热点09相似三角形（原卷版）

热点09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性质及判定三角形相似的证明及计算相似三角形与四边形、圆的综合运用相似三角形与函数的综合运用满分技巧满分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【注意】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。位似（1）位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（2）位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.基础训练基础训练A卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），点、分别为、的中点，则（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．4．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（）A． B． C． D．5．（2020·湖南永州·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（

）A． B．25 C．35 D．636．（2019·湖南邵阳·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（

）A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C． D．7．（2015·湖南株洲·统考中考真题）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(

)A． B． C． D．二、填空题8．（2020·湖南娄底·中考真题）若，则________．9．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．10．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．11．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）12．（2021·湖南郴州·统考中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．13．（2018·湖南邵阳·统考中考真题）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：_____．14．（2020·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．15．（2019·湖南永州·统考中考真题）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____．16．（2018·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．三、解答题17．（2021·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．（1）求n的值；（2）求反比例函数的解析式．18．（2021·湖南怀化·统考中考真题）如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．（1）求证：CD是的切线；（2）求AD的长.19．（2020·湖南永州·中考真题）如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．20．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径的长．21．（2021·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．①求证：；②设与相交于点P，求证：．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．（2018·湖南永州·中考真题）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2020·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（）A． B． C． D．3．（2019·湖南常德·统考中考真题）如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（

）A．20 B．22 C．24 D．264．（2021·湖南湘西·统考中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或5．（2015·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④6．（2017·湖南长沙·中考真题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（）A． B．C．D．随点位置的变化而变化二、填空题7．（2018·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.8．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．9．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．10．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．11．（2011·湖南益阳·中考真题）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．12．（2018·湖南岳阳·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②扇形OBC的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．三、解答题13．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．（1）求过点的反比例函数的解析式；（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．14．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．（1）求证：与相切；（2）若，求的长；（3）请用线段、表示的长，并说明理由．15．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．16．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，点A在以为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N．（1）求证：与⊙相切；（2）试给出之间的数量关系，并予以证明．17．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．18．（2021·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．（1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________；（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．①试判断四边形的形状，并说明理由；②求证：；如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．20．（2019·湖南长沙·统考中考真题）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似