2025届天津市杨村第一中学数学高二上期末经典模拟试题含解析

2025届天津市杨村第一中学数学高二上期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）A. B.C. D.2．已知F1、F2是双曲线E：(a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C， D.，5．若双曲线的一个焦点为，则的值为（）A. B.C.1 D.6．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e7．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条A.0 B.1C.2 D.38．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（）A.2 B.4C.6 D.89．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.10．中，，，分别为三个内角，，的对边，若，，，则（）A. B.C. D.11．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.12．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________14．抛物线的准线方程是________15．数列满足，，其前n项积为，则______16．双曲线的离心率______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.19．（12分）已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.20．（12分）已知在数列中，，且.（1）求，，并证明数列是等比数列；（2）求的通项公式及前n项和.21．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．（10分）如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积【详解】双曲线的方程为：，，设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.又为的中点，，又，，的面积为：.故选:C2、D【解析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.【详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，所以，则，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故选：D3、D【解析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为和，因为两圆过，所以和，所以两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，故选：D4、A【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.5、B【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴，从而可得，再列方程可求得结果【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以，，所以，解得，故选：B6、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B7、D【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得或，因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选：D8、D【解析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以故选：D9、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B10、C【解析】利用正弦定理求解即可.【详解】，，，由正弦定理可得，解得，故选：C.11、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B12、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标【详解】设，由题意知，所以，则，由题意可得，把代入，得，所以P点坐标为故答案为：14、【解析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.15、【解析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.【详解】由，，可得，，，，，，由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为故答案为：16、【解析】根据双曲线方程直接可得离心率.【详解】由，可得，，故，离心率，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距为解出，再把点代入椭圆方程中，即可解出答案.（2）根据题意求出当直线与轴重合时，由求出值，即求出的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使，设出直线方程与椭圆进行联立，化简得证，即可得到答案.【小问1详解】.由于点在椭圆C上，则故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线与轴重合时，是椭圆的左右顶点，不妨设，设，则是上的任意一点，即方程对任意实数都成立，此时的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使即可，设直线的方程为，，设则由y得证.故的方程为.18、（1）（2）是，证明见解析【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.【小问1详解】由，得，所以a2=9b2①，又椭圆过点，则②，由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为【小问2详解】设直线MA的斜率为k，点，因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.联立直线MA与椭圆方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以为定值.19、（1）（2）是定值，定值为6【解析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程；（2）根据已知条件设出、所在直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.【小问1详解】由题意：，由知：，故椭圆C的标准方程为，【小问2详解】设：，①椭圆.②联立①②得：，，即∴，O到直线l的距离，∴，∴，即，∴.故为定值6.20、（1），，证明见解析（2），【解析】（1）根据递推关系求出，，对递推公式变形，即可得证；（2）结合（1）求得通项公式，分组求和.【小问1详解】因为，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴数列是等比数列.【小问2详解】由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，即，即；.21、（1）有（2）分布列见解析，【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：由题意，所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.【小问2详解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P22、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)取的中点，连接，，，先证明平面，