河北张家口市2025届高二上数学期末监测模拟试题含解析

河北张家口市2025届高二上数学期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，．若，则（）A. B.C. D.2．设直线，．若，则的值为（）A.或 B.或C. D.3．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A.10 B.12C.16 D.204．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.5．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.826．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）A. B.C. D.7．已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围为（）A. B.C. D.8．抛物线的准线方程为，则实数的值为（）A. B.C. D.9．若函数有零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.211．已知等差数列的前n项和为，且，，则为（）A. B.C. D.12．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设内容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1个不能被5整除二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为______14．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）15．已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，则椭圆的方程为________.16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的右顶点为，上顶点为.离心率为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，是椭圆上异于长轴端点的两点（斜率不为0），已知直线，且，垂足为，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.18．（12分）已知数列是递增的等比数列，满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和19．（12分）“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及横梁的长；（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.20．（12分）已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，且（1）求抛物线C的方程；（2）求以C的准线与x轴的交点D为圆心且与直线l相切的圆的方程21．（12分）如图，AC是圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，平面ABC，点E在棱PB上，且，，.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.22．（10分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.【详解】向量，，因，则，解得，所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.故选：A2、A【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：A.3、D【解析】利用椭圆的定义即可得到结果【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长故选D【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查4、C【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选5、C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C6、B【解析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B7、C【解析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.【详解】因直线方程为：，整理得，故该直线恒过定点，又，故点在圆内，又圆的圆心为则，此时直线过圆心；当直线与直线垂直时，取得最小值，此时.故的取值范围为.故选：.8、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】解：抛物线的准线方程为，所以.故选：B9、A【解析】设，则函数有零点转化为函数的图象与直线有交点，利用导数判断函数的单调性，即可求出【详解】设，定义域为，则，易知为单调递增函数，且所以当时，，递减；当时，，递增，所以所以，即故选：A【点睛】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题10、B【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.11、C【解析】直接由等差数列求和公式结合，求出，再由求和公式求出即可.【详解】由题意知：，解得，则.故选：C.12、B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考点：反证法二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导后令求出切线斜率，即可写出切线方程.【详解】由题意知：，当时，，故切线方程为，即.故答案为：.14、【解析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：15、##【解析】将代入椭圆的方程，可得出，可得出关于的等式，求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程.【详解】将代入椭圆的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，椭圆的方程为.故答案为：.16、【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极小值，，如图所示：由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）面积的最大值为【解析】（1）由离心率为，，得，解得，，，进而可得答案（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离，则，，由的面积是面积的5倍，解得，再计算的最大值，即可【小问1详解】解：因为离心率为，，所以，解得，，，所以【小问2详解】解：设直线的方程为，，，，，联立，得，所以，，所以，点到直线的距离，所以，，因为的面积是面积的5倍，所以所以或，又因为，是椭圆上异于长轴端点的两点，所以，所以，令，所以，因为在上单调递增，所以，（当时，取等号），所以面积的最大值为．18、（1）（2）【解析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式；（2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可.【小问1详解】设等比数列的公比为q，所以有，，联立两式解得或又因为数列是递增的等比数列，所以，所以数列的通项公式为；【小问2详解】∵，∴，∴19、（1），（2），【解析】（1）根据梯形的几何性质，即可求解；（2）表示出M,N的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高.【小问1详解】由题意，知,因为ABFM是等腰梯形，由对称性知:,所以，【小问2详解】由（1）知,所以点M的横坐标为-18，则N的横坐标为-（18-5）=-13.设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，由图形，知设抛物线的方程为，，两式相减，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故抛物线的方程为x2=-100y.因此，当x=-18时，所以桥梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；（2）由（1）可得，再利用点到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；【详解】解析：（1）由已知得点，∴直线l的方程为，联立去，消去整理得设，，则，，∴抛物线C的方程为（2）由（1）可得，直线l的方程为，∴圆D的半径，∴圆D的方程为【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由圆的性质可得，再由线面垂直的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再结合已知条件可得平面PBC，由线面垂直的性质可得结论；（2）由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，，从而以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：因为AC是圆O的直径，点B是圆O上不与A，C重合的一个动点，所以.因为平面ABC，平面ABC，所以.因为，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因为平面PAB，所以.因为，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因为平面PBC，所以.【小问2详解】解：因为，，所以，所以三棱锥的体积，（当且仅当“”时等号成立）.所以当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，.所以以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.因为∽，所以，因为，，所以，所以，.设向量为平面的一个法向量，则即令得，.向量为平面ABC的一个法向量，.因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.22、（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1