考点10反比例函数及其应用

考点10反比例函数及其应用反比例函数这个考点在中考数学中，单独出题几率比较的大，常考考点为：反比例函数图象的性质、K的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等。其中前三个考点多以选择填空题的形式出题，后三个考点则是基础简答题以及压轴题。在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题。综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究。反比例函数图象的性质反比例函数与不等式间的关系反比例函数点的坐标特征反比例函数比例系数k的几何意义反比例函数的应用考向一：反比例函数图象的性质解析式图象所在象限第一、三象限（x、y同号）第二、四象限（x、y异号）增减性在其每个象限内，y随x的增大而减小在其每个象限内，y随x的增大而增大对称性关于直线y=x，y=x成轴对称；关于原点成中心对称【易错警示】反比例函数增减性的描述，一定要有“在其每个象限内”这个前提；由图象去求k值时，一定要注意其正负符号增减性的直接应用技巧：若点A（x1,y1）,点B（x2,y2）在反比例函数的同一支上，则有当k＞0时，若x1＞x2，则y1＜y2；当k＜0时，若x1＞x2，则y1＞y2；1．反比例函数y＝图象的对称轴的条数是2条．【分析】任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．【解答】解：沿直线y＝x或y＝﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故答案为：2．2．如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是（﹣2，1）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：由图象可知：直线y＝k1x经过原点与双曲线y＝相交于两点，又由于双曲线y＝与直线y＝mx均关于原点对称．则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（2，﹣1），则另一个交点的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．3．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位第二、四象限，则k的取值范围是k＜2022．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位第二、四象限，∴k﹣2022＜0，解得k＜2022，故答案为：k＜2022．4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（﹣3，2） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．在每一个象限内．y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴图象必经过点（﹣3，2），故选项A正确，不符合题意；图象位于第二、四象限，故选项B正确，不符合题意；图象关于原点对称，故选项C正确，不符合题意；在每一个象限内．y随x的增大而增大，故选项D不正确，符合题意；故选：D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A．B． C．D．【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【解答】解：若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，故选：A．6．边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．6【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．【解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．∵正方形的对称中心是坐标原点O，∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×4×4＝4，∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，∴阴影部分的面积＝4×2＝8．故选：C．7．函数y＝的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），针对y1与y2的大小关系，三人的说法如下，甲：若x1＜0＜x2，则y1＞y2；乙：若x1+x2＝0，则y1＝y2；丙：若0＜x1＜x2，则y1＞y2．下列判断正确的是（）A．只有甲错B．只有丙对C．甲、丙都对D．甲、乙、丙都错【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得出答案．【解答】解：如图，函数y＝的图象为，∴可知函数的图象关于y轴对称，若x1＜0＜x2，则不能判断y1，y2的大小，故甲是错误的；若x1+x2＝0，则y1＝y2，故乙是正确的；∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2，则y1＞y2，故丙是正确的；故选：A．考向二：反比例函数与不等式间的关系当反比例函数与一次函数的图象相交时，会产生如下两种图形，对应结论如下：1.如图①，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的两支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：n＜x＜0或x＞m若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＜n或0＜x＜m①2.如图②，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的同一支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：m＜x＜n或x＜0若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＞n或0＜x＜m②反比例函数与不等式结合考察增减性时，答案的形式都是包含2部分的（即谁或谁），并且其中一部分肯定与0有关！（特定问题中已经说明应用范围的例外）1．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，∴k＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为，∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，∴，∴B（﹣2，﹣1），由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，∴关于x的不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，故选：C．2．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数y＝的图象交于点B、C，点B的横坐标是4，点C的横坐标是﹣3，则不等式组0＜ax+b＜的解是（）A．﹣3＜x＜1 B．﹣3＜x＜4 C．﹣3＜x＜0 D．0＜x＜1【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于x的不等式0＜ax+b＜的解集．【解答】解：观察图象可得，当﹣3＜x＜0时，直线y＝ax+b位于x轴的上方、函数y＝图象得下方，∴不等式组0＜ax+b＜的解是﹣3＜x＜0．故选：C．3．如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．（3）请直接写出mx+n﹣＞0时，x的取值范围．【分析】（1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；（2）得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）把x＝﹣1，y＝2；x＝2，y＝b代入y＝，解得：k＝﹣2，b＝﹣1；把x＝﹣1，y＝2；x＝2，y＝﹣1代入y＝mx+n，解得：m＝﹣1，n＝1；（2）∵直线y＝﹣x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴点D的坐标为（0，﹣1），点B的坐标为（2，﹣1），∴△ABD的面积＝；（3）观察图象，当mx+n﹣＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．