专题32 圆的综合练习（提优）-（解析版）

专题32圆的综合练习（提优）一．选择题1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】首先延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，∵AE＝5，EC＝3，∴AC＝AE+CE＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC＝4，AC⊥∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，∴∠DNM＝∠DOE＝90°，∵∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN＝DE：OE，∵MN＝BM＝OM=12∴DM＝OD+OM＝3MN，∴DE＝3OE＝3，∵OE∥BP，∴OD：OB＝DE：EP，∵OD＝OB，∴DE＝EP＝3，∴BP＝2OE＝2，∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，∴EF：EP＝3：5，∴EF＝EP×3∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．故选：C．【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）A．22−2 B．5−2 C．5−1【分析】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=5，从而得到CE的最小值为5【解答】解：连接AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，∴AB＝AC＝2，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为1，连接OE，OC，∴OE=12在Rt△AOC中，∵OA＝1，AC＝2，∴OC=O由于OC=5，OE点E在线段OC上时，CE最小，如图2，∴CE＝OC﹣OE=5即线段CE长度的最小值为5−故选：C．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，②假设∠AOC＝∠AEC，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝∠C，∴∠A＝∠ABC，∴AC=∵OC∥BD∴∠C＝∠CBD，∴∠ABC＝∠DBC，即：AC∴C，D是半圆的三等分点，而与“C，D是⊙O上的点”矛盾，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°，∵点O为圆心，∴AF＝DF，⑤、由④有，AF＝DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选：D．【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．4．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．52−4 B．17−1 C．6﹣22 【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B=(2−3)2∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝52−3﹣1＝52∴PM+PN的最小值为52−故选：A．【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．5．如图，已知直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB．则△A．8 B．12 C．212 D．【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．【解答】解：∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于A、∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0，即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：12×AB×CM=12×OA×OC∴5×CM＝4×1+3×4，∴CM=16∴圆C上点到直线y=34x﹣3的最大距离是1∴△PAB面积的最大值是12×5故选：C．【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝72．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC=12OP，则阴影部分的面积为74π−4943；④A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③【分析】①连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；②根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC＝∠PCF，根据等角对等边即可证得PC＝PF，又由∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；③首先连接AE，由圆周角定理与弦CE平分∠ACB，可得△ABE是等腰直角三角形，继而求得直径AB的长，由BC=12OP，可得BC是中线，△④在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求得PB的长，由△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，即可求得tan∠PCB．【解答】解：①连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．故正确；②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB+∠ACD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB．又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE．∴∠PFC＝∠PCF．