专题26平行与垂直（5个知识点7种题型3个中考考点）

专题26平行与垂直（5个知识点7种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线的概念及表示方法（重点）知识点2.平行线的画法（重点）知识点3.垂线的概念与表示方法（重点）知识点4.垂线的画法（重点）知识点5.垂线的重要结论（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断两直线平行题型2.平行线的基本事实的应用题型3.作垂线题型4.利用垂直的定义求角的度数题型5.“垂线段最短”的应用题型6.创新应用题题型7.作图与猜想【方法四】仿真实战法考法1.垂线考法2.垂线段最短考法3.点到直线的距离【方法五】成果评定法【学习目标】在丰富的现实情境中，了解两条直线平行的关系，并会用符号表示两条直线互相平行。会用三角尺、量角器、方格纸画平行线，积累操作活动的经验。在操作活动中，探索并了解平行线的有关性质。通过画图、折叠等活动进一步丰富对两直线互相垂直的认识，并会用符号表示。4.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂直线，并在操作活动中探索、了解垂直线的一些性质。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线的概念及表示方法（重点）1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线．2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。【例1】（2023上·七年级课时练习）在同一平面内，与已知直线a平行的直线有条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有条．【答案】无数，1【分析】根据与已知直线平行的直线有无数条，经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果．【详解】在同一平面内，与已知直线a平行的直线有无数条，而经过a外一点，与已知直线a平行的直线有且只有1条．故答案为：无数，1．【点睛】本题主要考查平行公理思路拓展：解答本题的关键是掌握好平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，注意要强调“过直线外一点”．【变式】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）如图，MC∥AB,NC∥AB,则点M，C，N在同一条直线上，理由是.【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【详解】解:如图，∵MC∥AB，NC∥AB，∴直线MC与NC互相重合（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）.故答案为:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.知识点2.平行线的画法（重点）用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【例2】（2020下·吉林通化·七年级校考期末）过点画直线，，分别使，．【分析】过点Q分别作，即可．【详解】MN、EF即为所求作的直线，如图所示：【点睛】本题主要考查了过直线外一点作已知直线的平行线，学会用平移法作平行线是解题的关键．【变式】．（2020·陕西·统考模拟预测）已知，如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点．求作：直线，使直线．【分析】利用三角板和直尺按照平行线的画法作即可．【详解】解：将三角板的一边落在已知直线AB上，用直尺紧靠三角板的另一边，沿直尺移动三角板，使三角板中与直线AB重合的边过已知点D，沿过已知点D的三角板的边画直线DE，直线DE即为所求．如图，【点睛】本题考查作图，过一点作直线与已知直线平行，关键是掌握平行线画法的四个步骤：“一落”；“二靠”；“三移”；“四画”．知识点3.垂线的概念与表示方法（重点）1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言．aabOa图12．垂直定义的应用：（1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则AB⊥CD．这个推理过程可表示为：∵∠BOC＝90°，∴AB⊥CD．（垂直的判定）．（2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°，这个推理过程可表示为：∵AB⊥CD∴∠BOC＝90°（垂直的定义）．CCBOa图2AD【例3】．（2023下·天津·七年级校考期末）已知，直线经过点O且度，则等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据垂线的定义结合题意，分在的内部时，在的外部时，求解即可．【详解】解：当在的内部时，∵，，∴，∴．当在的外部时，．故选C．

【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．知识点4.垂线的画法（重点）过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合；过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线；在垂足处标出垂直符号。【例4】（2023下·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，按要求画图．①画出点到的垂线段；②过点画的垂线；③画出点到的垂线段．

【分析】根据钝角三角形中作垂线的方法即可求解．【详解】解：①画出点到的垂线段，延长，过点作延长线于点，如图所示，

∴线段即为点到的垂线段；②过点画的垂线，作于点，如图所述，

∴即为点到的垂线；③画出点到的垂线段，延长，作延长线于点，如图所示，

∴即为点到的垂线段．【点睛】本题主要考查钝角三角形作垂线段，垂线的知识，掌握垂线段，垂线的概念，作图的方法是解题的关键．【变式】（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是∠AOB的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；过点P画OA的垂线，垂足为F；(2)线段PF的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段PE、PF、OE这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【答案】(1)图见解析(2)OA，PE，PF<PE<OE，垂线段最短【分析】（1）如图，找点C，连接PC，与OA交点即为E，过P点作竖直的线，与OA交点即为F；（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：由题意作图如下，PE是OB的垂线，PF是OA的垂线．

