高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题09平面向量特训(原卷版+解析)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题09平面向量真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国乙卷理科03】已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．22．【2022年新高考1卷03】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=A．3m−2n B．−2m+3n3．【2022年新高考2卷04】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．−6 B．−5 C．5 D．64．【2020年全国3卷理科06】已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=−6，则cosa,a+b=（A．−3135 B．−1935 C．5．【2020年山东卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范用是（A．(−2,6) B．(−6,2)C．(−2,4) D．(−4,6)6．【2020年海南卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅A．(−2,6) B．(−6,2)C．(−2,4) D．(−4,6)7．【2019年全国新课标2理科03】已知AB→=（2，3），AC→=（3，t），|BC→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．38．【2019年新课标1理科07】已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−bA．π6 B．π3 C．2π39．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→A．34AB→−14AC→ 10．【2018年新课标2理科04】已知向量a→，b→满足|a→|＝1，a→⋅A．4 B．3 C．2 D．011．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．−32 C．−12．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→=λAB→+μAD→A．3 B．22 C．5 D．213．【2016年新课标2理科03】已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．814．【2016年新课标3理科03】已知向量BA→=（12，32），BC→=（A．30° B．45° C．60° D．120°15．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，BC→A．AD→=−13C．AD→=416．【2014年新课标2理科03】设向量a→，b→满足|a→+b→|=10，|aA．1 B．2 C．3 D．517．【2021年新高考1卷10】已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，A．|OP1C．OA⋅OP318．【2022年全国甲卷理科13】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=319．【2021年全国甲卷理科14】已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=20．【2021年全国乙卷理科14】已知向量a=(1,3),b=(3,4)，若(21．【2021年新高考2卷15】已知向量a+b+c=0，22．【2020年全国1卷理科14】设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a−b|=______________.23．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.24．【2019年新课标3理科13】已知a→，b→为单位向量，且a→•b→=0，若c→=225．【2018年新课标3理科13】已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→26．【2017年新课标1理科13】已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|＝2，|b→|＝1，则|a→27．【2016年新课标1理科13】设向量a→=（m，1），b→=（1，2），且|a→+b→|2＝|a→|228．【2015年新课标2理科13】设向量a→，b→不平行，向量λa→+b→与a→29．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→=12（AB→+AC30．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量a→，b→的夹角为60°，c→=ta→+（1﹣t）b→．若b31．【2013年新课标2理科13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→•BD→模拟好题模拟好题1．已知向量a,b满足b=2，a与b的夹角为60∘，则当实数λ变化时，A．3 B．2 C．10 D．232．已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P、Q满足AP=λAB，AQ=(1−λ)AC，λ∈R，若BQ⋅A．18 B．14 C．123．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,OAA．12CA B．32OC C．4．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且AB=23，BP=1，则AP⋅CPA．1 B．2 C．3 D．25．已知单位向量a与向量b=0,2垂直，若向量c满足a+b+A．1,5−1 B．3−12,36．已知向量a，b满足a=3,1，a·bA．1 B．2 C．3 D．27．在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE交AF于点G，则AG=（

A．25AB−C．−25AB8．已知点O为△ABC所在平面内的一点，且OA2=OB2=OC2，OAA．3 B．23 C．33 9．在△ABC中，AB⋅AC=9，sinA+C=cosAsinC，S△ABC=6A．116+63 B．116 10．△ABC中，AC=2，AB=2，A=45°，P是△ABC外接圆上一点，AP=λAB+μACA．2+12 B．2−12 C．11．已知复数z1对应的向量为OZ1，复数z2对应的向量为A．若z1+B．若OZ1C．若z1与z2D．若z1=12．已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（