∴PC＝PF，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC：PA＝PB：PC，∴PC2＝PB•PA，即PF2＝PB•PA；故正确；③连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴AE=∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB=2BE=2×∴OB＝OC＝7，∵PD是切线，∴∠OCP＝90°，∵BC=12∴BC是Rt△OCP的中线，∴BC＝OB＝OC，即△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴S△BOC=4943，S扇形BOC=60360×∴阴影部分的面积为496π−④∵△PCB∽△PAC，∴PBPC∴tan∠PCB＝tan∠PAC=BC设PB＝x，则PA＝x+14，∵PC2＝PB•PA，∴242＝x（x+14），解得：x1＝18，x2＝﹣32，∴PB＝18，∴tan∠PCB=PB故选：C．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆的切线性质以及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22 B．24 C．105 D．123【分析】易知直线y＝kx﹣3k+4过定点D（3，4），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y＝kx﹣3k+4＝k（x﹣3）+4，当x＝3时，y＝4，故直线y＝kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝3，DH＝4，OD=O∵点A（13，0），∴OA＝13，∴OB＝OA＝13．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2OB2−O故选：B．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．8．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．3 C．33 D．【分析】过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，易得AD＝AE＝1，BD＝CE=3，设AP＝x，则DP＝x+1，EP=，根据勾股定理可得BP2＝x2+2x+4，CP2＝x2﹣2x+4．易证△AQC∽△PCB，则有AQAC=PCPB，由此可得方法二：探究出的Q的运动轨迹，即可解决问题．【解答】解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BD∥CE．∵AP∥BC，∠BDE＝90°，∴四边形BCED是矩形，∴∠DBC＝∠ECB＝90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBA＝∠ECA＝30°，∴AD＝1，AE＝1，∴BD=3，CE=设AP＝x，则DP＝x+1，EP=．在Rt△BDP中，BP2＝BD2+DP2＝3+（x+1）2＝x2+2x+4．在Rt△CEP中，CP2＝CE2+EP2＝3+（x﹣1）2＝x2﹣2x+4．∵AM∥BC，∴∠APB＝∠CBP．∵∠APB＝∠ACQ，∴∠ACQ＝∠CBP．∵∠QAC＝∠CPB，∴△AQC∽△PCB，∴AQAC∴AQ＝2×PC∴AQ2＝4×PC＝4×（1−4x＝4×（1−4＝4−16当x−2x=0即x＝2时，AQ2取到最小值为4故选D．方法二：如图，易知∠PQC＝∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠BQC＝120°，∴点Q的运动轨迹是BC，∴当AQ⊥BC时，AQ的长最小，设AQ交BC于G，此时AG=3，OG=12BQ∴AQ的最小值为23故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，将分式进行恒等变形并运用配方法是解决本题的关键，寻找点Q的运动轨迹是方法二的突破点．9．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，BE=2AE，四边形ABCD为矩形，且AB＝2BC，OF⊥CD于F，OD，EF相交于P点，下列结论：①OFPF=62；②PD＝PE；③OE⊥ODA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】过E作EN垂直DC交AB于点M，设EF与AB交于点H，设圆的半径为R，根据题意，BE=2AE，可得出∠AOE＝60°，继而求得EM、MO的长度，根据三角形的相似定理可求得MH，继而得出OH，利用相似三角形的性质可分别求出OP、DP、HP、【解答】解：过E作EN垂直DC交AB于点M，设圆的半径为R，∵AB为⊙O的直径，BE=2∴∠AOE＝60°，∵EN⊥DC，四边形ABCD为矩形，∴EN⊥AB，在Rt△EMO中，∠AOE＝60°，则∠OEM＝30°，∴OM=12R，EM=易得四边形OMNF为矩形，则MN＝OF＝BC=12AB＝∴NF＝OF=12∵△EMH∽△ENF，∴EMEN=MH解得：MH=23−32R，则OH＝OM﹣MH＝（2在Rt△OHF中，HF=OH2+OF2∵△OPH∽△DPF，∴HPPF=OH∵HP+PF＝HF＝（6−2）∴HP＝（263−2）R，∴OFPF=6同理可得：OP=32−66R在Rt△EMH中，EH=E则EP＝EH+HP＝DP=32+6∠AOE+∠AOD＝60°+45°＝105°，故③错误；OPPD=OHDF=综上可得①②正确，共2个．故选：B．【点评】本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，综合考察的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握所学知识点，并灵活运用，难度较大．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，与⊙O交于点D，连接BD，CD．那么：①四边形BDCO是菱形，②若⊙O的半径为r，三角形的边长为3r，③三角形ODC是等边三角形，④弧BD的度数为60°，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证明△ABO≌△ACO，可得∠BAD＝∠CAD＝30°，从而可得BD＝CD=12AO，可判断①正确；在Rt△ABD中，根据BD＝OB＝r，∠BAD＝30°，可求出AB，从而判断②正确；由①可得OC＝OD＝CD，从而判断③正确；求出∠BOD的度数，即可判断【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，在△ABO和△ACO中，∵AB=ACAO=AO∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝30°，则在Rt△ABD中，BD=12AD＝同理CD=12AD＝∵OB＝OC＝BD＝CD，∴四边形BDCO是菱形，故①正确；在Rt△ABD中，AD＝2r，BD＝r，∴AB=AD2−BD∵CO＝OD＝CD，∴△ODC是等边三角形，故③正确；∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴弧BD的度数为60°，故④正确．