4．已知：正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，（1）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；（2）当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是y＜﹣或y＞2；（3）当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．【分析】（1）求出交点坐标，再求出反比例函数的关系式，代入计算即可得出答案；（2）求出当x＝﹣3，x＝2时，相应的反比例函数的值，再根据反比例函数图象得出答案即可；（3）根据对称性求出两个交点坐标，根据两个函数图象及交点坐标得出答案．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，∴这个交点的横坐标x＝y＝2，即这个交点的坐标为（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，当x＝﹣3时，y＝﹣，即当x＝﹣3时，反比例函数y＝的值为﹣；（2）当x＝2时，y＝＝2，当x＝﹣3时，y＝﹣，由反比例函数的图象可知，当﹣3＜x＜0时，即图象在第三象限，y＜﹣，当0＜x＜2时，即图象在第一象限，y＞2，∴当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是y＜﹣或y＞2，故答案为：y＜﹣或y＞2；（3）由对称性可知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交点A（2，2），B（﹣2，﹣2），所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．5．如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式为y2＞y3＞y1；（3）当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y的取值范围为﹣2＜y＜﹣；（4）观察图象，请直接写出不等式的解集：x＜﹣2或0＜x＜1．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式；（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式；（3）分别求出x＝﹣4和x＝﹣1时y的值即可得出结论；（4）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集．【解答】解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k2＝2，即双曲线解析式为y＝；将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：﹣1＝，即m＝﹣2，B（﹣2，﹣1），将A与B坐标代入直线解析式得：，解得：k1＝1，b＝1，则直线解析式为：y＝x+1；（2）∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，则y2＞y3＞y1．故答案为：y2＞y3＞y1；（3）当x＝﹣4时，y＝﹣＝﹣；当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴当﹣4＜x＜﹣1时，﹣2＜y＜﹣．故答案为：﹣2＜y＜﹣；（4）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），由y1＝k1x+b，y2＝，当y1＜y2时，利用函数图象得：不等式k1x+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．考向三：反比例函数点的坐标特征所有反比例函数上的点的横纵坐标相乘=比例系数k如果一个点在反比例函数的图象上，则该点的坐标符合其解析式，可以根据其解析式设出对应的点的坐标3.当反比例函数与其他图形结合考察时，多注意与反比例函数结合的图形的性质应用1．若反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣1），则这个函数的图象一定经过点（）A．（﹣，2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣，） D．（，2）【分析】将（1，﹣1）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣1），∴k＝1×（﹣1）＝﹣1，A、∵﹣×2＝﹣1，∴这个函数的图象一定经过点（﹣，1），故本选项符合题意；B、∵﹣2×（﹣1）＝2≠﹣1，∴这个函数的图象一定不经过点（﹣2，﹣1），故本选项不合题意；C、∵﹣×＝﹣2≠﹣1，∴这个函数的图象一定不经过点（﹣1，4），故本选项不合题意；D、∵×2＝1≠﹣1，∴这个函数的图象一定不经过点（2，3），故本选项不合题意．故选：A．2．在函数（m为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜0，∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣1＜0，∴点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，∴0＜y1＜y2，∵3＞0，∴点（3，y3）在第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．3．如图，直角三角形AOB的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，点A在反比例函数图象上，若反比例函数经过点B，那么k的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，由△BCO∽△ODA，可知，从而解决问题．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，∴△BCO∽△ODA，∴，∴，∵，∴，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，∴反比例函数的解析式为：，∴k＝﹣2．故选：B．4．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），反比例函数y＝（x＞0）的图象同时经过点B与点D，则k的值为9．【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上求出m的值，进而可得出k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），∴设B、D两点的坐标分别为（1，m+6）、（3，m），∵点B与点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝m+6＝3m，∴m＝3，∴k＝3×3＝9．故答案是：9．5．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，双曲线上在第一象限经过C，D两点，则k的值是．【分析】作DH⊥x轴于H，易证△ADH∽△BAO，根据相似三角形对应边成比例可得，即可求出点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数的表达式即可求出k值．【解答】解：作DH⊥x轴于H，将y＝0代入直线y＝﹣x+3得﹣x+3＝0，解得：x＝3．∴点A的坐标为（3，0）．将x＝0代入直线y＝﹣x+3得；y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∴OA＝3，OB＝3，∵∠BAD＝90°，∴∠DAH+∠BAO＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAH＝∠ABO．又∵∠DHA＝∠BOA＝90°，∴△ADH∽△BAO，∴，即．∴．∴，∴点D的坐标为．∵曲线在第一象限经过D点，∴，故答案为：．6．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝2OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为﹣4．