）A．若角C=π3B．若2OA+C．若|OA−OB|=OA⋅D．若(BC+BA)⋅AC13．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当AB=2时，BD=5−1，则下列结论正确的为（A．DE=DH C．AH=5+114．已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,O为△ABC外接圆的圆心，I为△ABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（

）A．△ABC外接圆半径为1433 B．△ABCC．AO⋅BC=815．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,y1，A．对任意的λ∈R，有λB．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘC．若a与b垂直，则aΘbΘD．若a与b共线，则aΘbΘ16．在平面直角坐标系xOy中，r>0，⊙M：x−r2+y2=3r24与抛物线C：y2=4x有且仅有两个公共点，直线l17．已知△ABC是等边三角形，E，F分别是AB和AC的中点，P是△ABC边上一动点，则满足PE⋅PF=18．已知平面向量e1,e2满足2e2−19．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=π3，c=3，asinB=3,D,E分别为线段AB,AC20．在平行四边形ABCD中，|AB+AD21．已知非零向量a,b满足a=b，且a+22．已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且AB=2，则23．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分在边BC，CD上，BE=λBC，DF=μDC．若24．设a,b为不共线的向量，满足c=λa+μb,3λ+4μ=2(λ,μ∈25．已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题09平面向量真题汇总命题趋势真题汇总命题趋势1．【2022年全国乙卷理科03】已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】C【解析】解：∵|a又∵|∴9=1−4a∴a故选：C.2．【2022年新高考1卷03】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=A．3m−2n B．−2m+3n【答案】B【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD−2故选：B．3．【2022年新高考2卷04】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．−6 B．−5 C．5 D．6【答案】C【解析】解：c=3+t,4,cosa,c故选：C4．【2020年全国3卷理科06】已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=−6，则cosa,a+b=（A．−3135 B．−1935 C．【答案】D【解析】∵a=5，b=6，aa+因此，cos<故选：D.5．【2020年山东卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范用是（A．(−2,6) B．(−6,2)C．(−2,4) D．(−4,6)【答案】A【解析】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(−1,3)，结合向量数量积的定义式，可知AP⋅AB等于AB的模与AP在所以AP⋅AB的取值范围是故选：A.6．【2020年海南卷07】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅A．(−2,6) B．(−6,2)C．(−2,4) D．(−4,6)【答案】A【解析】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(−1,3)，结合向量数量积的定义式，可知AP⋅AB等于AB的模与AP在所以AP⋅AB的取值范围是故选：A.7．【2019年全国新课标2理科03】已知AB→=（2，3），AC→=（3，t），|BC→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】解：∵AB→=（2，3），AC→∴BC→=AC∵|BC→∴t﹣3＝0即BC→则AB→•BC故选：C．8．【2019年新课标1理科07】已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−bA．π6 B．π3 C．2π3【答案】解：∵（a→−b∴(=|a|∴cos＜=|b|∵＜a∴＜a故选：B．9．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→A．34AB→−14AC→ 【答案】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→−=3故选：A．10．【2018年新课标2理科04】已知向量a→，b→满足|a→|＝1，a→⋅A．4 B．3 C．2 D．0【答案】解：向量a→，b→满足|a→|＝1，a→⋅b→故选：B．11．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．−32 C．−【答案】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则PA→=（﹣x，3−y），PB→=（﹣1﹣x，﹣y），PC则PA→•（PB→+PC→）＝2x2﹣23y+2y2＝2[x2+（y∴当x＝0，y=32时，取得最小值2×（−3故选：B．12．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→=λAB→+μAD→A．3 B．22 C．5 D．2【答案】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD=∴12BC•CD=12BD∴r=2∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4设点P的坐标为（255cosθ+1，25∵AP→=λAB→∴（255cosθ+1，255sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（∴255cosθ+1＝λ，255sin∴λ+μ=255cosθ+55sinθ+2＝sin（θ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．13．【2016年新课标2理科03】已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【答案】解：∵向量a→=（1，m），∴a→+b又∵（a→+b∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．