE)=2EC．因为EC=3，所以DB=_________．28．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，长度为的线段上有两点C、D，这两点将线段分成．(1)求线段的长；(2)点M为线段的中点，点N为线段的中点，求线段的长度．29．（2023.湖北省蕲春县七年级期末）已知C为线段AB的中点，D是线段AC的中点．（1）画出相应的图形，并写出图中线段的条数和名称；（2）若图中所有线段的长度和为26，求线段AC的长度；（3）若E为线段BC上的点，M为EB的中点，，求线段AB的长度（用含的代数式表示）．30．（2023·广东珠海·七年级开学考试）对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据．理由：因为（已知），所以（等式的性质）．因为，所以（

）．所以（

）．31．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：；(3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．32．（2023秋·湖南益阳·七年级校考期末）阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知，如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．同学一的解答如下：解：如图2，作因为，平分，所以______________，因为，所以___________________________，同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．33．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知，为锐角，平分，射线在内部．(1)图中共有多少个小于平角的角？(2)若，，求的度数．(3)若，，请通过计算判断与的关系．34．（2023秋·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，，，平分，（）．(1)求的度数（用含的式子表示）；请将以下解答过程补充完整