综上可得：①②③④均正确，共4个．故选：D．【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形及全等三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题的关键是掌握各知识点的内容，灵活运用．11．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，交⊙O于F，BE⊥AC于E，BE交AD于H，直线OH交AB于M，交AC于N，下列结论中：（1）DH＝DF；（2）AO＝AH；（3）AM＝AN；（4）MO＝OH＝HN．其中正确的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【分析】连接CH、CF．延长CH交AB于Q，根据H是垂心求出∠HCD＝∠FCD，根据ASA证△HCD≌△FCD，推出DH＝DF即可判断（1）；作OP⊥AB于P，连接OB，根据圆周角定理求出∠AOP＝∠ACB，求出∠PAO＝∠EAH，求出AP＝AE=12AB，根据ASA证△AEH≌△APO，即可推出AO＝AH，即可判断（2）；过A作AR⊥OH于R，求出∠MAR＝∠NAR，根据ASA证△MAR≌△NAR，推出AM＝AN，即可判断（3）；根据等腰三角形的性质三线合一定理推出OM＝HN，但不能推出OH和OM或【解答】解：连接CH、CF．延长CH交AB于Q，∵BE⊥AC，AD⊥BC，BE交AD于H，∴H是垂心，∴CQ⊥AB，∠ADC＝∠CDF＝90°，∴∠BCH+∠ABC＝90°，∵∠BCF+∠AFC＝90°，∠ABC＝∠AFC，∴∠BCH＝∠BCF，在△DCH和△DCF中∵∠HCD=∠FCDCD=CD∴△CDH≌△CDF（ASA）∴HD＝DF，∴（1）正确；作OP⊥AB于P，∵∠BAC＝60°，∠BEA＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AE=12∵OP⊥AB，OP过O点，∴AP=12∴AE＝AP，∵∠AOP＝∠ACB，∠BAO+∠AOP＝90°，∠ACD＝90°，∴∠CAF+∠ACB＝90°，∴∠BAO＝∠CAF，在△AEH和△APO中∵∠APO=∠AEHAP=AE∴△AEH≌△APO（ASA），∴AO＝AH，∠BAO＝∠CAF，∴（2）正确；过A作AR⊥OH于R，即∠ARM＝∠ARN＝90°，∵AO＝AH，∴∠OAR＝∠HAR，∵∠MAO＝∠EAH，∴∠MAR＝∠NAR，在△MAR和△NAR中∵∠MAR=∠NARAR=AR∴△MAR≌△NAR（ASA），∴AM＝AN，∴（3）正确；∵AM＝AN，AH＝AO，AR⊥MN，∴MR＝NR，OR＝RH，∴OM＝HN，根据已知条件不能推出OH和OM的关系，∴（4）错误；故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识点，此题综合性比较强，难度偏大．12．已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，高线AD，BE相交于H，直线OH与AB，AC分别交于Q，P．下列结论：①∠BAO＝∠CAD；②AH＝AO；③△AQP是等腰三角形；④若∠NAB＝∠MAC＝15°，则AM+ANAB+ACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】延长AO交⊙O于点F，连接BF，如图1，根据圆周角定理就可推出①正确；易证△ABF∽△AEH，从而有ABAE=AFAH，再由∠BAC＝60°可推出AB＝2AE，从而得到AF＝2AH，进而得到②正确；易证△AOQ≌△AHP，从而有AQ＝AP，从而得到③正确；作∠BAC的角平分线交⊙O于点T，过点T作TG⊥AN，垂足为G，过点T作TK⊥AM，垂足为K，连接TN，TM；过点T作TS⊥AB，垂足为S，过点T作TR⊥AC，垂足为R，连接TB，TC；如图2，可以证到Rt△NGT≌Rt△MKT（HL），进而可以证到AN+AM＝2AK，同理可得；AB+AC＝2AR．而AK＝AT•cos∠KAT=22AT，AR＝AT•cos∠【解答】解：延长AO交⊙O于点F，连接BF，如图1，∵AF是⊙O的直径，∴∠ABF＝90°．∴∠BAF+∠F＝180°．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∴∠DAC+∠C＝90°．∵∠F＝∠C，∴∠BAF＝∠DAC，即∠BAO＝∠CAD．故①正确．∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°．∴∠ABF＝∠AEH．∵∠BAF＝∠HAE，∴△ABF∽△AEH．∴ABAE∵∠BEA＝90°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝30°．∴AB＝2AE．∴AF＝2AH．∵AF＝2AO，∴AO＝AH．故②正确．∵AO＝AH，∴∠AOH＝∠AHO．∴∠AOQ＝∠AHP．在△AOQ和△AHP中，∠QAO=∠PAHAO=AH∴△AOQ≌△AHP．∴AQ＝AP．∴△AQP是等腰三角形．故③正确．作∠BAC的角平分线交⊙O于点T，过点T作TG⊥AN，垂足为G，过点T作TK⊥AM，垂足为K，连接TN，TM；过点T作TS⊥AB，垂足为S，过点T作TR⊥AC，垂足为R，连接TB，TC；如图2，∵AT平分∠BAC，∴∠BAT＝∠CAT=12∠∵∠NAB＝∠MAC＝15°，∴∠NAT＝∠MAT＝45°．∵∠NAT＝∠MAT，TG⊥AN，TK⊥AM，∴TG＝TK，TN＝TM．∴AG=AT在Rt△NGT和Rt△MKT中，TG=TKTN=TM∴Rt△NGT≌Rt△MKT（HL）．∴NG＝MK．∴AN+AM＝AG+GN+AK﹣MK＝2AK．同理可得；AB+AC＝2AR．在Rt△AKT中，AK＝AT•cos∠KAT＝AT•cos45°=22在Rt△ART中，AR＝AT•cos∠RAT＝AT•cos30°=32∴AM+ANAB+AC故④正确．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、角平分线的性质、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，而通过添加辅助线证到AN+AM＝2AK，AB+AC＝2AR是证明④是真命题的关键．二．填空题13．