2.1.2-两条直线平行与垂直的判定-课件

第二章2.1.2两条直线平行与垂直的判定1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一两条直线平行的判定思考1

如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？答案α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在.思考2

对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？答案一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tanα1＝tanα2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔

l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示k1＝k2知识点二两条直线垂直的判定思考1

如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？答案α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和.思考2已知tan(90°＋α)＝－

，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？答案因为α2＝90°＋α1，所以tanα2＝tan(90°＋α1)，由于tan(90°＋α)＝－

，tanα2＝－

，即tanα2tanα1＝－1，所以k1·k2＝－1.思考3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？答案当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.不妨设k2<0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1，则有tanα2tanα1＝－1，所以tanα2＝－

＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2.当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立.图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔

l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒

k1·k2＝－1l1⊥l2题型探究

重点难点个个击破类型一两条直线平行的判定例1

下列直线l1与直线l2平行的有________.①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，

)，N(－2，－)；④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5).∴l1不平行l2.∴k＝k，∴l1∥l2.∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.l1，l2斜率均不存在且不重合，∴l1∥l2.②③④答案①③④反思与感悟判断两直线是否平行的方法：跟踪训练1

已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为________.解析当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，即

，解得m＝0或m＝1.综上，m的值为0或1.答案0或1类型二两条直线垂直的判定例2

(1)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(

)A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定解析由方程3x2＋mx－3＝0知，Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.B(2)已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标.解

以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC，设C(x,0)，所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0).反思与感悟使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论.跟踪训练2

已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________.解析设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在.当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意.当k2≠0时，即a≠5，由k1·k2＝－1，得

＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.类型三垂直与平行的综合应用例3

已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.解

①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1).②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)

.反思与感悟该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性，也可通过计算kCD·kBC＝0≠－1.说明∠C不可能为直角.跟踪训练3

已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.解设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.所以第四个顶点D的坐标为(2,3).123达标检测

451.已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(

)A.－3 B.3 C.－ D.解析因为直线l∥AB，B123452.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为

的直线垂直，则a的值为(

)A. B. C.10 D.－10∴a＝－10.D123453.若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.－1123454.已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为________.解析设P(0，y)，因为∠BAP为直角，所以kAB·kAP