（2）解：线段PF的长度是点P到OA的距离，线段PE的长度是点E到直线OB的距离，由垂线段最短可知，PF<PE<OE，故答案为：OA，PE，PF<PE<OE，垂线段最短．【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．知识点5.垂线的重要结论（重点）1.基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段最短：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.【例5】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（

）

A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两条直线平行【答案】C【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案．【详解】解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，∴OA与OB重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），故选：D．【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键．【变式】（2023下·河南郑州·七年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（

）

A．经过两点有且只有一条直线B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】根据垂线的性质解答即可．【详解】∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．∴若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．故选：D．【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解答本题的关键．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【方法二】实例探索法题型1.判断两直线平行1．（2023上·广东惠州·七年级校考开学考试）同一平面内，两条直线不相交就一定平行．()【答案】【分析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行．【详解】解：同一平面内，两条直线不相交就一定平行．正确．故答案为：．【点睛】本题考查相交与平行，解题的关键是掌握相交与平行的概念．2．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐八一中学校考自主招生）如果两条直线平行，那么这两条直线一定在同一平面内．()【答案】√【分析】根据平行线定义：在同一个平面上，两条永不相交的直线，就是平行线即可判断．【详解】如果两条直线平行，那么这两条直线一定在同一平面内，说法正确，故答案为：√．【点睛】本题考查平行线定义：在同一个平面上，两条永不相交的直线，就是平行线．3．如图所示的是一副七巧板的模型图，请你找出图中各对互相平行的直线，并用符号表示出来.【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是学生对于平行线的熟练程度，对于本题而言，根据题意列出式子即可解答.【详解】AD∥BC，AB∥HG∥DC，EF∥BH，EK∥AC.【点睛】根据本题题干及题意可知,这是一道考查平行线的题,对于初中数学来说，牢牢掌握基础定义是解题的关键手段，这样可以提高解题的速度和准确率.题型2.平行线的基本事实的应用4.（2023下·七年级单元测试）如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l【答案】相交【分析】根据平行公理解答即可．【详解】解：P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1故答案为：相交．【点睛】本题考查了平行公理．解题的关键掌握平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．5.（2023下·湖北·七年级统考期末）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．对于两个人的说法，正确的是（

）A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对【答案】B【分析】根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可．【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴小明错，小刚对，故选：B．【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键．题型3.作垂线6．（2022上·福建泉州·七年级校考期末）如图，在平面内有A，B，C三点．

(1)画直线；画射线；画线段；过A点做垂直于于点D；并延长至点E，使；(2)点A到的距离为线段的长度．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；（2）根据点到直线的距离的定义判断即可．【详解】（1）如图，直线，射线，线段，直线．线段即为所求；

（2）点到的距离为线段的长度．故答案为：．【点睛】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段的定义，点到直线的距离等知识，解题关键是掌握直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．7．（2023下·河南郑州·七年级校考阶段练习）在如图所示的方格纸中，

(1)仅用无刻度的直尺，过点作的平行线、过点作的垂线，垂足为（其中D、E为格点）；(2)比较大小：______，理由是：______．【答案】(1)作图见解析(2)，垂线段最短【分析】（1）根据网格即可过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；根据网格即可过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；（2）根据垂线段最短即可比较线段大小．【详解】（1）解：如图，直线、即为所求作．

（2）解：．理由：垂线段最短．故答案为：，垂线段最短．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，利用网格画平行线、垂线，垂线段最短，解题的关键是正确借助网格得出符合题意图形．8．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【答案】(1)图见解析(2)，，，垂线段最短【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为；（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．

（2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离，由垂线段最短可知，，故答案为：，，，垂线段最短．【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．9．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）在方格纸上画图并回答问题．如图，已知A，B，C三个点．