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，A（1，0）、B（﹣1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2的最小值是20．【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．【解答】解：设P（x，y），∵PA2＝（x﹣1）2+y2，PB2＝（x+1）2+y2，∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝2OP2+2，当点P处于OQ与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最小值为OQ﹣PQ＝5﹣2＝3，∴PA2+PB2最小值为20．故答案为：20．【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大．14．已知半径为5的⊙O1过点O（0，0），A（8，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合），连接MA，作NA⊥MA于点A交ME的延长线于点N，则线段AN最长为152【分析】先判断出∠OAE＝90°，根据勾股定理得出AE＝6，再判断出△OAE∽△MAN得出AN=AE⋅AMOA=34AM【解答】解：如图，连接AE，∵A（8，0），∴OA＝8，∵⊙O1的半径为5，OE是⊙O1的直径，∴OE＝10，∵OE是⊙O1的直径，∴∠OAE＝90°，在Rt△OAE中，根据勾股定理得，AE=O∵NA⊥MA，∴∠NAM＝∠OAE＝90°，∵∠AOE＝∠AMN，∴△OAE∽△MAN，∴OAAM∴AN=AE⋅AMOA=68×则有AM最长，而AM是⊙O1的弦，∴AM最大是直径为10，∴AN最大=34AM最大=3故答案为152【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线判断出△OAE∽△MAN是解本题的关键．15．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是1633【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，推出BC=CD，求出∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，求出CE＝CF，根据圆内接四边形性质求出∠D＝∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE＝DF，证△AEC≌△AFC，推出AE＝AF，设BE＝DF＝x，得出5＝x+3+x，求出【解答】解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，如图1中，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝10，AC＝CE，∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M，∵AC＝CE，∴AM＝EM=1在Rt△AMC中，AC=AM解法二、如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，∵点C为弧BD的中点，∴BC=∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，在△CBE和△CDF中∠CBE=∠D∠E=∠CFD∴△CBE≌△CDF，∴BE＝DF，在△AEC和△AFC中，∠E=∠AFC∠EAC=∠FAC∴△AEC≌△AFC，∴AE＝AF，设BE＝DF＝x，∵AB＝6，AD＝10，∴AE＝AF＝x+3，∴10﹣x＝6+x，解得：x＝2，即AE＝8，∴AC=AE故答案为163【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中，属于中考填空题中的压轴题．16．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=3x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为（3−12，−33【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标和矩形的长和宽；有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（3+32【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：y=3x﹣3得：OM=3，由勾股定理得：MN=(3)①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD＝cos∠ONM=ON∴323=AB2，∵DG∥y轴，∴△MDG∽△MNO，∴DGON∴DG3∴DG=3∴CG=3同理可得：DHOM∴DH3∴DH=3∴C（3−12②矩形在x轴上方时，同理可得：C（3+32故答案为：（3−12，−332【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．17．如图，点A（2，0），以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，使∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为（23−2，0）；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为（3−1，【分析】根据点E落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得OD和AD的长，从而可以求得OE的长，进而得到点E的坐标；根据点E落在半径OB上，画出相应的图形，由D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，可知CB＝CE，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，根据∠AOB＝60°，可以求得点E的坐标．【解答】解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×1∴OD＝OC⋅cos30°=2×3∴AD＝OA﹣OD＝2−3∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣OE=3−（2−3即点E的坐标为（23−2当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝23−2∴点E的横坐标为：(23点E的纵坐标为：（23−2）×sin60°＝3−故答案为：（23−2，0）；（【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．