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文档简介
上海市徐汇区上海中学、复旦附中等八校2025届高一数学第一学期期末经典试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.幂函数在区间上单调递增,且,则的值()A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断2.已知映射f:A→B,其中A={a,b},B={1,2},已知a的象为1,则b的象为A.1,2中的一个 B.1,2C.2 D.无法确定3.在四棱锥中,平面,中,,,则三棱锥的外接球的表面积为A. B.C. D.4.如图,PO是三棱锥P-ABC底面ABC的垂线,垂足为O①若PA⊥BC,PB⊥AC,则点O是△ABC的垂心;②若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心;③若∠PAB=∠PAC,∠PBA=∠PBC,则点O是△ABC的内心;④过点P分别做边AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,F,G,若PE=PF=PG,则点O是△ABC的重心以上推断正确的个数是()A.1 B.2C.3 D.45.函数在区间上的简图是()A. B.C. D.6.函数的定义域为()A.B.且C.且D.7.已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则()A.
4,6
B.C
D.8.一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体积为A.24cm3 B.48cm3C.32cm3 D.96cm39.已知,则的最小值为().A.9 B.C.5 D.10.已知集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4},那么集合A可能是()A.{1,2,3} B.{0,1,4}C.{0,1,3} D.{1,3,4}二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.函数最小正周期是________________12.写出一个周期为且值域为的函数解析式:_________13.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大,每辆车的月租金应该定为__________14.计算:=_______________.15.的值是__________16._____三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知两条直线(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的值18.已知的三个顶点(1)求边上高所在直线的方程;(2)求的面积19.如图,直三棱柱中,分别为的中点.(1)求证:平面;(2)已知,,,求三棱锥的体积.20.如图,在平面直角坐标系中,点为单位圆与轴正半轴的交点,点为单位圆上的一点,且,点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.(1)当时,求的值;(2)设,求的取值范围.21.设函数(1)若不等式解集,求、的值;(2)若,在上恒成立,求实数的取值范围
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】由已知条件求出的值,则可得幂函数的解析式,再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数是幂函数,可得,解得或当时,;当时,因为函数在上是单调递增函数,故又,所以,所以,则故选:A2、A【解析】根据映射中象与原象定义,元素与元素的对应关系即可判断【详解】映射f:A→B,其中A={a,b},B={1,2}已知a的象为1,根据映射的定义,对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应,可得b=1或2,所以选A【点睛】本题考查了集合中象与原象的定义,关于对应关系的理解.注意A集合中的任意元素在集合B中必须有对应,属于基础题3、B【解析】由题意,求长,即可求外接圆半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】由题意中,,,则是等腰直角三角形,平面可得,,平面,,则的中点为球心设外接圆半径为,则,设球心到平面的距离为,则,由勾股定理得,则三棱锥的外接球的表面积故选:【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法,利用球的对称性确定球心到平面的距离,培养空间感知能力,中等题型.4、C【解析】①由题意得出AO⊥BC,BO⊥BC,点O是△ABC的垂心;②若PA=PB=PC,则AO=BO=CO,点O是△ABC的外心;③由题意得出AO是∠BAC的平分线,BO是∠ABC的平分线,O是△ABC的内心;④若PE=PF=PG,则OE=OF=OG,点O是△ABC的内心【详解】对于①,PO⊥底面ABC,∴PO⊥BC,又PA⊥BC,∴BC⊥平面PAO,∴AO⊥BC;同理PB⊥AC,得出BO⊥BC,∴点O是△ABC的垂心,①正确;对于②,若PA=PB=PC,由此推出Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO,∴AO=BO=CO,点O是△ABC的外心,②正确;对于③,若∠PAB=∠PAC,且PO⊥底面ABC,则AO是∠BAC的平分线,同理∠PBA=∠PBC时BO是∠ABC平分线,∴点O是△ABC的内心,③正确;对于④,过点P分别做边AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,F,G,若PE=PF=PG,则OE=OF=OG,点O是△ABC的内心,④错误综上,正确的命题个数是3故选C【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的垂直关系应用问题,是中档题5、B【解析】分别取,代入函数中得到值,对比图象即可利用排除法得到答案.