3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（六大题型）（原卷版）

3．3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课程标准学习目标1、正确理解函数零点的概念．2、理解一元二次方程与二次函数的关系．3、掌握图象法解一元二次方程．4、能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．1、数学抽象：函数零点概念的理解．2、直观想象：掌握图象法解一元二次方程．3、数学运算：函数零点的计算、掌握图象法解一元二次不等式．知识点01一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有．(填序号)知识点02二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．【即学即练2】（2023·河南郑州·高一统考期末）已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为．知识点03二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．【即学即练3】若一元二次不等式的解集是，则的值是.知识点04利用不等式解决实际问题的一般步骤（1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；（3）求解所列出的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案．【即学即练4】（2023·全国·高一专题练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是．知识点05一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．【即学即练5】已知函数．(1)若，试求的最小值；(2)对于任意的，不等式成立，试求的取值范围．知识点06简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【即学即练6】不等式的解集为.题型一：解不含参数的一元二次不等式【典例11】（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式：(1)(2)【典例12】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．（4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．（5）根据图象写出不等式的解集．【变式11】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【变式12】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是．【变式13】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．【变式14】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【典例21】（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．不等式的解集为B．的解集为C．的最小值为D．的最小值为【典例22】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）（多选）不等式的解集是，对于系数a,b,c，下列结论正确的是（

）A．a>0 B．C． D．【方法技巧与总结】三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【变式21】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【变式22】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（

）A． B．C． D．【变式23】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（

）A．－3 B．3 C．－2 D．2【变式24】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．的解集为【变式25】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【典例31】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或．(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式的解【典例32】（2024·高一·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为-3,2，求实数、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【变式31】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：．【变式32】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）；【变式33】（2024·高一·天津·期中）解关于变量的不等式：．【变式34】（2024·高一·全国·专题练习）求不等式的解集．【变式35】（2024·高一·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围；（2）已知，解不等式．【变式36】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：．【变式37】（2024·高一·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或．(1)求的值；(2)解关于的不等式．题型四：一次分式不等式的解法【典例41】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）不等式的解集是.【典例42】（2024·高一·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且【变式41】（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为．【变式42】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为．【变式43】（2024·高一·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则，此时不等式的解集为．【变式44】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为．【变式45】（2024·高一·上海·单元测试）分式不等式的解集为．【变式46】（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是.题型五：实际问题中的一元二次不等式问题【典例51】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是.【典例52】（2024·高一·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为．【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．【变式51】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为．【变式52】（2024·高一·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km．问：从此时起，经h后A市将受热带风暴影响，大约受影响h.【变式53】（2024·高一·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为．【变式54】（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是．(假设每件衬衫的售价是m)【变式55】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【变式56】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.(2)要使总费用最小，求x的值.题型六：不等式的恒成立问题【典例61】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知不等式.(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.【典例62】当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．【变式61】（2024·高一·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【变式62】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知.(1)当时，求满足的值的集合；(2)求满足的值的集合；(3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围.【变式63】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【变式64】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【变式65】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（

）A． B．C． D．1．（2024·高一·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（）A． B．1 C．2或 D．2．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（

）A． B．C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（）A． B． C． D．6．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．8．（2024·高一·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（

）．A．4 B．40 C．8 D