贵州省黔西南州安龙县第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

安龙四中2024年秋季学期高二年级10月月考数学考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（）A. B. C. D.2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（）A.150° B.120° C.60° D.30°3.在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（）A. B.C. D.4.设，，向量，，，且，，则（）A. B.-1 C.1 D.05.已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（）A. B.C. D.6.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.7.已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（）A. B.2 C. D.48.已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，，为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有（）A.，，共面 B.，，，中至少有三点共线C.与共线 D.，，，四点共面10.已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（）A. B.C. D.11.已知正方体的边长为2，、、、分别为、、、的中点，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.点到平面的距离为2 D.二面角的大小为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平行直线与之间的距离为______.13.已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______.14.阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值；（2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程.16.（本小题满分15分）如图，已知平行六面体中，，，，.（1）证明：；（2）求的长度.17.（本小题满分15分）在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.（1）求直线与所成角的大小；（2）判断直线与平面的关系.18.（本小题满分17分）已知直线：（）.（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，.点为的中点，且.（1）证明：平面平面；（2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长.

安龙四中2024年秋季学期高二年级10月月考·数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BACDADCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ADACDBC1.B纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数.2.A因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选A.3.C，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选C.4.D因为，故，故，因为，故，故，故，故选D.5.A线段的中点坐标为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线的方程为，整理为.6.D已知，，，可得，，，，故向量在上的投影向量为.故选D.7.C因为直线：和直线：平行，且点到它们的距离相等，所以点在直线：上，当时，点到坐标原点的距离最小，，故选C.8.D建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，，，，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.9.AD由于向量，，不能构成空间的一组基底，则，，共面，所以，，，四点共面，故选AD.10.ACD直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为.直线：可化为，斜率为，在轴上的截距为.当时，直线与平行，故A可能.选项B中，由直线可得，.而由直线的斜率为，可得，故B不可能.在选项C中，由直线的斜率，而直线在轴上的截距.直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C可能.选项D中，由直线得，.再由直线也可得，，故D可能.11.BC以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，.∵，∴，A项错误，.设为平面的一个法向量，则，即，令，得，则，∵，∴平面，则B项正确；∵，∴点到平面的距离为，C项正确；由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以D项不正确.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线即为，则平行直线与之间的距离为.13.如图所示，是直线与直线交点的横坐标，当与重合时，取最大值，当与重合时，取最小值，所以的取值范围是.14.平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以.设直线与平面所成角的大小为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.解：（1）由，即，解得或，经检验均符合题意，故的值是1或2.（2）因为方程组的解为，所以两条直线和的交点坐标为，由题意知直线经过点.又直线经过原点，所以直线的方程为，即.16.设，，，（1）证明：，，∵，，∴，，，∵，∴，即.（2）解：.∴，∴的长度为.17.解：（1）由题意可知，、、两两垂直，分别以、、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，∴.∴直线与所成角为.（2）由（1）可得，∴，，∴，，∵，、平面，∴平面.18.解：（1）因为直线：，即，令，得，，即直线过定点所以无论取何值，直线始终经过第一象限.（2）因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，令，解得；令，得，即，，∴.∵，∴，则，当且仅当，即时，取得等号，则，∴，从而的最小值为4，此时直线的方程为，即.19.（1）证明：因为点为的中点，且，所以，则，又，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，