山东省泰安市宁阳一中2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

山东省泰安市宁阳一中2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点，，直线与y轴交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.2．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（）A. B.C. D.3．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件4．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.25．直线经过两点，那么其斜率为（）A. B.C. D.6．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C.1 D.27．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（）A. B.C. D.8．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆9．已知为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B.C. D.10．命题：，否定是（）A.， B.，C.， D.，11．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.12．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.14．若圆被直线平分，则值为__________15．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为___________.16．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆的一个顶点为，离心率（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程18．（12分）已知等差数列前n项和为，，，若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.19．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.求证：（1）平面；（2）平面.20．（12分）计算：（1）求函数（a，b为正常数）的导数（2）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围21．（12分）已知（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）22．（10分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F的标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意可设且，即得a、b的数量关系，进而求双曲线C的渐近线方程.【详解】由题设，，，又，P为双曲线C上一点，∴，又，为的中点，∴，即，∴双曲线C的渐近线方程为.故选：B.2、C【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.【详解】由椭圆知，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦AB长为.故选：C.3、A【解析】由公理2的推论即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当时,同一个平面上,但中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;经过两条平行直线,有且只有一个平面;经过两条相交直线,有且只有一个平面;4、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.5、B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则故选：B6、D【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.7、B【解析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.【详解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，则，∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，∴当且仅当三点共线且时，最小为.故选：B.【点睛】关键点点睛：由已知确定，，构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.8、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：9、C【解析】设，则的几何意义为圆上的点和定点连线的斜率，利用直线和圆相切，即可求出的最小值；【详解】圆，它圆心是，半径为1，设，则，即，当直线和圆相切时，有，可得，，的最小值为：，故选：10、D【解析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：，的否定是：，.故选：D11、A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A12、B【解析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.【详解】由直线可得，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，令可得；令可得；即，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得.故答案为：.14、；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可【详解】解：的圆心圆被直线平分，可知直线经过圆的圆心，可得解得；故答案为：1【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题15、##【解析】直接根据概率和为1计算得到答案.【详解】.故答案为：.16、4【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）首先由椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，联立即可求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理得到线段的中点的坐标，再根据，即可求得的值，进而求得直线的方程【详解】（1）由一个顶点为，离心率，可得，，，解得，，即有椭圆方程为（2）由知点在线段的垂直平分线上，由，消去得，由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根设、，线段的中点，则，所以，所以，即，因为，所以直线的斜率为，由，得，所以，解得：，即有直线的方程为18、【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解方程得，，进而得，故恒成立，再结合二次函数的性质得当或4时，取得最小值，进而得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由已知，.联立方程组，解得，.所以，，由题意，即.令，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以当或4时，取得最小值，所以实数的取值范围是.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结、，交于点，连结，通过即可证明；（2）通过，

可证平面，即得，进而通过平面得，结合即证.详解】证明：（1）连结、，交于点，连结，底面正方形，∴是中点，点是的中点，.平面，

平面，∴平面.（2），点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.20、（1）（2）【解析】（1）根据导数的运算法则，结合复合函数的求导法则，可得答案;（2）求出函数的导数，结合基本不等式求得导数的取值范围，根据导数的几何意义结合正切函数的单调性，求得答案.【小问1详解】由题意得：；【小问2详解】,由于，故，当且仅当时取等号，故，则P处的切线的斜率，由为曲线在点P处的切线的倾斜角可得，由于，故的取值范围为：.21、（1）（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数判断出在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值，列不等式组，即可求出实数a的取值范围；（2）记函数，把证明，转化为只需证明，用分析法证明即可.【小问1详解】，定义域为，.令，解得：；令，解得：所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值.要使函数在上有极值，只需，解得：，即实数a的取值范围为.【小问2详解】记函数.则函数有两个不等实根.因为，，两式相减得，，两式相加得，.因为，所以要证，只需证明，只需证明，只需证明，.证.设，只需证明.记，则，所以在上2单增，所以，所以，即，所以.即证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数证明不等式22、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解