(1)画射线；(2)过B点作的垂线，垂足为点；(3)过C作平行线，交于点；写出图中的对顶角：___________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）画出射线即可；（2）取的中点，即为点，连接即可；（3）画出，写出的对顶角即可．【详解】（1）解：画射线，如图所示：

（2）如图，取的中点，即为点，连接即为所求；由图可知，，∵点为的中点，∴；（3）画，交于点，如图所示；由图可知：的对顶角为；故答案为：．【点睛】本题考查画射线，作高，画平行线，对顶角．熟练掌握相关知识点，是解题的关键点．题型4.利用垂直的定义求角的度数10．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，，则的度数是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据，结合垂直的定义，可求出，再根据邻补角，即可得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了角的计算，垂线，邻补角，解决本题的关键是利用角之间的和与差进行解答．11．（2022下·新疆阿克苏·七年级统考期末）已知直线相交于点O，平分，且，射线，则．【答案】或【分析】分两种情况，由角平分线定义求出，由对顶角的性质得到，由垂直的定义得到，即可求出的度数．【详解】解：如图①，平分，，，，射线，，；

如图②，平分，，，，射线，，，或．故答案为：或．【点睛】本题考查垂线的意义，角平分线的定义，对顶角的性质，关键是画出图形，分两种情况讨论．12．（2023上·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）如图，直线与直线相交于点O，平分，若，且，则．

【答案】/50度【分析】根据垂直定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：，，，平分，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．题型5.“垂线段最短”的应用13．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上只存在一个点，记的长度为，则的值可以是（）

A．7 B．2 C．5 D．6【答案】A【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案．【详解】解：根据题意可画图如下：

∵，，∴的最小值为3，根据题意分类讨论：当时，射线上不存在满足条件的点；当时，射线上存在一个点；当时，射线上存在两个点；当时，射线上存在一个点；结合选项时，在射线上只存在一个点，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键．14．（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂线段最短解决此题．【详解】如图，过点B作于点D．∵，∴．∴根据垂线段最短，点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为．故选：C．【点睛】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．15．（2023下·甘肃定西·七年级统考期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得米，米，则点A到的距离d可能为米．（填一个你认为正确的答案）

【答案】3米（答案不唯一）【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：米，米，点A到的距离d小于或等于4米，点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）．故答案为：3米（答案不唯一）．【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义．16．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，直角三角形中，，，，，点是边上一动点，作直线经过点．点，分别过点，作与垂直，与垂直．垂足分别为，，设线段，的长度分别为，则的最大值为．

【答案】【分析】根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解．【详解】解：由题意可得：，即化简可得：解得，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，由可得，∴的最大值为故答案为：【点睛】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定的最大值就是的最小值，并掌握垂线段最短的性质．17．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．

(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可得到答案；（2）根据垂线段最短，作即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意画出图，如图所示：

；（2）解：根据题意画出图如图所示：

．【点睛】本题考查了两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短以及垂线段最短是解题的关键．题型6.创新应用题18．（2023下·全国·七年级假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分．(1)若，试探究，的位置关系，并说明理由．(2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般）【答案】(1)，理由见解析(2)成立，邻补角的两条角平分线互相垂直【分析】（1）根据，求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案；（2）根据∠BOC求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案．【详解】（1）解：．理由如下：因为，所以．因为平分，平分，所以，，所以，所以．（2）解：成立．理由：因为，所以．因为平分，平分，所以，，所以，所以．规律：邻补角的两条角平分线互相垂直．【点睛】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想．19．（2022上·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分．(1)如图1，与在直线的同侧．①若，求的度数；②若，求的度数．(2)如图2，与在直线的异侧．探究和之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由为直角，可求得的度数．再由平分，以及和为邻补角即可求出．②同①可得结论；（2）设，可以求出，再由角平分线以及邻补角可求出，得出和的关系．【详解】（1）解：①为直角，．，．平分，．．②为直角，．，．平分，．．（2）设，，平分，．，．【点睛】本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角．20．（2022上·山西晋城·七年级校考期末）综合与探究如图，直线与相交于点，过点作．(1)如图1，，直接写出的度数；(2)如图2，在的内部作射线，且，此时，，求的度数；(3)如图3，在直线的下方作，且，再作平分，平分，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由垂直的性质得，由平角的定义得，由，可得的度数；（2）由垂直的性质得，，，由对顶角，等量代换得，由得，等量代换得，由对顶角，得，由，等量代换即可求解；（3）根据角平分线的性质得，，由，等量代换即可求解．【详解】（1）解：，，，，，解得；（2）解：，，，，，，，，，解得，，，，，，解得，；（3）解：平分，平分，，，，．【点睛】本题考查了对顶角、垂线、角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是理清角之间的关系．21．（2022上·四川成都·七年级统考期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数；(3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)，；，【分析】（1）根据是直角和交平分线的性质求解即可；（2）根据是直角和交平分线的性质求解即可；（3）分两种情况讨论：时，时．【详解】（1）解：∵，∴，∵是直角，∴，∵平分．，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴，∵是直角，∴；（3）解：①时，由题意得，