18．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42．【分析】分类讨论：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，利用三角函数的定义可得DF＝2sinα，BE＝2cosα，则根据三角形面积公式得到S四边形ADBC＝S△AOD+S△BOC+S△AOC＝2sinα+2cosα+2，利用三角公式得到S四边形ADBC＝22sin（45°+α）+2，利用正弦的性质得sin（45°+α）≤1，于是可得此时S四边形ADBC的最大值为22+2；当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，同理可得DF＝2sinα，OF＝2cosα，BE＝2cosα，OE＝2sinα，根据三角形面积公式得S四边形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC＝4sinα+4cosα，同样可得S四边形ABCD＝42sin（45°+α），由于sin（45°+α）≤1，则可得到S四边形ADBC的最大值为42，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42【解答】解：当k＜0，如图1，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，∵⊙O经过点A（2，0）、C（0，2），∴⊙O的半径为2，在Rt△OFD中，∵sin∠FOD=DF∴DF＝2sinα，同理可得BE＝2cosα，S四边形ADBC＝S△AOD+S△BOC+S△AOC=12•2•2sinα+12＝2sinα+2cosα+2＝22（22sinα+22＝22（sin45°•cosα+cos45°•sinα）+2＝22sin（45°+α）+2，∵sin（45°+α）≤1，∴S四边形ADBC≤22+2，即此时S四边形ADBC的最大值为22当k＞0，如图2，作BE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，设∠AOD＝α，则∠EBO＝α，同理可得DF＝2sinα，OF＝2cosα，BE＝2cosα，OE＝2sinα，S四边形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC=12•2•2sinα+12•2•sinα+1＝4sinα+4cosα＝42（22sinα+22＝22（sin45°•cosα+cos45°•sinα）＝42sin（45°+α）∵sin（45°+α）≤1，∴S四边形ADBC≤42，即此时S四边形ADBC的最大值为42，综上所述，四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为42．故答案为42．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质；理解坐标与图形性质；学会构造直角三角形和解直角三角形；会运用三角函数公式．19．如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝67.5°，若AB=42，则BG＝22−【分析】连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC＝BC，且∠C＝90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A＝45°，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB﹣OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长．【解答】解：连接OD．∵CD切⊙O于点D，∴∠ODA＝90°，∠DOA＝45°，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD=12∠∴∠CDG＝∠CDO﹣∠ODF＝90°﹣22.5°＝67.5°．∵AC为圆O的切线，∴OD⊥AC，又O为AB的中点，∴AO＝BO=12AB＝2∴圆的半径DO＝FO＝AOsinA＝22×∴BF＝OB﹣OF＝22−∵GC⊥AC，OD⊥AC，∴OD∥CG，∴∠ODF＝∠G，又∠OFD＝∠BFG，∴△ODF∽△BGF，∴ODBG=OF∴BG＝22−故答案为：67.5°，22−【点评】此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，当点P在直径OB上运动时，连CP并延长与⊙A相交于点Q，PO＝2或2+23时，△OCQ是等腰三角形．【分析】本题分两种情况：①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．【解答】解：①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；如图①，∵OA是半径，∴OC=∴OC＝OQ1，∴△OCQ1是等腰三角形；又∵△AOC是等边三角形，∴P1O=12②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；如图②，∵A是圆心，∴DQ2是OC的垂直平分线，∴CQ2＝OQ2，∴△OCQ2是等腰三角形；过点Q2作Q2E⊥x轴于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE＝∠OAD=12∠∴Q2E=12AQ2＝2，AE＝2∴点Q2的坐标（4+23在Rt△COP1中，∵P1O＝2，∠AOC＝60°，∴C∴C点坐标（2，23设直线CQ2的关系式为y＝kx+b，则−2=(4+23解得k=−1b=2+2∴y＝﹣x+2+23；当y＝0时，x＝2+23，∴P2O＝2+23．故答案为：2或2+23．【点评】本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点．要注意等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论．三．解答题21．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．【分析】（1）连OD可得OD⊥AC，又有OA＝OC，所以第一问可求解；（2）证明O1D⊥DE即可；（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，所以四条边相等，再根据角之间的关系，即可得出其形状．