14．【2016年新课标3理科03】已知向量BA→=（12，32），BC→=（A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】解：BA→⋅BC∴cos∠ABC=BA又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．15．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，BC→A．AD→=−13C．AD→=4【答案】解：由已知得到如图由AD→故选：A．16．【2014年新课标2理科03】设向量a→，b→满足|a→+b→|=10，|aA．1 B．2 C．3 D．5【答案】解：∵|a→+b→|=10∴分别平方得a→2+2a→•b→+b两式相减得4a→•b即a→•b故选：A．17．【2021年新高考1卷10】已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，A．|OP1C．OA⋅OP3【答案】ACA：OP1=(cosα,sinα)，OB：AP1=(cosα−1,sinα)，AC：由题意得：OA⋅OPD：由题意得：OA⋅O=cos(β故选：AC18．【2022年全国甲卷理科13】设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3【答案】11【解析】解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cos又a=1，b=3，所以所以2a故答案为：11．19．【2021年全国甲卷理科14】已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=【答案】−10∵a∵a⊥c故答案为：−1020．【2021年全国乙卷理科14】已知向量a=(1,3),b=(3,4)，若(【答案】3因为a−λb=(1,3)−λ(3,4)=(1−3λ,3−4λ)3(1−3λ)+4(3−4λ)=0，解得λ=3故答案为：3521．【2021年新高考2卷15】已知向量a+b+c=0，【答案】−由已知可得(a因此，a⋅故答案为：−922．【2020年全国1卷理科14】设a,b为单位向量，且|a+b|=1，则|a−b|=______________.【答案】3【解析】因为a,b所以a解得：2所以a故答案为：323．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.【答案】2【解析】由题意可得：a→由向量垂直的充分必要条件可得：ka即：k×a→2故答案为：2224．【2019年新课标3理科13】已知a→，b→为单位向量，且a→•b→=0，若c→=2【答案】解：a→⋅c∵c→2=（2a→−5b→）∴|c→∴cos＜a→，故答案为：225．【2018年新课标3理科13】已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→【答案】解：∵向量a→=（1，2），∴2a∵c→=（1，λ），c→∴14解得λ=1故答案为：1226．【2017年新课标1理科13】已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|＝2，|b→|＝1，则|a→【答案】解：【解法一】向量a→，b→的夹角为60°，且|a→∴(a→+2b→)＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|a→+2b→【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形OC→=OA在△OAC中，由余弦定理得|OC→|=22即|a→+2b→故答案为：23．27．【2016年新课标1理科13】设向量a→=（m，1），b→=（1，2），且|a→+b→|2＝|a→|2【答案】解：|a→+b→|2＝|a→|2可得a→•b向量a→=（m，1），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．28．【2015年新课标2理科13】设向量a→，b→不平行，向量λa→+b→与a→【答案】解：∵向量a→，b→不平行，向量λa→+b∴λa→+b→=t（a∴λ=t1=2t，解得实数λ=故答案为：1229．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→=12（AB→+AC【答案】解：在圆中若AO→=1即2AO→即AB→+AC→的和向量是过则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则AB→⊥AC即AB→与AC故答案为：90°30．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量a→，b→的夹角为60°，c→=ta→+（1﹣t）b→．若b【答案】解：∵c→=ta→+(1−t)∴tcos60°+1﹣t＝0，∴1−12t=故答案为2．31．【2013年新课标2理科13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→•BD→【答案】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AB→故AE→⋅BD→=（AD→+DE→）•（BA故答案为2．模拟好题模拟好题1．已知向量a,b满足b=2，a与b的夹角为60∘，则当实数λ变化时，A．3 B．2 C．10 D．23【答案】A【解析】如图，设OA=当b−λa⊥过B作BE⊥OA，即|b−λa因为a与b的夹角为60∘所以∠BOA=60°,∠BEO=90°,OB=2所以BE=故选：A.2．已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P、Q满足AP=λAB，AQ=(1−λ)AC，λ∈R，若BQ⋅A．18 B．14 C．12【答案】C【解析】由题意可知，BQ=AQ−又∵△ABC为等边三角形，AB=2，AB⋅BQ⋅解得λ=1故选:C.3．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,OAA．12CA B．32OC C．【答案】C【解析】依题意△ABC三角形的外接圆圆心为O，且2AO所以O是BC的中点，即BC是圆O的直径，且∠BAC=π由于OA=AB，所以三角形设圆O的半径为1，则OC=1,所以向量OC在向量CA上的投影向量为OC⋅故选：C.4．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且AB=23，BP=1，则AP⋅CPA．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【解析】设AC中点为O，连接OB，则OB＝3，因为BP=1，所以P点在以B为圆心，1为半径的圆上，所以AP⋅CP=PA⋅PC显然，当B，P，O三点共线时，PO取得最小值2，∴(故选：A5．已知单位向量a与向量b=0,2垂直，若向量c满足a+b+A．1,5−1 B．3−12,3【答案】C【解析】由题意不妨设a=1,0，设c=∵a+b+c=1，∴1+x2+2+y∵c=x2+y2表示圆P上的点到坐标原点的距离，5故选：C．6．已知向量a，b满足a=3,1，a·bA．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【解析】∵a=2，∴a其中θ为向量a，b的夹角，即b=2cosθ，当cosθ=1故选:D．7．在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE交AF于点G，则AG=（