∴∴；②时，

由题意得∴∴；【点睛】本题考查相交线，涉及到角平分线的性质、垂直的性质等，灵活运用所学知识是关键．22．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．①探究和的度数之间的关系，并说明理由；②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①，理由见解析；②【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案（2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可．【详解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根据题意可得：，，，平分，，，；②画出图如图所示：

，则，，，整理得：，，，，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．题型7.作图与猜想23.（2023上·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考期末）如图，已知∠AOB画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，试写出∠AOB和∠COD的数量关系，并说明理由.【答案】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180【分析】分OC、OD在边OA的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解．【详解】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°，理由如下：如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD；如图2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，∴∠AOB+∠COD=180°；如图3，∠AOB+∠COD=360°∠AOC∠BOD=360°90°90°=180°；如图4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，∴∠AOB=∠COD；综上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°.【点睛】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论．24．作图与探究:如图，已知点A、O、B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边0B上的一点.(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E;(2)过点P画OA的垂线，垂足为H;(3)过点P画OA的平行线PC;(4)若每个小正方形的边长是1,则点P到OA的距离是_________;(5)线段PE、PH、OE的大小关系是___________(用“<"连接).【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）1；（5）PH＜PE＜OE【分析】（1）过点P作PEOB，交OA于点E即可；（2）过点P作PHOA，交OA于点H即可；（3）过点P画OA的平行线PC即可；（4）根据点到直线距离的定义得出结论；（5）根据“垂线段最短”得出结论．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；（4）∵每个小正方形的边长是1，∴点P到OA的距离是1．故答案为：1；（5）PH⊥OA，∴PH＜PE，∵PE⊥OB，∴PE＜OE，∴PH＜PE＜OE．故答案为：PH＜PE＜OE．【点睛】本题考查的是作图基本作图，熟知垂线段的作法是解答此题的关键．【方法三】仿真实战法考法1.垂线1．（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26° B．36° C．44° D．54°【分析】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．【点评】本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．2．（2021•北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．3．（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如图所示：根据图形可以看出OB是反射光线，故选：B．【点评】本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．考法2.垂线段最短4．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．5．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．6．（2020•吉林）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．考法3.点到直线的距离7．（2019•毕节市）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是（）A．线段CA的长度 B．线段CM的长度 C．线段CD的长度 D．线段CB的长度【分析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度可解．【解答】解：点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选：C．【点评】本题考查的是点到直线的距离的定义，选项中都有长度二字，只要知道是垂线段就比较好解．8．（2019•广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是cm．【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022上·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解．【详解】解：如图，根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，故选：B．【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．2．（2023上·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期末）如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可．【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，，故选D．【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征．3．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（）①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．【详解】解：∵于点B，∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；∵，∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误；根据垂线段最短，在三条线段中，最短，故③正确；故选：C．4．（2023上·江苏·七年级专题练习）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，故选D．5．（2023上·江苏·七年级专题练习）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答．【详解】解：过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是故选：C6．（2023下·云南昭通·七年级校联考期末）如图，点在上，平分，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据得，利用角平分线得，进而利用邻补角的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】此题考查角平分线的有关计算以及垂线，熟练掌握角平分线的计算是解题的关键．7．（2016上·河南周口·七年级统考期末）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【详解】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行．故选：C【点睛】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．8．（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）下列现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上测量某个同学的跳远成绩；④工人砌墙时，先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，点到直线的距离等等，熟练掌握两点确定一条直线的概念是解题的关键．【详解】解：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，符合题意；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”，不符合题意；③体育课上测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，不符合题意；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直线，符合题意；故选C．9．（2023下·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点，，，则的度数为（