【解答】证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质及正方形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P是BC上一点（不与B，C重合），连接AP，将AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ，连接BQ，分别交AC，AP于点D，E，作QF⊥AC于点F．（1）求证：QF＝AC；（2）若P是BC的中点，求tan∠ADQ的值；（3）若△AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长．【分析】（1）由旋转的性质得出PA＝PQ，∠PAQ＝90°，则∠PAC+∠QAF＝90°，证明△QAF≌△APC（AAS），由全等三角形的性质得出QF＝AC；（2）由（1）知，△QAF≌△APC，得出AF＝PC＝2，证明△QDF≌△BDC（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DC＝1，则可得出答案；（3）证明△QFA≌△QFD（ASA），由全等三角形的性质得出AF＝FD，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵将AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ，∴PA＝PQ，∠PAQ＝90°，∴∠PAC+∠QAF＝90°，又∵∠PAC+∠APC＝90°，∴∠QAF＝∠APC，∵∠QFA＝∠C＝90°，∴△QAF≌△APC（AAS），∴QF＝AC；（2）解：若P是BC的中点，则PC=12由（1）知，△QAF≌△APC，∴AF＝PC＝2，∴FC＝2，∵QF＝AC＝BC，∠QFD＝∠C＝90°，∠QDF＝∠BDC，∴△QDF≌△BDC（AAS），∴DF＝DC＝1，∵QF＝AC＝4，∴tan∠ADQ=QF（3）若△AEQ的内心在QF上，则QF平分∠AQD，∵QF⊥AC，QF＝QF，∴△QFA≌△QFD（ASA），∴AF＝FD，∵DF＝DC，∴AF＝FD＝DC=4∴CP＝AF=4∴BP＝4−4【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，旋转的性质，三角形内心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥AC于点F，交⊙O于点E，AC交BE于点H，点D为OE延长线上的一点，且∠ODA＝∠BEC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•BE；（3）若⊙O的半径为5，cosB=45，求【分析】（1）先判断出∠BSC＝∠ODA，进而判断出∠BAC+∠DAF＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠ACE＝∠CBE，进而判断出△CEH∽△BEC，即可得出结论；（3）先由三角函数求出BE，进而求出CE＝AE＝6，再借助（2）的结论求出EH，最后用勾股定理求解，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ODA＝∠BEC，∠BEC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ODA，∵OF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ODA+∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠DAF＝90°，∴∠OAD＝90°，∴AB⊥AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD是⊙O的切线；（2）如图1，连接BC，∵OD⊥AC，∴AE=∴∠ECH＝∠EBC，∵∠CEH＝∠BEC，∴△CEH∽△BEC，∴CEBE∴CE2＝EH•BE；（3）如图2，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝10，在Rt△ABE中，cosB=BE∴BE=45AB＝8，根据勾股定理得，AE∵OD⊥AC，∴CE＝AE＝6，由（2）知，BE2＝EH•BE，∴62＝EH×8，∴EH=9在Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH=A【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，构造出直角三角形是解本题的关键．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，与AC相切于点E，交BC于点P，交AB于点H，作EF⊥AB于点F，连接EH，EP．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：HE•EB＝PB•AE；（3）若F是AB的中点，AB＝4，求四边形OEPB的周长．【分析】（1）连接OE，由切线的性质得出∠OEA＝∠ACB＝90°，由平行线的判定得出OE∥BC，则∠OEB＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠OBE＝∠OEB，则可得出结论；（2）证明△AHE∽△EPB，由相似三角形的性质得出HEPB（3）证明△BEF≌△BEC（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝BF，得出∠A＝30°，证明△OBP是等边三角形和△EOP是等边三角形，由等边三角形的性质得出OE＝EP＝PB＝OB，求出PB的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，如图1，∵AC与⊙O相切于点E，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠EBC，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠EBC，∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵BH是⊙O的直径，∴∠BEH＝90°，∴∠AEH+∠BEC＝90°，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠AEH＝∠EBC，∵点B，H，E，P四点在⊙O上，∴∠BHE+∠EPB＝180°，又∵∠BHE+∠AHE＝180°，∴∠AHE＝∠EPB，∴△AHE∽△EPB，∴HEPB∴HE•EB＝PB•AE；（3）解：由（1）可得：∠ABE＝∠EBC，∵EF⊥AB，∴∠EFB＝∠ECB＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC＝BF，又∵点F是AB的中点，∴BC＝BF=12∴∠A＝30°，∴∠ABC＝∠AOE＝60°，连接OP，如图2，∵OB＝OP，∴△OBP是等边三角形，∴∠POB＝60°，∴∠EOP＝60°，同理可得△EOP是等边三角形，∴OE＝EP＝PB＝OB，∠PEC＝30°，∴PC=12∴BP+CP=32∴PB=4∴四边形OEPB的周长为43【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及圆的性质定理．