A．25AB−C．−25AB【答案】B【解析】解：如图，过点F作BC的平行线交DE于H，则H是DE的中点，且HF=1∴HF=1又△AGD∼△FGH，所以AGGF=AD所以AG=又AF=∴故选：B8．已知点O为△ABC所在平面内的一点，且OA2=OB2=OC2，OAA．3 B．23 C．33 【答案】C【解析】因为OA2=OB2=所以O为△ABC的外心.因为OA⋅OB=OB⋅OC所以OB⊥CA，同理得OA⊥BC，OC⊥AB，所以O为△ABC的垂心，因为△ABC的外心与垂心重合，所以△ABC为正三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=2π3，所以OA⋅OB所以|OA|2=4，所以故选：C.9．在△ABC中，AB⋅AC=9，sinA+C=cosAsinC，S△ABC=6A．116+63 B．116 【答案】C【解析】设AB=c,bccosA=9b=ccos所以CB=a=4所以CP=x⋅因为A,P,B三点共线，所以x3所以2=≥11当且仅当x3+y所以2x+1故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是由已知条件求出a,b,c后，再由A,P,B三点共线，得x3+y10．△ABC中，AC=2，AB=2，A=45°，P是△ABC外接圆上一点，AP=λAB+μACA．2+12 B．2−12 C．【答案】A【解析】解：由余弦定理BC即BC所以BC=2，所以BC2则△ABC为等腰直角三角形.设AB的中点为O，则O为△ABC外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，则A−1,0，B1,0，C0,1，设P则AP=cosθ+1,sinθ因为AP=λAB+μ所以2λ+μ=cos所以λ+μ=1所以当θ+π4=π2故选：A11．已知复数z1对应的向量为OZ1，复数z2对应的向量为A．若z1+B．若OZ1C．若z1与z2D．若z1=【答案】ABC【解析】因为z1+z则OZ1+OZ22因为OZ1+即OZ12=O设z1=a+bia,b∈R，因为则z2=a−bia,b∈R，所以z1故选项C正确；若z1=1+i，z2=1−i满足故选：ABC.12．已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（

）A．若角C=π3B．若2OA+C．若|OA−OB|=OA⋅D．若(BC+BA)⋅AC【答案】BC【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则AD=1由正弦定理得AB=2×2×sin故AB⋅对于B,由2OA+AB即OB+OC=0,则点O为BC的中点，即对于C，设OA，OB的夹角为θ，由|OA−OB|=OA解得cosθ=12由于|OA−OB|=OA则OA，OB的夹角为π3对于D,由(BC+BA即(BC+BA+CA故选:BC13．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当AB=2时，BD=5−1，则下列结论正确的为（A．DE=DH C．AH=5+1【答案】AB【解析】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，∠DFH=108∘得：∠DHF=36对于B，连接AF，由AD=AH,FD=FH得：AF垂直平分DH，而BJ//DH，即AF⊥BJ，则AF⋅对于C，AH与AB不共线，C不正确；对于D，连接CH，BH，由选项A知，DH=DE=BC，而BC//DH，则四边形BCDH是平行四边形，CB+故选：AB14．已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,O为△ABC外接圆的圆心，I为△ABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（

）A．△ABC外接圆半径为1433 B．△ABCC．AO⋅BC=8【答案】BCD【解析】在△ABC中，cosA=32设△ABC外接圆半径为R，则2R=BCsinA设△ABC内切圆半径为r，则S△ABC=1因为cos∠BAO=12所以AO=7设内切圆与三角形分别切于D,E,F，则设AE=EF=x,CE=CD=y,BD=BF=z，x+y=5x+z=3y+z=7，解得x=1则cos∠BAI=12所以AI⋅BC=故选：BCD.15．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,y1，A．对任意的λ∈R，有λB．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘC．若a与b垂直，则aΘbΘD．若a与b共线，则aΘbΘ【答案】AD【解析】设向量a=x1,y1=λx1y对于B，假设存在唯一确定的向量e=x0,y0使得对于任意向量x1y0对于C，若a与b垂直，则x1x2+ya==x1y对于D，若a与b共线，则x1y2aΘa=x1x2x故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.16．在平面直角坐标系xOy中，r>0，⊙M：x−r2+y2=3r24与抛物线C：y2=4x有且仅有两个公共点，直线l【答案】0【解析】因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，由x−r2+y2=3r于是得r−2≥0Δ=4(r−2)即点M(4,0)，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x=ty+4，由x=ty+4y2=4x消去x并整理得：y2−4ty−16=0所以OA⋅故答案为：017．已知△ABC是等边三角形，E，F分别是AB和AC的中点，P是△ABC边上一动点，则满足PE⋅PF=【答案】4【解析】解：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设△ABC的边长为4，则B−2,0，C2,0，A0,23，E−1,3，设Px,y，则PE=−1−x,由PE⋅PF=所以x2+y−32=3，即点P的轨迹是以0,3故答案为：418．已知平面向量e1,e2满足2e2−【答案】[【解析】设c=e1−2e2，则所以3≤a2+又a所以3−1≤|故答案为：[319．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=π3，c=3，asinB=3,D,E分别为线段AB,AC【答案】35719【解析】在△ABC中，由正弦定理得：asinπ3∴sin