）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【分析】利用邻补角的性质可得,由可得，然后由角的和差即可求得的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、邻补角的性质、角的和差等知识点，根据图形明确各角的关系是解答本题的关键．10．（2023下·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数．【详解】解：平分，，，，，故选：C．【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．二、填空题11．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，现要从幸福小区M修建一条连接街道的最短小路，过点M作于点C，这样做的依据是．

【答案】垂线段最短【分析】由垂线的性质，即可判断．【详解】解：过点M作于点C，沿修建道路就能满足小路最短．故答案为：垂线段最短．【点睛】本题考查垂线的性质，关键是掌握：垂线段最短．12．（2023上·江苏南京·七年级期末）如图，，垂足为C，若，则点A到的距离为．【答案】4【分析】本题考查点到直线的距离，此题关键是理解点A到BC的距离是从点A向BC作垂线，所得的垂线段．根据点到直线的距离即可判断．【详解】解：∵，垂足为C．∴点A到的距离，即.故答案为：413．（2023上·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．【答案】平行或相交【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可．【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交，故答案为：平行或相交．14．（2022上·江苏扬州·七年级统考期末）下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有．（填序号）【答案】①⑤【分析】根据对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质可直接进行求解．【详解】解：①对顶角相等，原说法正确；②两点之间的线段长度是两点间的距离，原说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，原说法正确；综上所述：正确的有①⑤；故答案为①⑤．【点睛】本题主要考查对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质，熟练掌握相关概念及性质是解题的关键．15．（2022上·江苏宿迁·七年级统考期末）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线上的点，如果，则点C为的中点．其中正确的有．（填序号）【答案】①【分析】根据平面内，两条直线的位置关系可判断①，根据两点确定一条直线可判断②，根据对顶角的含义可判断③，根据中点的定义可判断④．【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；故①符合题意．②当三点共线时，经过三点能画出1条直线，三点不共线时，同时经过三点不能画直线，故②不符合题意．③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，描述错误，相等的两个角不一定是对顶角，故③不符合题意．④点C是直线上的点，当点C不在线段上时，也可以满足，但点C不是的中点．故④不符合题意．故答案为①．【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系，两点确定一条直线，对顶角的含义，线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握基本定义及性质．16．（2023下·江苏南通·七年级统考期中）如图，直线相交于O，平分，，若，．

【答案】/70度【分析】由对顶角相等可得，由角平分线的性质可得的度数，利用，可得，用角的和差可求的度数．【详解】∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分的定义、对顶角的性质、垂直的意义、平角的意义，熟练掌握对顶角相等以及角平分线的定义是解题的关键．17．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）如图，直线相交于点，于点，若，则的度数等于．

【答案】【分析】由垂线的定义可得，根据对顶角相等可得，最后根据进行计算即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．18．（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则．【答案】或【分析】分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到的度数．【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方，

∵平分，∴，∵，，∴，即，设，则，∵为平角，∴，即，解得，∴，又∵，∴，∴；②如图2所示，若在下方，

同理可得，，又∵，∴，∴；综上所述，的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角的定义，垂直的定义，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．三、作图题19．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．

(1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路．(2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线．(3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析；(3)图见解析，两点之间线段最短；【分析】（1）根据尺规作平行线的方法即可解答；（2）根据尺规作垂线的方法即可解答；（3）根据两点之间线段最短即可解答．【详解】（1）解：如图所示即为所求，

（2）解：如图所示即为所求，（3）解：如图所示点即为所求依据是：两点之