【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC＝﹣x，AC＝﹣，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，∵∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝2OA，∴＝＝＝，∴OD＝2AC＝﹣，BD＝2OC＝﹣2x，∴B（﹣，2x），∵点B在反比例函数y＝图象上，∴k＝﹣×2x＝﹣4，故答案为：﹣4．考向四：反比例函数k的几何意义反比例函数k与几何图形结合常见模型：1．在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于6的是（）A．B． C．D．【分析】根据反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【解答】解：A、图形面积为|k|＝6；B、阴影是梯形，面积为9；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）＝6．故选：B．2．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】根据k的几何含义可得k的值，从而得出反比例函数的解析式，进而把点P的坐标代入，从而得出a的值．【解答】解：∵AB垂直于x轴，△OAB的面积为8，k＞0，∴k＝2×8＝16，∴y＝，∵点P（a，4）也在此函数的图象上，∴4＝，∴a＝4，故选：C．3．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为11，则求k的值（）A．﹣4 B．﹣11 C．11 D．【分析】连接OA，则有S△ABC＝2S△ADO，根据k的几何意义，可得＝2，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥y轴，∴AB∥OC，∵D是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADO，∵S△ADO＝，△ABC的面积为11，∴|k|＝11，根据图象可知，k＜0，∴k＝﹣11．故选：B．4．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：A．5．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为﹣4．【分析】设OM＝a＝MN＝NC，由点A、B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，可以表示AM、BN，由各个部分面积之间的关系列方程可求出k的值．【解答】解：设OM＝a，则OM＝MN＝NC＝a，∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，AM⊥OC、BN⊥OC，∴AM＝，BN＝，∵S△AOC＝S△AOM+S四边形AMNB+S△BNC，∴﹣×3a×＝﹣k+3﹣×a×，解得，k＝﹣4，故答案为：﹣4．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AC在y轴上，且OA＝OC，∠ACB＝30°，AC＝4，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）若BA的延长线与反比例函数y2＝﹣（x＜0）的图象在第二象限交于点D，求△BCD的面积．【分析】（1）连接OB，作BE⊥y轴于D，易证得△AOB是的等边三角形，即可求得S△AOB＝，进一步求得S△BOE＝k＝S△AOB＝，根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝；（2）作DF⊥y轴于F，利用反比例函数图象上点的坐标特征求得D的横坐标，进而即可求得△ACD的面积，由S△AOB＝，OA＝OC，即可求得S△ABC＝2S△AOB＝2，从而求得S△BCD＝S△ACD+S△ABC＝4．【解答】解：（1）连接OB，作BE⊥y轴于D，∵Rt△ABC的斜边AC在y轴上，且OA＝OC，AC＝4，∴OB＝AC＝OA＝2，∵∠ACB＝30°，∴∠OAB＝60°，∴△AOB是的等边三角形，∴S△AOB＝＝，∴S△BOE＝k＝S△AOB＝，∴k＝；（2）作DF⊥y轴于F，∵∠DAF＝∠OAB＝60°，∴DF＝AF，设OF＝n，则AF＝n﹣2，∴DF＝（n﹣2），∴D（（2﹣n），n），∵点D在反比例函数y2＝﹣（x＜0）的图象上，∴（2﹣n）•n＝﹣3，即n2﹣2n﹣3＝0，解得n1＝3，n2＝﹣1（舍去），∴DF＝×（3﹣2）＝，∴S△ACD＝AC•DF＝＝2，∵S△AOB＝，OA＝OC，∴S△ABC＝2S△AOB＝2，∴S△BCD＝S△ACD+S△ABC＝4．考向五：反比例函数的应用一．反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式，画出函数图象，再根据函数图象的性质解决相关问题，同时注意自变量的取值范围二．反比例函数与一次函数的结合问题应对策略：①确定解析式，由一次函数解析式确定反比例函数解析式，由反比例函数解析式确定一次函数解析式②求交点坐标，通常联立反比例函数解析式与一次函数解析式③利用函数图象求解对应的不等式，需要过交点坐标作x轴的垂线1．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体）的密度也会随之改变，密度ρ（kg/m3）是体积V（m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m2时，气体的密度是（）kg/m3．A．1 B．2 C．4 D．8【分析】设密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）的反比例函数解析式为ρ＝，把点（4，2）代入解析式求出k，再把v的值代入解析式即可求出气体的密度．【解答】解：设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，把点（4，2）代入解ρ＝，得k＝8，∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，把V＝8代入ρ＝，得ρ＝1．故选：A．2．甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据题意可知xy的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定乙校的优秀人数最多．【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，∵描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴甲、丁两所学校的优秀人数相同，∵点乙在反比例函数图象上面，∴乙校的xy的值最大，即优秀人数最多，故选：B．3．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880 B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0） C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），∵该图象经过点P（880，0.25），∴＝0.25，∴U＝220，∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；故选：D．4．随着私家车数量的增加，城市的交通也越来越拥堵．通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车的行驶速度低于40千米/时时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米车的数量x（x＞0）的取值范围是（）A．0≤x≤20 B．10＜x＜20 C．0＜x＜20 D．0＜x≤20【分析】利用已知反比例函数图象过（10，80），得出其函数解析式，再利用y＝40时，求出x的最值，进而求出x的取值范围．【解答】解：设反比例函数的解析式为：y＝（x≥10），则将（10，80），代入得：80＝，解得k＝800，∴反比例函数的解析式为y＝（x≥10），故当车速度为40千米/时，则40＝，解得：x＝20，故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0＜x≤20（x为整数）．故选：D．5．