2024-2025学年高中数学第四章定积分1定积分的概念课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第四章定积分授课提示：对应学生用书第95页[A组基础巩固]1．下列等式不成立的是()A.eq\i\in(a,b,)[mf(x)＋ng(x)]dx＝meq\i\in(a,b,)f(x)dx＋neq\i\in(a,b,)g(x)dxB.eq\i\in(a,b,)[f(x)＋1]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋b－aC.eq\i\in(a,b,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx·eq\i\in(a,b,)g(x)dxD.eq\i\in(－2π,2π,)sinxdx＝＋解析：由定积分的性质知选项A、B、D正确，故选C.答案：C2．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则eq\i\in(,2,)－2f(x)dx的值为()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不确定解析：易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质eq\i\in(,2,)－2f(x)dx＝0.答案：A3．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲边梯形的面积S可表示为()A. B.C．－eq\i\in(－1,3,)f(x)dx D．解析：因为f(x)位于x轴下方，故f(x)<0.所以<0.故所求曲边梯形的面积为答案：C4．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为()A．e2,0 B．2,0C．2,1 D．1,0解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex，,x＝2，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝e2.))所以积分上限为2，积分下限为0.答案：B5．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,27) D.eq\f(1,30)解析：将区间[0,1]三等分为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，各小矩形的面积和为s1＝03·eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3·eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3·eq\f(1,3)＝eq\f(9,81)＝eq\f(1,9).答案：A6．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，则eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝________.解析：eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝6eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝36.答案：367．若eq\i\in(0,a,)xdx＝1，则实数a的值为________．解析：由定积分的几何意义知eq\i\in(0,a,)xdx＝eq\f(1,2)×a×a＝1(a>0)．则有a＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．利用定积分的性质、几何意义和被积函数的奇偶性求出＝________.解析：＝＋由于y＝sin5x为奇函数，所以＝0.而＝3，所以＝3.答案：39．化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：(1)eq\i\in(－3,－2,)x2dx＋(2)eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx.解析：(1)eq\i\in(－3,－2,)x2dx＋＝，它所表示面积的图形如图(1)．(1)(2)(2)eq\i\in(0,1,)(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|1－x|dx，它所表示面积的图形如图(2)．10．利用定积分的性质和几何意义求下列定积分(提示：若椭圆为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则其面积为πab)．(1)eq\i\in(0,3,)eq\r(2－x2)dx；(2).解析：(1)原式＝eq\i\in(0,3,)|2－x|dx＝eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＋eq\i\in(2,3,)(x－2)dx，如图所示．由几何意义知eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\i\in(2,3,)(x－2)dx＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴eq\i\in(0,3,)eq\r(2－x2)dx＝eq\f(5,2).(2)被积函数eq\f(4,5)eq\r(25－x2)的图像是中心在原点，长轴在x轴，短轴在y轴上的半椭圆．椭圆的面积是πab，其中a＝5，b＝4，∴＝eq\f(π×5×4,2)＝10π.[B组实力提升]1．已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝56，则()A.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝28B.eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝28C.eq\i\in(1,2,)2f(x)dx＝56D.eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56解析：eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56.答案：D2．已知定积分∫eq\o\al(12,0)f(x)dx＝6，且f(x)为奇函数，则eq\i\in(－12,12,)f(x)dx等于()A．0 B．16C．12 D．8解析：由f(x)为奇函数，则，所以eq\i\in(－12,12,)f(x)dx＝＋∫eq\o\al(12,0)f(x)dx＝0.故选A.答案：A3．若a＝，b＝，c＝，则三者之间的大小关系为________．解析：x∈(0，eq\f(π,4))时，sinx<x<tanx，所以b<a<c.答案：b<a<c4．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的匀称随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满意yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值为________．解析：由匀称随机数产生的原理知：在区间[0,1]上满意yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方，又0≤f(x)≤1，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤1,y≤fx))围成的图形的面积是eq\f(N1,N)，由定积分的几何意义知eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).答案：eq\f(N1,N)5．已知：eq\i\in(0,1,)exdx＝e－1，eq\i\in(1,2,)exdx＝e2－e，eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(8,3)，eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx＝2ln2.求：(1)eq\i\in(0,2,)exdx；(2)eq\i\in(0,2,)(ex＋3x2)dx；(3)eq\i\in(1,2,)(ex＋eq\f(1,x))dx.解析：(1)eq\i\in(0,2,)exdx＝eq\i\in(0,1,)exdx＋eq\i\in(1,2,)exdx＝e－1＋e2－e＝e2－1.(2)eq\i\in(0,2,)(ex＋3x2)dx＝eq\i\in(0,2,)exdx＋eq\i\in(0,2,)(3x2)dx＝eq\i\in(0,2,)exdx＋3eq\i\in(0,2,)x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.(3)eq\i\in(1,2,)(ex＋eq\f(1,x))dx＝eq\i\in(1,2,)exdx＋eq\f(1,2)eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx＝e2－e＋ln2.6．用定积分定义求自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内，物体下落的距离s.解析：(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份，把时间[0，t]分成n个小区间[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)](i＝1,2，…，n)．每个小区间所表示的时间Δt＝eq\f(it,n)－eq\f(i－1,n)t＝eq\f(t,n).在各个小区间物体下落的距离记为Δs1，Δs2，…，Δsn.(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在小区间[eq\f(i－1,n)t，eq\f(i,n)t]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，为计算便利，取ξi为小区间的左端点，用时刻ξi的速度v(ξi)＝geq\f(i－1,n)t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体在Δt＝eq\f(t,n)内所经过的距离，可以近似地表示为Δsi≈g·(eq\f(i－1,n)·t)·eq\f(t,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n