专题16二元一次方程的整数解及其应用

专题16二元一次方程的整数解及其应用【例题讲解】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：(1)请你直接写出方程的正整数解___________．(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．【详解】（1）解：∵，∴，解得：，∵、为正整数，∴是3的倍数，且，∴0＜y＜4，∴y=1，∴方程的正整数解为；故答案为：（2）解：∵为自然数，x为正整数，∴x2取6或3或2或1，∴x取8或5或4或3；（3）解：解方程组得：，∵方程组的解是正整数，∴8是的倍数，∴4k=8或4或2或1，∴k取4或0或2或3，当k=4时，，符合题意；当k=0时，，符合题意；当k=2时，，符合题意；当k=3时，，不符合题意；综上所述，整数的值为4或0或2．【综合解答】1．为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】A【分析】设租用x间6人间，租用y间4人间，根据参加培训的共50人，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数即可得出结论．【详解】解：设租用x间6人间，租用y间4人间，依题意，得：，∴．又∵x，y均为正整数，∴或或或，∴共有4种租房方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．方程的正整数解有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】A【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得．【详解】解：方程可化为，∵，均为正整数，∴，且是的倍数，，且为偶数，则当时，，即方程的正整数解为，共有1组，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．3．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】A【分析】设可以分成x组4人组，y组5人组，根据各组的人数之和为43人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．【详解】解：设可以分成x组4人组，y组5人组，依题意得：，∴．又∵x，y均为自然数，∴或，∴共有2种分组方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．4．嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（

）种购买方案．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用二元一次方程的解法进而分别代入正整数求出即可．【详解】解：设购买钢笔x个，铅笔y个，由题意可得：4x+2y=18，化简得：2x+y=9，当x=1时，y=7，当x=2时，y=5，当x=3时，y=3，当x=4时，y=1，故符合题意的有4种．故选：C．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．5．某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可．【详解】解：设搭建可容纳人的帐篷个，可容纳人的帐篷个，依题意得：，又，均为自然数，或或或，不同的搭建方案有种．故选：．【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，熟练掌握二元一次方程解得定义是解题的关键．6．方程的非负整数解有（

）A．无数个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】把y看做已知数表示出x，确定出方程的非负整数解即可．【详解】解：方程x+2y=5，解得：x=2y+5，当y=0时，x=5；y=1时，x=3；y=2时，x=1，则方程的非负整数解有3个，故选B．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数表示出另一个未知数．7．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（

）组．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．【详解】解：当时，；当时，；当时，则方程的正整数解有3对．故选：C【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．8．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有(

)A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【分析】设可以买个型口罩，个型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设可以买个型口罩，个型口罩，依题意得：，∴，又，均为正整数，∴或或.∴共有种购买方案．故选：B．【点睛】本题考查了应用二元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（

）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种【答案】B【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意得：15x+10y=240，∴，又∵x，y均为正整数，∴或或或或或或，∴购买方案有7种，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．10．二元一次方程的正整数解有（

