第02讲实数（教师版）八年级数学上册讲义（华师大版）

第2讲实数目标导航目标导航1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.知识精讲知识精讲知识点01有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.考点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【即学即练1】已知下列结论：①任何一个无理数都能用数轴上的点表示；②每个实数都对应数轴上一个点；③在数轴上的点只能表示无理数；④有理数有无限个，无理数有有限个；⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数；⑥﹣3是（﹣3）2的算术平方根．其中正确的结论是（） A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤【答案】A．解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确；②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确；③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数这种说法不正确，∴③不正确；④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确；⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带根号，但是它是无理数，∴⑤不正确；⑥∵3是（﹣3）2的算术平方根，∴⑥不正确．综上，可得①②．故选：A．知识点02实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【即学即练3】把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）…有理数集合…无理数集合【答案】解：有理数有：，，，，0，无理数有：，，，，，，0.3737737773……【总结】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，，.知识点03实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.【即学即练4】比较与的大小．【思路】根据，，则来比较两个实数的大小．【答案】解：因为，．所以＜【总结】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.【即学即练5】解：已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】由图知，，．∴，，，．∴．能力拓展能力拓展考法01无理数的定义．，3.33……，，，，，，，中，无理数的个数是个.【答案】4；【解析】，，，为无理数.考法02实数的分类有下列四个论断：①﹣是有理数；②是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（） A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个【答案】B；【解析】解：①﹣是有理数，正确；②是无理数，故错误；③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选：B．考法03实数比较大小解：已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】由图知，，．∴，，，．∴．考法04实数的综合运用．已知，且，求的值．【答案】解：∵，且，．∴，即，．解得＝3，＝5，得＝64．∴．【总结】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．是近似值，无法在数轴上表示准确【答案】D；【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.2.（当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（） A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个【答案】A；【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；②无理数是无限不循环小数，故②错误；③负数的立方根是负数，故③错误；④17的平方根是±，故④错误；故选：A．3.估计的大小应在（）A．7～8之间 B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间 D．9～10之间【答案】C；【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.4.（烟台）下列实数中，有理数是（）A． B． C． D．0.101001001【答案】D；【解析】解：A、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；B、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；C、π为无理数，所以为无理数，故本选项错误；D、小数为有理数，符合．5.实数和的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C；【解析】.6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（）A．4～5之间 B．5～6之间C．6～7之间 D．7～8之间【答案】A；【解析】.7．代数式，，||，，中，一定是正数的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D；【解析】仅＞0，其余可以为0，还可为负数8.如图，在数轴上表示数×（﹣5）的点可能是（）A．点E B．点F C．点P D．点Q【答案】B；【解析】解：∵×（﹣5）=﹣，﹣3＜﹣＜﹣2，∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2．故选：B．9.要使，的取值范围是（）．A．≤3B．≥3C．0≤≤3D．一切实数【答案】D；【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数．10.若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（）A.B.与C.与D.与【答案】C；【解析】＋＝0，＝－，所以，所以＋＝0.11.实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A．＞0B．＜0C．D．【答案】B；【解析】从数轴上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明显＜0.题组B能力提升练1.＜0时，化简＝________.【答案】0；【解析】∵，∴．2.计算：＝__________．【答案】；【解析】．3.已知互为相反数,互为倒数,,则的值.【答案】－4；【解析】原式＝.4.（济源期末）比较大小：﹣（填“＞”、“＜”或“=”）．【答案】＞；【解析】解：∵﹣﹣=，∴﹣﹣＞0，∴﹣＞．故答案为：＞．5.（句容市一模）设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是．【答案】4；【解析】解：∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3，∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4.6．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：﹣，，0，．【解析】解：∵=2，∴﹣＜0＜＜．7．（荣昌县校级期中）把下列各数填入相应的大括号内.，﹣2，，0，，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…整数集合：{…}；非负实数集合：{…}；无理数集合：{…}．【解析】解：整数集合：{﹣2，0，，，…}；非负实数集合：{，，0，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…，…}；无理数集合：{，，π﹣3，3+，3，0.2121121112…，…}．8.天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）【解析】解：设广场的边长为，由题意,得440000＝≈66