为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x（min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；（2）利用y＝3时分别代入求出答案．【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），代入（8，6）得6＝8k1，∴k1＝，设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），代入（8，6）得6＝，∴k2＝48，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为：y＝（x＞8），∴y＝；（2）有效，理由如下：把y＝3代入y＝x，得：x＝4，把y＝3代入y＝，得：x＝16，∵16﹣4＝12，∴这次消毒是有效的．1．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A．B． C．D．【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【解答】解：若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于二、四象限，若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y＝（ab≠0）位于一、三象限，故选：A．2．（2022•海南）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（6，1）【分析】将（2，﹣3）代入y＝（k≠0）即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，A、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A不正确，不符合题意；B、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B不正确，不符合题意；C、1×（﹣6）＝﹣6，故C正确，符合题意，D、6×1＝6≠﹣6，故D不正确，不符合题意．故选：C．3．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C．3×0＝0，故本选项不符合题意；D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B．4．（2022•云南）反比例函数y＝的图象分别位于（）A．第一、第三象限B．第一、第四象限 C．第二、第三象限D．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y＝，k＝6＞0，∴该反比例函数图象位于第一、三象限，故选：A．5．（2022•益阳）反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是1（答案不唯一）．（写出一个符合条件的k值即可）．【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．【解答】解：由反比例函数y＝的图象位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，∴k＜2，∴k的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）．6．（2022•济宁）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是4．【分析】根据三角形的中线把三角形分成相等的两部分，得到S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，即可得到S△ABD＝S△OBD，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．【解答】解：∵点C是OA的中点，∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，∴S△ABD＝S△OBD，∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，BD⊥y轴，∴S△OBD＝＝4，∴S△ABD＝4，故答案为：4．7．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A． B． C． D．【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，即可求出k的值．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是正三角形，∴OC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，又∵k＞0，∴k＝4，故选：D．8．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，∴x1＝＝4，x2＝＝﹣8，x3＝＝2．∴x2＜x3＜x1，故选：B．9．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3 B．﹣3 C． D．【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，∴k1＞0，k2＞0，∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，∴S△OAM＝S△OCN＝k1，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，∴S矩形OABC＝k2，∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，∴k2﹣k1＝3，∴k1﹣k2＝﹣3，故选：B．10．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）I/A5…a………b…1R/Ω2030405060708090100A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．11．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为y＝﹣．【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，根据△OAB是等腰直角三角形，可证明△BOC≌△OAD，利用反比例函数k的几何意义得到S△OBC＝，则S△OAD＝，所以|k|＝，然后求出k得到经过点A的反比例函数解析式．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．12．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．13．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（）A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1 C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求得．【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，∴B（﹣1，﹣m），由图象可知，当k1x≤时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥1，故选：A．14．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．15．（2022•铜仁市）如图，点A、B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为3．【分析】设点，可得AD＝a，，从而得到CD＝3a，再由BC⊥AC．可得点B，从而得到，然后根据S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，即可求解．【解答】解：方法一：设点，∵AC⊥y轴，∴AD＝a，，∵，∴AC＝2a，∴CD＝3a，∵BC⊥AC．AC⊥y轴，∴BC∥y轴，∴点B，∴，∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，∴，解得：k＝3．方法二、延长CB交x轴于F，连接OC，由题意知，S△AOD＝S△BOF＝，∵，∴，∴S△AOC＝k，∴S△DOC＝，∴矩形ODCF的面积为3k＝k+6，∴k＝3，故答案为：3．