）A．一个 B．二个 C．三个 D．无数多个【答案】A【分析】根据题意，可求0＜y＜2，即可求解．【详解】解：2x+5y＝11中，∵方程的解为正整数，∴0＜y＜2，∴y＝1，x＝3，是方程的唯一正整数解，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．11．二元一次方程的正整数解的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出方程的正整数解．【详解】解：方程2x＋y＝7，解得：y＝−2x＋7，若x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1，则方程的正整数解的个数有3个．故选：C．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．12．二元一次方程的整数解有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【分析】根据二元一次方程的解的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，∵对于任意一个整数y，都有一个整数x与之对应，∴方程的解有无数个，故选D．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定义是解题的关键．13．二元一次方程3x+y＝8的非负整数解共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】B【分析】由题意，令x＝0，x＝1，x＝2分别求出y＝8，y＝5，y＝2，即可求解．【详解】解：当x＝0时，y＝8，当x＝1时，y＝5，当x＝2时，y＝2，∴方程的非负整数解为，故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程的解，根据题意，对x的取值进行讨论，从而确定二元一次方程的解是解题关键．三、填空题14．凤翔中学准备了270元活动经费用于购买即将到来的校园歌手大赛奖品，现有两种笔袋可选，甲每个24元，乙每个30元，现经费正好全部用完，那么有_____种购买方案．【答案】2##两【分析】设购买甲x个，购买乙y个，根据题意有：，且x、y为正整数，即有，根据x、y为正整数即可求解．【详解】设购买甲x个，购买乙y个，根据题意有：，且x、y为正整数，则有，且x、y为正整数，当x=5时，y=5，当x=10时，y=1，即第一种方案：购买甲5个，购买乙5个；第二种方案：购买甲10个，购买乙1个；即有两种购买方案，故答案为：2．【点睛】本题考查了求解二元一次方程的正整数的解的应用，明确题意列出二元一次方程，并变形得到是解答本题的关键．15．二元一次方程3x+y=9的所有正整数解有______组．【答案】2【分析】把y看作已知数求出x，即可确定出正整数解．【详解】解：方程3x+y=9，解得：x=3，当y=3时，x=2；y=9时，x=1；则方程的正整数解为2组，故答案为：2．【点睛】此题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，解题的关键是将y看作已知数求出x．16．写出方程x=3y的一个整数解______．【答案】（答案不唯一）【分析】先给y一个整数值，再确定x的值即可．【详解】解：当时，有，∴是方程的一个整数解；故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，先给出未知数的一个整数值，再确定另一个的值是解题的关键．17．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚______人，小和尚______人．【答案】

20

120【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个”列出方程，求得正整数解即可．【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得3xy＝100．因为x、y都是正整数，所以x＝20，y＝120符合题意．或x＝25，y＝75也符合题意．故答案是：20，120（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是根据题中的数量关系，找出对应量，列方程解答即可．18．方程x+2y=3的非负整数解是_________________．【答案】，【分析】先用y表示x，再取非负整数解即可．【详解】解：x＋2y＝3，x＝3−2y，当y＝0时，x＝3；当y＝1时，x＝1，y取其它的非负整数得到的x不为非负整数，即方程有两个非负整数解：，，故答案为：，．【点睛】本题考查了二元一次方程的解和等式的性质的应用，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．19．请写出满足方程3y－x＝5的一组整数解：________．【答案】【分析】假定x的值，代入方程即可解得．【详解】解：当x=2时，y=1．故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解．20．二元一次方程的正整数解为________．【答案】【分析】由于要求二元一次方程3x+y=5的正整数解，则令x=1、2等，然后求出对应的y的值，从而确定方程的正整数解．【详解】解：当x=1时，则3×1+y=5，解得y=2；当x=2，则3×2+y=5，解得y=1，所以方程3x+y=5的正整数解为，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；有些二元一次方程可确定它的特殊解，如正整数解等．21．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有______组．【答案】3【分析】把x看做已知数表示出y，确定出非负整数x与y的值即．【详解】解：方程2x+3y=12，解得：y=x+4，当x=0时，方程变形为3y=12，解得y=4；当x=3时，方程变形为6+3y=12，解得y=2；当x=6时，方程变形为12+3y=12，解得y=0；∴关于x，y的二元一次方程2x+3y=12的非负整数解有3组：、和．故答案为3【点睛】此题考查了二元一次方程的解，用x表示出y是解本题的关键．四、解答题22．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为40元；(2)有三种购买方案，方案1：购进4个足球，15个篮球；方案2：购进8个足球，10个篮球；方案3：购进12个足球，5个篮球．【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，依题意，得：，解得：，答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；（2）设购买m个足球，n个篮球，依题意，得：50m＋40n＝800，解得：n∵m，n均为正整数，∴当m＝4时，n＝15；当m＝8时，n＝10；当m＝12时，n＝5；∴有三种购买方案，方案1：购进4个足球，15个篮球；方案2：购进8个足球，10个篮球；方案3：购进12个足球，5个篮球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．综合与实践：问题情境：我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解，但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的正整数解即可，数学课上，王老师给出如下问题：有12个同学去公园划船，共有两种型号的船只，小船一只可乘2人，大船一只可乘3人，若同时租用两种船只，问应租用几只小船，几只大船？思路引导：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，只要找到这个二元一次方程的正整数解即可．解法示范：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，∴，∵x，y均为正整数，∴，解得：0＜y＜4，又∵为正整数，∴y只能为2的倍数，∴y＝2，代入得x＝3，∴方程2x