25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD为不过圆心且垂直于AB的弦，CD交AB于点E，连接CO并延长交⊙O于点F，连接CB和DF并延长交于点G．（1）求证：CF＝GF；（2）填空：①当∠BGF＝30°时，四边形BODF为菱形；②若AB＝6，则△COE面积的最大值是94【分析】（1）先判断出AB∥DF，进而判断出BC＝CG，再判断出BF⊥CG，即可得出结论；（2）①先判断出△BOF是等边三角形，得出∠BOF＝60°，即可得出结论；②设出OE＝a，则CE=9−a2，进而得出S△【解答】解：（1）如图，连接BF，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∠CDF＝90°，∵CD⊥AB，AB为直径，∴∠CEB＝90°，CE＝DE，∴∠CEB＝∠CDF＝90°，∴AB∥DF，∴CB＝BG，∴BF是CG的垂直平分线，∴CF＝GF；（2）①如图，连接OD，BF，∵四边形BODF是菱形，∴OB＝BF，∵OB＝OF，∴OB＝OF＝BF，∴△BOF是等边三角形，∴∠BOF＝60°，∴∠BCF=12∠由（1）知，CF＝GF，∴∠BGF＝∠BCF＝30°，故答案为：30°；②设OE＝a，由（1）知，∠OEC＝90°，在Rt△COE中，OC=12∴CE=O∴S△COE=12CE•OE=1∴当a2=92，即a=322时，S故答案为：94【点评】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，判断出BF是CG的垂直平分线是解本题的关键．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB＝∠E；（2）当AB＝6，BE＝3时，求AD的长？（3）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．【分析】（1）先判断出∠ABC＝∠ACB，再判断出∠ADB＝∠ABC，进而得出∠ABC＝∠AED，即可得出结论；（2）判断出△ABD∽△ADE，得出比例式，即可得出结论．（3）先判断出AD⊥BC，AD过圆心，进而得出AD⊥ED，即可得出结论．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠AED，∴∠ADB＝∠E；（2）解：由（1）知，∠ADB＝∠E，∵∠BAD＝∠BAD，∴△ABD∽△ADE，∴ABAD∵AB＝6，BE＝3，∴6AD∴AD＝36，∴AD的长为36；（3）当D为BC的中点时，DE是⊙O的切线，理由为：∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD过圆心，∵DE∥BC，∴AD⊥ED，∵点D在⊙O上，∴DE为圆O的切线．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．27．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求AD的长；（2）试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）延长CA到F，使AF＝CB，连接DF，证明△ADF≌△BDC（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝FD，∠CDB＝∠FDA，得出∠CDF＝∠ADB＝90°，则△CDF为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论；（3）连接OM，PM，证明△OMD≌△OMP（SAS），由全等三角形的性质得出∠OMD＝∠OMP＝135°，则点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD左右两种情况），求出OO'的长，由弧长公式可得出答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD=∴AD＝BD，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD＝BD=22AB=2（2）CA+CB=2CD证明如下：延长CA到F，使AF＝CB，连接DF，∵∠CBD+∠CAD＝180°，∠FAD+∠CAD＝180°，∴∠CBD＝∠FAD，在△ADF和△BDC中，AD=BD∠CBD=∠FAD∴△ADF≌△BDC（SAS），∴CD＝FD，∠CDB＝∠FDA，∴∠CDF＝∠ADB＝90°，△CDF为等腰直角三角形，∴CA+CB＝CF=2CD（3）连接OM，PM，∵PE⊥OD，∴∠PEO＝90°，∵点M为△OPE的内心，∴∠OMP＝135°，在△OMD和△OMP中，OD=OP∠DOM=∠POM∴△OMD≌△OMP（SAS），∴∠OMD＝∠OMP＝135°，∴点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD左右两种情况）：设弧OMD所在圆的圆心为O'，∵∠OMD＝135°，∴∠OO'D＝90°，∴O'O=22OD∴OD的长为90×π×52∴点M的路径长为522【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．28．如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CB、CE于点F、P，连接AC．（1）求证：GP＝GD；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．【分析】（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD＝∠GDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积进而得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，∵∠ODA+∠GDP＝90°，∠EAP+∠GPD＝∠EPA+∠E