16．（2022•辽宁）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A在x轴的正半轴上，AB＝3BC，点D在x轴的负半轴上，AD＝AB，连接BD，过点A作AE∥BD交y轴于点E，点F在AE上，连接FD，FB．若△BDF的面积为9，则k的值是6．【分析】根据同底等高把面积进行转化，再根据k的几何意义，从而求出k的值．【解答】解：因为AE∥BD，依据同底等高的原理，△BDF的面积等于△ABD的面积，设B（a，3a）（a＞0），则0.5×3a•3a＝9，解得a＝，所以3a2＝6．故k＝6．故答案为：6．17．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是﹣4．【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（﹣m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（﹣，0），根据点C是AB的中点，可得C（﹣，），列方程即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，∵△OAB的面积为6，∴OA＝，∴A（﹣，0），∵点C是AB的中点，∴C（﹣，），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴﹣•＝﹣mn，∴﹣mn＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．18．（2022•玉林）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A（b，b）②当b＝2时，k＝4③m＝④S四边形AOCB＝2b2则所有正确结论的序号是②③．【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；④根据菱形的面积＝底边×高可解答．【解答】解：如图，①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，∴C（0，﹣2b），∴OC＝2b，∵四边形AOCB是菱形，∴AB＝OC＝OA＝2b，∵A与B关于x轴对称，∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，∴OD＝＝b，∴A（b，b）；故①不正确；②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），∴k＝2×2＝4，故②正确；③∵A（b，b），A与B关于x轴对称，∴B（b，﹣b），∵点B在直线y＝mx﹣2b上，∴bm﹣2b＝﹣b，∴m＝，故③正确；④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b•b＝2b2，故④不正确；所以本题结论正确的有：②③；故答案为：②③．19．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为（，0）．【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．20．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可．【解答】解：（1）由题意设：y＝，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm．21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．（1）求k的值及点D的坐标．（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，∴2＝，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，∴1＝，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．22．（2022•资阳）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．【分析】（1）将A、B两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当x＞0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数k，进而得到反比例函数的解析式．【解答】解：（1）由题意得：，，∴m＝6，n＝﹣3，∴A（1，6），B（﹣3，﹣2），由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝2x+4；（2）由图象可知，当x＞0时，一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x的值为x＞1，当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围为x＞1；（3）一次函数y＝2x+4的图象平移后为y＝2x，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y＝2x与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k＜0，∴当k＝﹣1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为（答案不唯一）．23．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；（3）证明∠DCA＝∠BAC，可得结论．【解答】（1）解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）解：如图，直线m即为所求．（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．24．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，∵A（1，4），∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠AOG＝∠OBH，∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，∴△AGO≌△OHB（AAS），∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，∴B（4，﹣1），∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；（2）存在，如图2，∵△COD≌△AOB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，∴C（4，1），D（1，﹣4）．25．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入y＝求得a，再把点A坐标代入y＝求出k；（2）先求出A，B，C三点坐标，作CD⊥x轴于D，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝求得点P的横坐标．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CD⊥x轴于D，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴xA＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（0，1），B（4，3），点Q的纵坐标为0，∴yP＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），由yQ﹣yB＝yP′﹣yA得，0﹣1＝yP′﹣3，∴yP′＝2，当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．1．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（）A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），∴k＝﹣2×4＝﹣8，A、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C．2．