2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE3．1.3空间向量的数量积运算内容标准学科素养1.驾驭空间向量夹角和模的概念及表示方法．2.驾驭空间向量数量积及运算律．3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题.利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第57页[基础相识]学问点一空间向量的夹角eq\a\vs4\al(预习教材P90－91，思索并完成以下问题)(1)如图所示的等边三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是60°吗？提示：不是．(2)如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AA1和D1C1的中点，如何确定eq\o(BE,\s\up6(→))和eq\o(FD,\s\up6(→))的夹角．提示：与平面对量的夹角定义一样，上图中eq\o(BE,\s\up6(→))与eq\o(FD,\s\up6(→))的夹角就是eq\o(F′A,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))的夹角．即∠AGE就是eq\o(BE,\s\up6(→))与eq\o(FD,\s\up6(→))的夹角．学问梳理空间向量的夹角(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a与b相互垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝eq\f(π,2).学问点二空间向量的数量积及其性质eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)平面对量的数量积a·b的结果怎样？这一结果是向量还是数量？数量积满意什么运算律？提示：|a||b|cosα(α为a与b的夹角)是数量．交换律a·b＝b·a.安排律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.类比平面对量的数量积运算的定义，可以推广到空间向量的数量积的定义及运算律．学问梳理数量积的概念及运算律(1)已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的性质①a⊥b⇔a·b＝0.②|a|2＝a·a，|a|＝eq\r(a·a).③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(安排律)．特殊提示：不满意结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．[自我检测]1．在正四面体ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角等于()A．30° B．60°C．150° D．120°答案：D2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))等于()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)答案：C3．已知空间向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·(2a－3b答案：5授课提示：对应学生用书第57页探究一求空间向量的数量积[教材P98习题3.1A组4题]如图，已知空间四边形ABCD的每条边及AC，BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(4)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(5)eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(6)eq\o(GE,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(DB,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2)a2.(3)eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(GF,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos180°＝－eq\f(1,2)a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(GF,\s\up6(→))|＝\f(1,2)|\o(AC,\s\up6(→))|＝\f(1,2)a)).(4)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(1,4)a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(EF,\s\up6(→))|＝\f(1,2)|\o(BD,\s\up6(→))|＝\f(1,2)a)).(5)eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝|eq\o(FG,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,4)a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(FG,\s\up6(→))|＝\f(1,2)|\o(AC,\s\up6(→))|＝\f(1,2)a)).(6)eq\o(GE,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(GC,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))))·eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))))·eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)|eq\o(DC,\s\up6(→))|·|eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|·cos60°＋eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(CA,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(1,4)a2.[例1]已知长方体ABCD­A1B1C1D中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→)).[解析]如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.方法技巧由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，肯定要依据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算精确．跟踪探究1.已知空间向量a，b满意|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值．(1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b解析：∵|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°(1)∴a·b＝4×8×cos150°＝－16eq\r(3).(2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6＝2×42＋(－16eq\r(3))－6×82＝－352－16eq\r(3).探究二利用数量积求夹角[教材P92练习(1)]如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°解析：设BB1＝1，则AB＝eq\r(2)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1－eq\r(2)×eq\r(2)·cos60°＝0，∴AB1⊥C1B.答案：B[例2]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求向量eq\o(BC1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角的大小．[解析]法一：因为eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))，所以∠D1AC即为向量eq\o(BC1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角．因为△D1AC为等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°.所以向量eq\o(BC1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°.法二：设正方体的棱长为1，则eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD2,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AD2,\s\up6(→))＋0＋0＝eq\o(AD2,\s\up6(→))＝1.又|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).因为〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，所以〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°.所以向量eq\o(BC1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°.方法技巧两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的学问求解；(2)利用数量积求夹角：运用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)进行求解．跟踪探究2.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解析：因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16eq\r(2)＋24.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\a\vs4\al(\o(OA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|))＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5)，即OA与BC所成角的余弦值为eq\f(3－2\r(2),5).探究三利用数量积求距离或长度[教材P92练习2]如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求AC′的长．解析：∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，∴eq\o(AC′2,\s\up6(→))＝eq\o(AB2,\s\up6(→))＋eq\o(AD2,\s\up6(→))＋eq\o(AA′2,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＝16＋9＋25＋2×4×5×eq\f(1,2)＋2×3×5×eq\f(1,2)＝85，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(85)，即AC′的长为eq\r(85).[例3]正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求[解析]如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，所以EF2＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋c2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))＝eq\f(1,4)×22＋eq\f(1,4)×22＋22＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以EF＝eq\r(5).方法技巧求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离．延长探究例3的条件不变，求EC1的长．解析：由例3的解答知eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a＋c，所以|eq\o(EC1,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a＋c))2＝eq\f(1,4)a2＋b2＋c2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a·b－\f(1,2)a·c＋b·c))＝eq\f(1,4)×4＋4＋4－2×2×eq\f(1,2)＝7，所以|eq\o(EC1,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，即EC1＝eq\r(7).跟踪探究3.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．解析：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的长为2eq\r(17).探究四利用数量积证明垂直问题[教材P91例3]如图，m，n是平面α内的两条相交直线．假如l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.题型：用向量法证明空间中的垂直关系方法步骤：(1)在平面α内任作一条直线g.分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g；(2)由平面对量基本定理得g＝xm＋yn；(3)求出l·g＝0得l⊥g，所以l⊥g即l⊥α.[例4]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.[证明]取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1.则有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OB1,\s\up6(→))＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)|b|2＋a·c＋b·c＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(OB1,\s\up6(→))，即AC⊥OB1.∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(OB1,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)|b|2＋c·b＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)|c|2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0，∴eq\o(OB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，即OB1⊥AP.又∵AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面APC.方法技巧利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直，然后把直线转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的线性运算以及数量积运算，证明直线所在向量的数量积等于零，即可证明线线垂直．跟踪探究4.已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.证明：如图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)[(b－a)＋c]．同理，eq\o(QN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)[(b－a)－c]．∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)(|b－a|2－|c|2)．又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(QN,\s\up6(→))，即PM⊥QN.授课提示：对应学生用书第59页[课后小结](1)因为空间随意两个向量都可以转化为共面对量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面对量相同．(2)求空间向量的数量积要找到两个