【详解】当时,,排除A、D;当时,,排除C.故选:B.6、C【解析】根据给定函数有意义直接列出不等式组,解不等式组作答.【详解】依题意,,解得且,所以的定义域为且.故选:C7、B【解析】利用交、并、补集运算,对答案项逐一验证即可【详解】,A错误={2,3,4,5,6,7}=,B正确
{3,4,5,7},C错误,,D错误故选:B【点睛】本题考查集合的混合运算,较简单8、B【解析】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.【详解】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为,底面三角形高为,所以其体积为:.故选:B【点睛】本题考查三视图及几何体体积计算,认识几何体的几何特征是解题的关键,属于基础题.9、B【解析】首先将所给的不等式进行恒等变形,然后结合均值不等式即可求得其最小值,注意等号成立的条件.【详解】.,且,,当且仅当,即时,取得最小值2.的最小值为.故选B.【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法,代数式的变形技巧,属于中等题.10、C【解析】根据并集的定义可得集合A中一定包含的元素,再对选项进行排除,可得答案.【详解】∵集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4};∴集合A中一定有元素0和3,故可排除A,B,D;故选:C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】根据三角函数周期计算公式得出结果.【详解】函数的最小正周期是故答案为:12、【解析】根据函数的周期性和值域,在三角函数中确定一个解析式即可【详解】解:函数的周期为,值域为,,则的值域为,,故答案为:13、4050【解析】设每辆车的月租金定为元,则租赁公司的月收益:当时,最大,最大值为,即当每车辆的月租金定为元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是,故答案为.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是:将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数,然后利用二次函数的性质解答.14、【解析】考点:两角和正切公式点评:本题主要考查两角和的正切公式变形的运用,抓住和角是特殊角,是解题的关键.15、【解析】分析:利用对数运算的性质和运算法则,即可求解结果.详解:由.点睛:本题主要考查了对数的运算,其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.16、【解析】利用根式性质与对数运算进行化简.【详解】,故答案为:6三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)本小题考查两直线平行的性质,当两直线的斜率存在且两直线平行时,他们的斜率相等,注意截距不相等;由,得或-1,经检验,均满足;(2)本小题考查两直线垂直的性质,当两直线斜率存在时,两直线的斜率之积为,注意斜率不存在的情况;由于直线的斜率存在,所以,由此即可求出结果.试题解析:(1)因为直线的斜率存在,又∵,∴,∴或,两条直线在轴是的截距不相等,所以或满足两条直线平行;(2)因为两条直线互相垂直,且直线的斜率存在,所以,即,解得.点睛:设平面上两条直线的方程分别为;
比值法:和相交;和垂直;和平行;和重合
斜率法:(条件:两直线斜率都存在,则可化成点斜式)与相交;与平行;与重合;与垂直;18、(1);⑵8.【解析】(1)设BC边的高所在直线为l,由斜率公式求出KBC,根据垂直关系得到直线l的斜率Kl,用点斜式求出直线l的方程,并化为一般式(2)由点到直线距离公式求出点A(﹣1,4)到BC的距离d,由两点间的距离公式求出|BC|,代入△ABC的面积公式求出面积S的值试题解析:(1)设边上高所在直线为,由于直线的斜率所以直线的斜率.又直线经过点,所以直线的方程为,即⑵边所在直线方程为:,即点到直线的距离,又.19、(1)详见解析(2)2【解析】(1)证线面平行则需在面中找一线与已知线平行即可,也可通过证明面面平行得到线面平行(2)∵,,,∴,∴.∵是直棱柱,∴棱柱的高为,∴棱柱的体积为.由体积关系可得试题解析:(1)设是的中点,分别在中使用三角形的中位线定理得.又是平面内的相交直线,∴平面平面.又平面,∴平面.(2)∵,,,∴,∴.∵是直棱柱,∴棱柱的高为,∴棱柱的体积为.∴.20、(1)(2)【解析】(1)根据三角函数的定义结合二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值;
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