（2022•襄阳）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，k＝2＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y1＞y2，故选：C．3．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；故选：D．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y4【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．【解答】解：∵k＝4＞0，∴在第一象限内，y随x的增大而减小，∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，且1＜2＜3＜4，∴y4最小．故选：D．5．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．6．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜2．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得k＜2，故答案为：k＜2．7．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3 B．5 C．6 D．10【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故选：B．8．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为400Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A（2，y1），B（5，y2）在第一象限，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为：＞．10．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∵≥0，两边同时开平方得：a﹣＝0，∴当a＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．故选：C．11．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．12．（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（）A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，﹣m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，∴B（2，﹣m），∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，故选：D．13．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝10．【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE，再证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1﹣k2的值．【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠BCE+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．14．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】设B（a，），根据四边形OBAD是平行四边形，推出AB∥DO，表示出A点的坐标，求出AB＝a﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．15．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD＝k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．16．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6．【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．17．（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为4．【分析】根据反比例函数k＝xy（定值）求出B点坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出AB，BC的长度，根据AD•BC＝AB•DO，得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2，从而S1﹣S2＝S2，根据S1+S2＝S△AOC得到S2＝S△AOC，从而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），设直线AB的解析式为y＝mx+n，，解得：，∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB＝＝2，BC＝＝，AD•BC＝AB•DO，∴AD•＝2•DO，∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，∴S1﹣S2＝S2＝S△AOC＝××4×6＝4．故答案为：4．18．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【分析】（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（k≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V＞0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（k≠0）．∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，∴1.98＝，∴k＝9.9，∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ＝（V＞0）．（2）∵k＝9.9＞0，∴当V＞0时，ρ随V的增大而减小，∴当3≤V≤9时，≤ρ≤，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．19．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．（1）求b，k的值；（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b的值；过C作CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；（3）根据同底同高，得S△ODE＝S△COD，S△COD＝S△COA+S△ADO即可．【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），∴，解得b＝2，过C作CF⊥x轴于点F，∴△AOB∽△AFC，∵AB：BC＝2：1，∴，∴AF＝6，∴OF＝2，在中，令x＝2，得y＝3，∴C（2，3），∴，∴k＝6．（2）∵D点是和交点，∴，解得或，∵D点在第三象限，∴D（﹣6，﹣1），由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．（3）∵△ODE和△OCD同底同高，∴S△ODE＝S△OCD，∵S△COD＝S△COA+S△ADO，∴．20．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．【解答】解：（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），则有﹣m＝，∴m＝±3，经检验，m＝±3的分式方程的解，∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，∴ac＝9，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜9．21．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．（1）求反比例函数解析式；（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为